2017年江苏省南京市、盐城市高考数学一模试卷
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）
1．已知集合A={﹣1，0，1}，B=（﹣∞，0），则A∩B= ．
2．设复数z满足（1+i）z=2，其中i为虚数单位，则z的虚部为 ．
3．已知样本数据x1，x2，x3，x4，x5的方差s2=3，则样本数据2x1，2x2，2x3，2x4，2x5的方差为 ．
4．如图是一个算法流程图，则输出的x的值是 ．
5．在数字1、2、3、4中随机选两个数字，则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为 ．
6．已知实数x，y满足，则的最小值是 ．
7．设双曲线的一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的离心率为 ．
8．设{an}是等差数列，若a4+a5+a6=21，则S9= ．
9．将函数的图象向右平移φ（）个单位后，所得函数为偶函数，则φ= ．
10．将矩形ABCD绕边AB旋转一周得到一个圆柱，AB=3，BC=2，圆柱上底面圆心为O，△EFG为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥O﹣EFG体积的最大值是 ．
11．在△ABC中，已知，，则的最大值为 ．
12．如图，在平面直角坐标系中，分别在x轴与直线上从左向右依次取点Ak、Bk，k=1，2，…，其中A1是坐标原点，使△AkBkAk+1都是等边三角形，则△A10B10A11的边长是 ．
13．在平面直角坐标系xOy中，已知点P为函数y=2lnx的图象与圆M：（x﹣3）2+y2=r2的公共点，且它们在点P处有公切线，若二次函数y=f（x）的图象经过点O，P，M，则y=f（x）的最大值为 ．
14．在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a2+b2+2c2=8，则△ABC面积的最大值为 ．
二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）
15．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC⊥AC，D，E分别是AB，AC的中点．
（1）求证：B1C1∥平面A1DE；
（2）求证：平面A1DE⊥平面ACC1A1．
16．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且bsin2C=csinB．
（1）求角C；
（2）若，求sinA的值．
17．在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=b2经过椭圆（0＜b＜2）的焦点．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）设直线l：y=kx+m交椭圆E于P，Q两点，T为弦PQ的中点，M（﹣1，0），N（1，0），记直线TM，TN的斜率分别为k1，k2，当2m2﹣2k2=1时，求k1•k2的值．
18．如图所示，某街道居委会拟在EF地段的居民楼正南方向的空白地段AE上建一个活动中心，其中AE=30米．活动中心东西走向，与居民楼平行．从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形ABCD，上部分是以DC为直径的半圆．为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE不超过2.5米，其中该太阳光线与水平线的夹角θ满足．
（1）若设计AB=18米，AD=6米，问能否保证上述采光要求？
（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计AB与AD的长度，可使得活动中心的截面面积最大？（注：计算中π取3）
19．设函数f（x）=lnx，g（x）=ax+﹣3（a∈R）．
（1）当a=2时，解关于x的方程g（ex）=0（其中e为自然对数的底数）；
（2）求函数φ（x）=f（x）+g（x）的单调增区间；
（3）当a=1时，记h（x）=f（x）•g（x），是否存在整数λ，使得关于x的不等式2λ≥h（x）有解？若存在，请求出λ的最小值；若不存在，请说明理由．（参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986）．
20．若存在常数k（k∈N*，k≥2）、q、d，使得无穷数列{an}满足则称数列{an}为“段比差数列”，其中常数k、q、d分别叫做段长、段比、段差．设数列{bn}为“段比差数列”．
（1）若{bn}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、q、3．
①当q=0时，求b2016；
②当q=1时，设{bn}的前3n项和为S3n，若不等式对n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围；
（2）设{bn}为等比数列，且首项为b，试写出所有满足条件的{bn}，并说明理由．
数学附加题部分（本部分满分0分，考试时间30分钟）[选做题]（在21、22、23、24四小题中只能选做2题，每小题0分，计20分）[选修4-1：几何证明选讲]
21．如图，AB是半圆O的直径，点P为半圆O外一点，PA，PB分别交半圆O于点D，C．若AD=2，PD=4，PC=3，求BD的长．
[选修4-2：矩阵与变换]
22．设矩阵M=的一个特征值λ对应的特征向量为，求m与λ的值．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线为参数）．现以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l与圆C交于A，B两点，求弦AB的长．
[选修4-5：不等式选讲]
24．若实数x，y，z满足x+2y+z=1，求x2+y2+z2的最小值．
[必做题]（第25、26题，每小题0分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）
25．某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课（上午不排该课程），张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程．
（1）求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；
（2）设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X，求X的概率分布表与数学期望E（X）．
26．设n∈N*，n≥3，k∈N*．
（1）求值：
①kCnk﹣nCn﹣1k﹣1；
②k2Cnk﹣n（n﹣1）Cn﹣2k﹣2﹣nCn﹣1k﹣1（k≥2）；
（2）化简：12Cn0+22Cn1+32Cn2+…+（k+1）2Cnk+…+（n+1）2Cnn．
2017年江苏省南京市、盐城市高考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）
1．已知集合A={﹣1，0，1}，B=（﹣∞，0），则A∩B= {﹣1} ．
【考点】交集及其运算．
【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．
【解答】解：∵A={﹣1，0，1}，B=（﹣∞，0），
∴A∩B={﹣1}，
故答案为：{﹣1}
2．设复数z满足（1+i）z=2，其中i为虚数单位，则z的虚部为 ﹣1 ．
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】把给出的等式两边同时乘以，然后运用复数的除法进行运算，分子分母同时乘以1﹣i．整理后可得复数z的虚部．
【解答】解：由（1+i）z=2，得：．
所以，z的虚部为﹣1．
故答案为﹣1．
3．已知样本数据x1，x2，x3，x4，x5的方差s2=3，则样本数据2x1，2x2，2x3，2x4，2x5的方差为 12 ．
【考点】极差、方差与标准差．
【分析】利用方差性质求解．
【解答】解：∵样本数据x1，x2，x3，x4，x5的方差s2=3，
∴样本数据2x1，2x2，2x3，2x4，2x5的方差为：
22s2=4×3=12．
故答案为：12．
4．如图是一个算法流程图，则输出的x的值是 9 ．
【考点】程序框图．
【分析】模拟执行程序，即可得出结论．
【解答】解：由题意，x=1，y=9，x＜y，
第1次循环，x=5，y=7，x＜y，
第2次循环，x=9，y=5，x＞y，
退出循环，输出9．
故答案为9．
5．在数字1、2、3、4中随机选两个数字，则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为 ．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】基本事件总数n=，选中的数字中至少有一个是偶数的对立事件是选中的两个数字都是奇数，由此能求出选中的数字中至少有一个是偶数的概率．
【解答】解：在数字1、2、3、4中随机选两个数字，
基本事件总数n=，
选中的数字中至少有一个是偶数的对立事件是选中的两个数字都是奇数，
∴选中的数字中至少有一个是偶数的概率为p=1﹣=．
故答案为：．
6．已知实数x，y满足，则的最小值是 ．
【考点】简单线性规划．
【分析】先作出不等式组所表示的平面区域，由于可以看做平面区域内的点与原点的连线的斜率，结合图形可求斜率最大值
【解答】解：作出不等式组所表示的平面区域如图所示：
由于可以看做平面区域内的点与原点的连线的斜率，
结合图形可知，当直线过OA时 斜率最小．
由于可得A（4，3），此时k=．
故答案为：．
7．设双曲线的一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的离心率为 ．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】求出双曲线的渐近线方程，可得a=，则c==2，再由离心率公式，即可得到双曲线的离心率．
【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x，
则tan30°=即为a=，则c==2，
即有e=．
故答案为．
8．设{an}是等差数列，若a4+a5+a6=21，则S9= 63 ．
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】由等差数列的通项公式求出a5=7，再由等差数列的前n项和公式得，由此能求出结果．
【解答】解：∵{an}是等差数列，a4+a5+a6=21，
∴a4+a5+a6=3a5=21，解得a5=7，
∴=63．
故答案为：63．
9．将函数的图象向右平移φ（）个单位后，所得函数为偶函数，则φ= ．
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】若所得函数为偶函数，则﹣2φ=+kπ，k∈Z，进而可得答案．
【解答】解：把函数f（x）=3sin（2x+）的图象向右平移φ个单位，
可得函数y=3sin[2（x﹣φ）+]=3sin（2x+﹣2φ）的图象，
若所得函数为偶函数，
则﹣2φ=+kπ，k∈Z，
解得：φ=﹣+kπ，k∈Z，
当k=1时，φ的最小正值为．
故答案为：．
10．将矩形ABCD绕边AB旋转一周得到一个圆柱，AB=3，BC=2，圆柱上底面圆心为O，△EFG为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥O﹣EFG体积的最大值是 4 ．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】三棱锥O﹣EFG的高为圆柱的高，即高为ABC，当三棱锥O﹣EFG体积取最大值时，△EFG的面积最大，当EF为直径，且G在EF的垂直平分线上时，（S△EFG）max=，由此能求出三棱锥O﹣EFG体积的最大值．
【解答】解：∵将矩形ABCD绕边AB旋转一周得到一个圆柱，AB=3，BC=2，
圆柱上底面圆心为O，△EFG为下底面圆的一个内接直角三角形，
∴三棱锥O﹣EFG的高为圆柱的高，即高为ABC，
∴当三棱锥O﹣EFG体积取最大值时，△EFG的面积最大，
当EF为直径，且G在EF的垂直平分线上时，
（S△EFG）max=，
∴三棱锥O﹣EFG体积的最大值Vmax==．
故答案为：4．
11．在△ABC中，已知，，则的最大值为 ．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】可先画出图形，对的两边平方，进行数量积的运算即可得到，根据不等式a2+b2≥2ab即可得到，这样便可求出的最大值．
【解答】解：如图，
；
∴；
∴；
即；
∴=；
∴的最大值为．
故答案为：．
12．如图，在平面直角坐标系中，分别在x轴与直线上从左向右依次取点Ak、Bk，k=1，2，…，其中A1是坐标原点，使△AkBkAk+1都是等边三角形，则△A10B10A11的边长是 512 ．
【考点】数列的求和．
【分析】设直线与x轴交点坐标为P，由直线的倾斜角为300，又△A1B1A2是等边三角形，求出△A2B2A3、…找出规律，就可以求出△A10B10A11的边长．
【解答】解：∵直线的倾斜角为300，且直线与x轴交点坐标为P（﹣，0），
又∵△A1B1A2是等边三角形，∴∠B1A1A2=600，B1A1=，PA2=2，
∴△A2B2A3的边长为PA2=2，同理 B2A2=PA3=4，…以此类推
B10A10=PA10=512，∴△A10B10A11的边长是512，
故答案为：512．
13．在平面直角坐标系xOy中，已知点P为函数y=2lnx的图象与圆M：（x﹣3）2+y2=r2的公共点，且它们在点P处有公切线，若二次函数y=f（x）的图象经过点O，P，M，则y=f（x）的最大值为 ．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】设P（x0，y0），求得y=2lnx的导数，可得切线的斜率和切线方程；求得圆上一点的切线方程，由直线重合的条件，可得二次函数y=x（3﹣x），满足经过点P，O，M，即可得到所求最大值．
【解答】解：设P（x0，y0），函数y=2lnx的导数为y′=，
函数y=2lnx在点P处的切线方程为y﹣y0=（x﹣x0），
即为x﹣y+y0﹣2=0；
圆M：（x﹣3）2+y2=r2的上点P处的切线方程为（x0﹣3）（x﹣3）+yy0=r2，
即有（x0﹣3）x+yy0+9﹣3x0﹣r2=0；
由切线重合，可得
==，
即x0（3﹣x0）=2y0，
则P为二次函数y=x（3﹣x）图象上的点，
且该二次函数图象过O，M，
则当x=时，二次函数取得最大值，
故答案为：．
14．在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a2+b2+2c2=8，则△ABC面积的最大值为 ．
【考点】余弦定理．
【分析】由三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理可求S2=a2b2﹣，进而利用基本不等式可求S2≤﹣=﹣+c，从而利用二次函数的性质可求最值．
【解答】解：由三角形面积公式可得：S=absinC，
可得：S2=a2b2（1﹣cos2C）=a2b2[1﹣（）2]，
∵a2+b2+2c2=8，
∴a2+b2=8﹣2c2，
∴S2=a2b2[1﹣（）2]
=a2b2[1﹣（）2]
=a2b2﹣
≤﹣=﹣+c，当且仅当a=b时等号成立，
∴当c=时，﹣ +c取得最大值，S的最大值为．
故答案为：．
二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）
15．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC⊥AC，D，E分别是AB，AC的中点．
（1）求证：B1C1∥平面A1DE；
（2）求证：平面A1DE⊥平面ACC1A1．
【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．
【分析】（1）证明B1C1∥DE，即可证明B1C1∥平面A1DE；
（2）证明DE⊥平面ACC1A1，即可证明平面A1DE⊥平面ACC1A1．
【解答】证明：（1）因为D，E分别是AB，AC的中点，所以DE∥BC，…
又因为在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1C1∥BC，所以B1C1∥DE…
又B1C1⊄平面A1DE，DE⊂平面A1DE，所以B1C1∥平面A1DE…
（2）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，
又DE⊂底面ABC，所以CC1⊥DE…
又BC⊥AC，DE∥BC，所以DE⊥AC，…
又CC1，AC⊂平面ACC1A1，且CC1∩AC=C，所以DE⊥平面ACC1A1…
又DE⊂平面A1DE，所以平面A1DE⊥平面ACC1A1…
16．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且bsin2C=csinB．
（1）求角C；
（2）若，求sinA的值．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】（1）根据正弦定理化简已知等式得2sinBsinCcosC=sinCsinB，结合sinB＞0，sinC＞0，可求，结合范围C∈（0，π），可求C的值．
（2）由角的范围利用同角三角函数基本关系式可求cos（B﹣）的值，由于A=﹣（B﹣），利用两角差的正弦函数公式即可计算求值得解．
【解答】解：（1）由bsin2C=csinB，根据正弦定理，得2sinBsinCcosC=sinCsinB，…
因为sinB＞0，sinC＞0，
所以，…
又C∈（0，π），
所以．…
（2）因为，
所以，
所以，
又，
所以．…
又，即，
所以=sin[﹣（B﹣）]…
=．…
17．在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=b2经过椭圆（0＜b＜2）的焦点．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）设直线l：y=kx+m交椭圆E于P，Q两点，T为弦PQ的中点，M（﹣1，0），N（1，0），记直线TM，TN的斜率分别为k1，k2，当2m2﹣2k2=1时，求k1•k2的值．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）椭圆E的焦点在x轴上，圆O：x2+y2=b2经过椭圆E的焦点，所以椭圆的半焦距c=b，所以2b2=4，即b2=2，即可求出椭圆E的方程；
（2）求出T的坐标，利用斜率公式，结合条件，即可求k1•k2的值．
【解答】解：（1）因0＜b＜2，所以椭圆E的焦点在x轴上，
又圆O：x2+y2=b2经过椭圆E的焦点，所以椭圆的半焦距c=b，…
所以2b2=4，即b2=2，所以椭圆E的方程为．…
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），T（x0，y0），
联立，消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣4=0，
所以，又2m2﹣2k2=1，所以x1+x2=，
所以，，…
则．…
18．如图所示，某街道居委会拟在EF地段的居民楼正南方向的空白地段AE上建一个活动中心，其中AE=30米．活动中心东西走向，与居民楼平行．从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形ABCD，上部分是以DC为直径的半圆．为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE不超过2.5米，其中该太阳光线与水平线的夹角θ满足
．
（1）若设计AB=18米，AD=6米，问能否保证上述采光要求？
（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计AB与AD的长度，可使得活动中心的截面面积最大？（注：计算中π取3）
【考点】直线和圆的方程的应用．
【分析】（1）以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．设太阳光线所在直线方程为，利用直线与圆相切，求出直线方程，令x=30，得EG=1.5米＜2.5米，即可得出结论；
（2）方法一：设太阳光线所在直线方程为，利用直线与圆相切，求出直线方程，令x=30，得h≤25﹣2r，即可求出截面面积最大；
方法二：欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG恰为2.5米，即可求出截面面积最大
【解答】解：如图所示，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．
（1）因为AB=18，AD=6，所以半圆的圆心为H（9，6），
半径r=9．设太阳光线所在直线方程为，
即3x+4y﹣4b=0，…
则由，
解得b=24或（舍）．
故太阳光线所在直线方程为，…
令x=30，得EG=1.5米＜2.5米．
所以此时能保证上述采光要求…
（2）设AD=h米，AB=2r米，则半圆的圆心为H（r，h），半径为r．
方法一：设太阳光线所在直线方程为，
即3x+4y﹣4b=0，由，
解得b=h+2r或b=h﹣2r（舍）…
故太阳光线所在直线方程为，
令x=30，得，由，得h≤25﹣2r…
所以=．
当且仅当r=10时取等号．
所以当AB=20米且AD=5米时，可使得活动中心的截面面积最大…
方法二：欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG恰为2.5米，则此时点G为（30，2.5），
设过点G的上述太阳光线为l1，则l1所在直线方程为y﹣=﹣（x﹣30），
即3x+4y﹣100=0…
由直线l1与半圆H相切，得．
而点H（r，h）在直线l1的下方，则3r+4h﹣100＜0，
即，从而h=25﹣2r…
又=．
当且仅当r=10时取等号．
所以当AB=20米且AD=5米时，可使得活动中心的截面面积最大…
19．设函数f（x）=lnx，g（x）=ax+﹣3（a∈R）．
（1）当a=2时，解关于x的方程g（ex）=0（其中e为自然对数的底数）；
（2）求函数φ（x）=f（x）+g（x）的单调增区间；
（3）当a=1时，记h（x）=f（x）•g（x），是否存在整数λ，使得关于x的不等式2λ≥h（x）有解？若存在，请求出λ的最小值；若不存在，请说明理由．（参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986）．
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）当a=2时，求出g（x）=0的解，即可解关于x的方程g（ex）=0（其中e为自然对数的底数）；
（2）φ（x）=f（x）+g（x）=lnx+ax+﹣3，φ′（x）=，分类讨论，利用导数的正负，求函数φ（x）=f（x）+g（x）的单调增区间；
（3）判断h（x）不存在最小值，即可得出结论．
【解答】解：（1）当a=2时，g（x）=0，可得x=1，
g（ex）=0，可得ex=或ex=1，
∴x=﹣ln2或0；
（2）φ（x）=f（x）+g（x）=lnx+ax+﹣3，φ′（x）=
①a=0，φ′（x）=＞0，函数的单调递增区间是（0，+∞）；
②a=1，φ′（x）=•x＞0，函数的单调递增区间是（0，+∞）；
③0＜a＜1，x=＜0，函数的单调递增区间是（0，+∞）；
④a＞1，x=＞0，函数的单调递增区间是（，+∞）；
⑤a＜0，x=＞0，函数的单调递增区间是（0，）；
（3）a=1，h（x）=（x﹣3）lnx，h′（x）=lnx﹣+1，
h″（x）=+＞0恒成立，∴h′（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴存在x0，h′（x0）=0，即lnx0=﹣1+，
h（x）在（0，x0）上单调递减，（x0，+∞）上单调递增，
∴h（x）min=h（x0）=﹣（x0+）+6，
∵h′（1）＜0，h′（2）＞0，∴x0∈（1，2），
∴h（x）不存在最小值，
∴不存在整数λ，使得关于x的不等式2λ≥h（x）有解．
20．若存在常数k（k∈N*，k≥2）、q、d，使得无穷数列{an}满足则称数列{an}为“段比差数列”，其中常数k、q、d分别叫做段长、段比、段差．设数列{bn}为“段比差数列”．
（1）若{bn}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、q、3．
①当q=0时，求b2016；
②当q=1时，设{bn}的前3n项和为S3n，若不等式对n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围；
（2）设{bn}为等比数列，且首项为b，试写出所有满足条件的{bn}，并说明理由．
【考点】数列的应用；等比数列的性质．
【分析】（1）①方法一：由{bn}的首项、段长、段比、段差可得b2014=0×b2013=0，再由b2015=b2014+3，b2016=b2015+3即可；
方法二：根据{bn}的首项、段长、段比、段差，⇒b1=1，b2=4，b3=7，b4=0×
b3=0，b5=b4+3=3，b6=b5+3=6，b7=0×b6=0，…⇒bn}是周期为3的周期数列即可；
②方法一：由{bn}的首项、段长、段比、段差，⇒b3n+2﹣b3n﹣1=（b3n+1+d）﹣b3n﹣1=（qb3n+d）﹣b3n﹣1=[q（b3n﹣1+d）+d]﹣b3n﹣1=2d=6，⇒{b3n﹣1}是等差数列，又∵b3n﹣2+b3n﹣1+b3n=（b3n﹣1﹣d）+b3n﹣1+（b3n﹣1+d）=3b3n﹣1，即可求S3n
方法二：由{bn}的首项、段长、段比、段差⇒b3n+1=b3n，∴b3n+3﹣b3n=b3n+3﹣b3n+1=2d=6，∴{b3n}是首项为b3=7、公差为6的等差数列即可，
（2）方法一：设{bn}的段长、段比、段差分别为k、q、d，⇒等比数列的通项公式有，
当m∈N*时，bkm+2﹣bkm+1=d，即bqkm+1﹣bqkm=bqkm（q﹣1）=d恒成立，①若q=1，则d=0，bn=b；
②若q≠1，则，则qkm为常数，则q=﹣1，k为偶数，d=﹣2b，；
方法二：设{bn}的段长、段比、段差分别为k、q、d，
①若k=2，则b1=b，b2=b+d，b3=（b+d）q，b4=（b+d）q+d，由，得b+d=bq；由，得（b+d）q2=（b+d）q+d，求得得d 即可
②若k≥3，则b1=b，b2=b+d，b3=b+2d，由，求得得d 即可．
【解答】（1）①方法一：∵{bn}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，∴b2014=0×b2013=0，∴b2015=b2014+3=3，∴b2016=b2015+3=6．…
方法二：∵{bn}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，
∴b1=1，b2=4，b3=7，b4=0×b3=0，b5=b4+3=3，b6=b5+3=6，b7=0×b6=0，…
∴当n≥4时，{bn}是周期为3的周期数列．
∴b2016=b6=6．…
②方法一：∵{bn}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，
∴b3n+2﹣b3n﹣1=（b3n+1+d）﹣b3n﹣1=（qb3n+d）﹣b3n﹣1=[q（b3n﹣1+d）+d]﹣b3n﹣1=2d=6，
∴{b3n﹣1}是以b2=4为首项、6为公差的等差数列，
又∵b3n﹣2+b3n﹣1+b3n=（b3n﹣1﹣d）+b3n﹣1+（b3n﹣1+d）=3b3n﹣1，∴S3n=（b1+b2+b3）
+（b4+b5+b6）+…+（b3n﹣2+b3n﹣1+b3n）=，…∵，∴，设，则λ≥（cn）max，
又，
当n=1时，3n2﹣2n﹣2＜0，c1＜c2；当n≥2时，3n2﹣2n﹣2＞0，cn+1＜cn，
∴c1＜c2＞c3＞…，∴（cn）max=c2=14，…
∴λ≥14，得λ∈[14，+∞）．…
方法二：∵{bn}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，
∴b3n+1=b3n，∴b3n+3﹣b3n=b3n+3﹣b3n+1=2d=6，∴{b3n}是首项为b3=7、公差为6的等差数列，
∴，
易知{bn}中删掉{b3n}的项后按原来的顺序构成一个首项为1公差为3的等差数列，∴，∴，…
以下同方法一．
（2）方法一：设{bn}的段长、段比、段差分别为k、q、d，
则等比数列{bn}的公比为，由等比数列的通项公式有，
当m∈N*时，bkm+2﹣bkm+1=d，即bqkm+1﹣bqkm=bqkm（q﹣1）=d恒成立，…
①若q=1，则d=0，bn=b；
②若q≠1，则，则qkm为常数，则q=﹣1，k为偶数，d=﹣2b，；
经检验，满足条件的{bn}的通项公式为bn=b或．…
方法二：设{bn}的段长、段比、段差分别为k、q、d，
①若k=2，则b1=b，b2=b+d，b3=（b+d）q，b4=（b+d）q+d，
由，得b+d=bq；由，得（b+d）q2=（b+d）q+d，
联立两式，得或，则bn=b或，经检验均合题意．…
②若k≥3，则b1=b，b2=b+d，b3=b+2d，
由，得（b+d）2=b（b+2d），得d=0，则bn=b，经检验适合题意．
综上①②，满足条件的{bn}的通项公式为bn=b或．…
数学附加题部分（本部分满分0分，考试时间30分钟）[选做题]（在21、22、23、24四小题中只能选做2题，每小题0分，计20分）[选修4-1：几何证明选讲]
21．如图，AB是半圆O的直径，点P为半圆O外一点，PA，PB分别交半圆O于点D，C．若AD=2，PD=4，PC=3，求BD的长．
【考点】与圆有关的比例线段．
【分析】由切割线定理得：PD•PA=PC•PB，求出BC，利用勾股定理，求BD的长．
【解答】解：由切割线定理得：PD•PA=PC•PB
则4×（2+4）=3×（3+BC），解得BC=5，…
又因为AB是半圆O的直径，故，…
则在三角形PDB中有．…
[选修4-2：矩阵与变换]
22．设矩阵M=的一个特征值λ对应的特征向量为，求m与λ的值．
【考点】特征向量的定义．
【分析】推导出，由此能求出结果．
【解答】解：∵矩阵M=的一个特征值λ对应的特征向量为，
∴，…
解得m=0，λ=﹣4．…
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线为参数）．现以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l与圆C交于A，B两点，求弦AB的长．
【考点】简单曲线的极坐标方程．
【分析】直线为参数）化为普通方程，圆C的极坐标方程ρ=2cosθ化为直角坐标方程，求出圆C的圆心到直线l的距离，即可求弦AB的长．
【解答】解：直线为参数）化为普通方程为4x﹣3y=0，…
圆C的极坐标方程ρ=2cosθ化为直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1，…
则圆C的圆心到直线l的距离为，…
所以．…
[选修4-5：不等式选讲]
24．若实数x，y，z满足x+2y+z=1，求x2+y2+z2的最小值．
【考点】基本不等式．
【分析】利用条件x+2y+z=1，构造柯西不等式（x+y+z）2≤（x2+y2+z2）（12+22+12）进行解题即可．
【解答】解：由柯西不等式，得（x+2y+z）2≤（12+22+12）•（x2+y2+z2），
即，…
又因为x+2y+z=1，所以，
当且仅当，即时取等号．
综上，．…
[必做题]（第25、26题，每小题0分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）
25．某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课（上午不排该课程），张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程．
（1）求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；
（2）设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X，求X的概率分布表与数学期望E（X）．
【考点】离散型随机变量的期望与方差．
【分析】（1）利用对立事件的概率关系求解；
（2）两个班“在一星期的任一天同时上综合实践课”的概率为，一周中5天是5次独立重复试验，服从二项分布．
【解答】解：（1）这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率为．…
（2）由题意得，．…
所以X的概率分布表为：
X
0
1
2
3
4
5
P
…
所以，X的数学期望为．…
26．设n∈N*，n≥3，k∈N*．
（1）求值：
①kCnk﹣nCn﹣1k﹣1；
②k2Cnk﹣n（n﹣1）Cn﹣2k﹣2﹣nCn﹣1k﹣1（k≥2）；
（2）化简：12Cn0+22Cn1+32Cn2+…+（k+1）2Cnk+…+（n+1）2Cnn．
【考点】组合及组合数公式．
【分析】（1）利用组合数的计算公式即可得出．
（2）方法一：由（1）可知当k≥2时=．代入化简即可得出．
方法二：当n≥3时，由二项式定理，有，
两边同乘以x，得，
两边对x求导，得，两边再同乘以x，得，
两边再对x求导，得（1+x）n+n（1+x）n﹣1x+n（n﹣1）（1+x）n﹣2x2+2n（1+x）n﹣1x=．
令x=1，即可得出．
【解答】解：（1）①=．…
②
==．…
（2）方法一：由（1）可知当k≥2时=．
故==（1+4n）+n（n﹣1）2n﹣2+3n（2n﹣1﹣1）+（2n﹣1﹣n）=2n﹣2（n2+5n+4）．…
方法二：当n≥3时，由二项式定理，有，
两边同乘以x，得，
两边对x求导，得，…
两边再同乘以x，得，
两边再对x求导，得（1+x）n+n（1+x）n﹣1x+n（n﹣1）（1+x）n﹣2x2+2n（1+x）n﹣1x=．…
令x=1，得2n+n2n﹣1+n（n﹣1）2n﹣2+2n2n﹣1=，
即=2n﹣2（n2+5n+4）．…
2017年2月1日
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