2016-2017学年四川省绵阳市高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）
1．直线x+y+1=0的倾斜角为（ ）
A．150° B．120° C．60° D．30°
2．高二年级有男生560人，女生420人，为了解学生职业规划，现用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280人的样本，则此样本中男生人数为（ ）
A．120 B．160 C．280 D．400
3．如果直线l1：x+ax+1=0和直线l2：ax+y+1=0垂直，则实数a的值为（ ）
A．±1 B．1 C．﹣1 D．0
4．已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，|AF|=x0，则x0=（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
5．天气预报显示，在今后的三天中，每一天下雨的概率为40%，现用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0﹣9之间整数值的随机数，并制定用1，2，3，4，5表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨，再以每3个随机数作为一组，代表三天的天气情况，产生了如下20组随机数
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
则这三天中恰有两天下雨的概率近似为（ ）
A． B． C． D．
6．甲乙两个竞赛队都参加了6场比赛，比赛得分情况的经营如图如图（单位：分）），其中乙队的一个得分数字被污损，那么估计乙队的平均得分大于甲队的平均得分的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知两个丁圆O1和O2，它们的半径分别是2和4，且|O1O2|=8，若动圆M与圆O1内切，又与O2外切，则动圆圆心M的轨迹方程是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线一支 D．抛物线
8．执行如图的程序框图．输出的x的值是（ ）
A．2 B．14 C．11 D．8
9．某中学兴趣小组为调查该校学生对学校食堂的某种食品喜爱与否是否与性别有关，随机询问了100名性别不同的学生，得到如下的2×2列联表：
男生
女生
总计
喜爱
30
20
50
不喜爱
20
30
50
总计
50
50
100
附K2=
P（K2≥k0）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
根据以上数据，该数学兴趣小组有多大把握认为“喜爱该食品与性别有关”？
（ ）
A．99%以上 B．97.5%以上 C．95%以上 D．85%以上
10．已知圆C1：x2+y2=4和圆2：（x﹣a）2+y2=4，其中a是在区间（0，6）上任意取得一个实数，那么圆C1和圆C2相交且公共弦长小于2的概率为（ ）
A． B． C． D．
11．若关于x的方程=mx+m﹣1有两个不同的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．（0，） B．[，） C．（，） D．[，）
12．已知F1，F2为双曲线C：﹣=1（a＞0）的左右焦点，点A在双曲线的右支上，点P（7，2）是平面内一定点，若对任意实数m，直线4x+3y+m=0与双曲线C至多有一个公共点，则|AP|+|AF2|的最小值为（ ）
A．2﹣6 B．10﹣3 C．8﹣ D．2﹣2
二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）
13．空间直角坐标系中，设A（﹣1，2，﹣3），B（﹣1，0，2），点M和点A关于y轴对称，则|BM|= ．
14．如图算法最后输出的结果是 ．
15．已知F1，F2分别是椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，若椭圆外存在一点P，满足•=0，则椭圆C的离心率e的取值范围是 ．
16．设点M（3，t），若在圆O：x2+y2=6上存在两点A，B，使得∠AMB=90°
，则t的取值范围是 ．
三、解答题（共4小题，满分40分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）某模具长新接一批新模型制作的订单，为给订购方回复出货时间，需确定制作该批模型所花费的时间，为此进行了5次试验，收集数据如下：
制作模型数x（个）
10
20
30
40
50
花费时间y（分钟）
64
69
75
82
90
（1）请根据以上数据，求关于x的线性回归方程=x+；
（2）若要制作60个这样的模型，请根据（1）中所求的回归方程预测所花费的时间．
（注：回归方程=x+中斜率和截距最小二乘估计公式分别为=， =﹣，参考数据： xiyi=12050， x=5500）
18．（10分）某学习小组20名学生一次数学考试成绩（单位：分）频率直方图如图所示，已知前三个矩形框垂直于横轴的高度成等差数列．
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）分别求出成绩落在[50，60）与[80，90）中的学生人数；
（3）从成绩在[50，60）与[80，90）中的学生中人选2人，求此2人的成绩相差20分以上的概率．
19．（10分）已知圆M的圆心在直线x+y=0上，半径为1，直线l：6x﹣8y﹣9=0被圆M截得的弦长为，且圆心M在直线l的右下方．
（1）求圆M的标准方程；
（2）直线mx+y﹣m+1=0与圆M交于A，B两点，动点P满足|PO|=|PM|（O为坐标原点），试求△PAB面积的最大值，并求出此时P点的坐标．
20．（10分）已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，离心率e=，顺次连接椭圆四个顶点所得四边形的面积为2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知直线l与椭圆相交于M，N两点，O为原点，若点O在以MN为直径的圆上，试求点O到直线l的距离．
2016-2017学年四川省绵阳市高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）
1．直线x+y+1=0的倾斜角为（ ）
A．150° B．120° C．60° D．30°
【考点】直线的一般式方程．
【分析】直接利用倾斜角的正切值等于斜率求解．
【解答】解：设直线的倾斜角为α（0°＜α＜180°），则tanα=．
所以α=150°．
故选A．
【点评】本题考查了直线的一般式方程，考查了斜率和倾斜角的关系，是基础题．
2．高二年级有男生560人，女生420人，为了解学生职业规划，现用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280人的样本，则此样本中男生人数为（ ）
A．120 B．160 C．280 D．400
【考点】分层抽样方法．
【分析】先根据男生和女生的人数做出年纪大总人数，用要抽取得人数除以总人数得到每个个体被抽到的概率，用男生人数乘以概率，得到结果．
【解答】解：∵有男生560人，女生420人，
∴年级共有560+420=980，
∵用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，
∴每个个体被抽到的概率是=，
∴要从男生中抽取560×=160，
故选：B．
【点评】本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，这是解题的依据，本题是一个基础题．
3．如果直线l1：x+ax+1=0和直线l2：ax+y+1=0垂直，则实数a的值为（ ）
A．±1 B．1 C．﹣1 D．0
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【分析】利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出．
【解答】解：∵l1⊥l2，则a+a=0
解得a=0．
故选D．
【点评】本题考查了两条直线相互垂直的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4．已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，|AF|=x0，则x0=（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】求出抛物线的准线方程，由抛物线的定义，解方程，即可得到所求值．
【解答】解：抛物线方程为y2=2x，
准线方程为x=﹣，
由抛物线的定义，可得|AF|=x0+=x0，
解得，x0=1．
故选A．
【点评】本题考查抛物线的方程和性质，考查抛物线的定义及运用，考查运算能力，属于基础题．
5．天气预报显示，在今后的三天中，每一天下雨的概率为40%，现用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0﹣9之间整数值的随机数，并制定用1，2，3，4，5表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨，再以每3个随机数作为一组，代表三天的天气情况，产生了如下20组随机数
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
则这三天中恰有两天下雨的概率近似为（ ）
A． B． C． D．
【考点】模拟方法估计概率．
【分析】由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有可以通过列举得到共5组随机数，根据概率公式，得到结果．
【解答】解：由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，
在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：191、271、932、812、393，共5组随机数，
所求概率为=，
故选B．
【点评】本题考查模拟方法估计概率，解题主要依据是等可能事件的概率，注意列举法在本题的应用．
6．甲乙两个竞赛队都参加了6场比赛，比赛得分情况的经营如图如图（单位：分）），其中乙队的一个得分数字被污损，那么估计乙队的平均得分大于甲队的平均得分的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图．
【分析】设乙队的一个得分数字被污损的数学为x，求出甲队平均分为45．乙队平均分为，由x的可能取值的个数是10个，满足＞45的x的个数有4个，由此能估计乙队的平均得分大于甲队的平均得分的概率．
【解答】解：设乙队的一个得分数字被污损的数学为x，
甲队平均分为： =（38+41+44+46+49+52）=45．
乙队平均分为： =（31+47+40+x+42+51+54）=，
∵x的可能取值的个数是10个，
满足＞45的x的个数有4个，
∴估计乙队的平均得分大于甲队的平均得分的概率p=．
故选：C．
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意茎叶图及等可能事件概率计算公式的合理运用．
7．已知两个丁圆O1和O2，它们的半径分别是2和4，且|O1O2|=8，若动圆M与圆O1内切，又与O2外切，则动圆圆心M的轨迹方程是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线一支 D．抛物线
【考点】双曲线的定义．
【分析】由两个圆相内切和外切的条件，写出动圆圆心满足的关系式，由双曲线的定义确定其轨迹即可．
【解答】解：设动圆圆心为M，半径为R，由题意
|MO1|=R﹣2，|MO2|=R+4，
所以|MO2|﹣|MO1|=6（常数）且6＜8=|O1O2|
故M点的轨迹为以，O1O2为焦点的双曲线的一支．
故选C．
【点评】本题考查定义法求轨迹方程、两圆相切的条件等知识，考查利用所学知识解决问题的能力．
8．执行如图的程序框图．输出的x的值是（ ）
A．2 B．14 C．11 D．8
【考点】程序框图．
【分析】根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出变量x的值，模拟程序的运行过程，可得答案．
【解答】解：当x=2，y=1时，满足进行循环的条件，x=5，y=2，n=2，
当x=5，y=2时，满足进行循环的条件，x=8，y=4，n=3，
当x=8，y=4时，满足进行循环的条件，x=11，y=9，n=4，
当x=11，y=9时，满足进行循环的条件，x=14，y=23，n=5，
当x=14，y=23时，不满足进行循环的条件，
故输出的x值为14，
故选：B
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当程序的运行次数不多或有规律时，可采用模拟运行的办法解答．
9．某中学兴趣小组为调查该校学生对学校食堂的某种食品喜爱与否是否与性别有关，随机询问了100名性别不同的学生，得到如下的2×2列联表：
男生
女生
总计
喜爱
30
20
50
不喜爱
20
30
50
总计
50
50
100
附K2=
P（K2≥k0）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
根据以上数据，该数学兴趣小组有多大把握认为“喜爱该食品与性别有关”？（ ）
A．99%以上 B．97.5%以上 C．95%以上 D．85%以上
【考点】独立性检验的应用．
【分析】利用公式求得K2，与临界值比较，即可得到结论．
【解答】解：K2==4＞3.841，
∴该数学兴趣小组有95%以上把握认为“喜爱该食品与性别有关”．
故选C．
【点评】本题考查独立性检验知识，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
10．已知圆C1：x2+y2=4和圆2：（x﹣a）2+y2=4，其中a是在区间（0，6）上任意取得一个实数，那么圆C1和圆C2相交且公共弦长小于2的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】几何概型．
【分析】求出满足条件的a的范围，根据区间长度之比求出满足条件的概率即可．
【解答】解：a=2时，C1：x2+y2=4，C2：（x﹣2）2+y2=4，
那么圆C1和圆C2相交且公共弦长是2，
故满足条件的a的范围是：2＜a＜4，区间长度是2，
故在区间（0，6）上任意取得一个实数，
a在（2，4）的概率是p==，
故选：D．
【点评】本题考查了几何概型问题，考查圆和圆的位置关系，是一道中档题．
11．若关于x的方程=mx+m﹣1有两个不同的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．（0，） B．[，） C．（，） D．[，）
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】构造函数g（x）=mx+m﹣1，f（x）=，在同一坐标系中作出二函数的图象，数形结合即可求得实数m的取值范围．
【解答】解：令g（x）=mx+m﹣1，f（x）=，
∵方程mx+3m=有两个不同的实数解，
∴g（x）=mx+m﹣1与f（x）=有两个不同的交点，
在同一坐标系中作图如下：
∵g（x）=mx+m﹣1为过定点（﹣1，﹣1）的直线，
当直线g（x）=mx+m﹣1经过（1，0），即m=时，
显然g（x）=mx+m﹣1与f（x）=有两个不同的交点；
当直线g（x）=mx+m﹣1与曲线f（x）=相切时，
，解得m=或m=0（舍），
∴m∈[，），
故选：B
【点评】本题考查根的存在性及根的个数判断，考查等价转化思想与数形结合思想的综合应用，属于中档题
12．已知F1，F2为双曲线C：﹣=1（a＞0）的左右焦点，点A在双曲线的右支上，点P（7，2）是平面内一定点，若对任意实数m，直线4x+3y+m=0与双曲线C至多有一个公共点，则|AP|+|AF2|的最小值为（ ）
A．2﹣6 B．10﹣3 C．8﹣ D．2﹣2
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】利用对任意实数m，直线4x+3y+m=0与双曲线C至多有一个公共点，得出直线4x+3y+m=0与双曲线的渐近线方程为y=±x，重合或平行，求出a，再利用双曲线的定义进行转化，即可得出结论．
【解答】解：∵双曲线C：﹣=1（a＞0），
∴双曲线的渐近线方程为y=±x，
∵对任意实数m，直线4x+3y+m=0与双曲线C至多有一个公共点，
∴直线4x+3y+m=0与双曲线的渐近线方程为y=±x，重合或平行，
∴a=3，
∴c=5，
∴F1为（﹣5，0），
∵P（7，2），∴|PF1|==2，
∴|AP|+|AF2|=|AP|+|AF1|﹣6≥|PF1|﹣6=2﹣6
∴|AP|+|AF2|的最小值为2﹣6，
故选A．
【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查双曲线定义的运用，考查学生的计算能力，正确转化是关键．
二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）
13．空间直角坐标系中，设A（﹣1，2，﹣3），B（﹣1，0，2），点M和点A关于y轴对称，则|BM|= 3 ．
【考点】空间中的点的坐标．
【分析】先求出点M（1，2，3），由此利用两点间距离公式能求出|BM|的值．
【解答】解：∵空间直角坐标系中，设A（﹣1，2，﹣3），B（﹣1，0，2），
点M和点A关于y轴对称，
∴M（1，2，3），
|BM|==3．
故答案为：3．
【点评】本题考查空间中两点间距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用．
14．如图算法最后输出的结果是 67 ．
【考点】程序框图．
【分析】根据已知中的程序语句可得，该程序的功能是计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．
【解答】解：当i=7时，满足进行循环的条件，S=5，i=5，
当i=5时，满足进行循环的条件，S=23，i=3，
当i=3时，满足进行循环的条件，S=67，i=1，
当i=1时，不满足进行循环的条件，
故输出的S值为67，
故答案为：67
【点评】本题考查的知识点是程序语句，当程序的运行次数不多或有规律时，可采用模拟运行的办法解答．
15．已知F1，F2分别是椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，若椭圆外存在一点P，满足•=0，则椭圆C的离心率e的取值范围是 [，1） ．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】由题意可知：△PF1F2是以P为直角顶点的直角三角形，则丨丨2+丨丨2=丨丨2，由（丨丨+丨丨）2≤2（丨丨2+丨丨2）=2丨丨2=8c2，e==≥=，由0＜e＜1，即可求得椭圆C的离心率e的取值范围．
【解答】解：椭圆上存在点使•=0，
∴⊥，
∴△PF1F2是以P为直角顶点的直角三角形，
∵丨丨+丨丨=2a，丨丨=2c，
椭圆的离心率e==，
由（丨丨+丨丨）2≤2（丨丨2+丨丨2）=2丨丨2=8c2，
∴e==≥=，
由0＜e＜1
∴该椭圆的离心率的取值范围是[，1），
故答案为[，1）．
【点评】本题考查椭圆的标准的标准方程及简单几何性质，考查基本不等式的应用，属于中档题．
16．设点M（3，t），若在圆O：x2+y2=6上存在两点A，B，使得∠AMB=90°，则t的取值范围是 ﹣≤t≤ ．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】由题意MA，MB是圆的切线时，|OM|=2，则9+t2≤12，即可求出t的取值范围．
【解答】解：由题意MA，MB是圆的切线时，|OM|=2，
∴9+t2≤12，
∴﹣≤t≤，
故答案为﹣≤t≤．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查两点间距离公式的运用，属于中档题．
三、解答题（共4小题，满分40分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）（2016秋•绵阳期末）某模具长新接一批新模型制作的订单，为给订购方回复出货时间，需确定制作该批模型所花费的时间，为此进行了5次试验，收集数据如下：
制作模型数x（个）
10
20
30
40
50
花费时间y（分钟）
64
69
75
82
90
（1）请根据以上数据，求关于x的线性回归方程=x+；
（2）若要制作60个这样的模型，请根据（1）中所求的回归方程预测所花费的时间．
（注：回归方程=x+中斜率和截距最小二乘估计公式分别为=
， =﹣，参考数据： xiyi=12050， x=5500）
【考点】线性回归方程．
【分析】（1）求出回归系数，可得关于x的线性回归方程=x+；
（2）当x=60时， =0.65×60+56.5=95.5分钟，即可得出结论．
【解答】解：（1）由数据得， =（10+20+30+40+50）=30， =（64+69+75+82+90）=76，
∴回归直线过样本中心点（30，76），
∵xiyi=12050， x=5500，∴ =0.65， =56.5，
∴y关于x的线性回归方程为=0.65x+56.5．…（8分）
（2）当x=60时， =0.65×60+56.5=95.5分钟
因此可以预测制作60个这种模型需要花费95.5分钟 …（10分）
【点评】本题考查线性相关及回归方程的应用，解题的关键是得到样本中心点，为基础题．
18．（10分）（2016秋•绵阳期末）某学习小组20名学生一次数学考试成绩（单位：分）频率直方图如图所示，已知前三个矩形框垂直于横轴的高度成等差数列．
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）分别求出成绩落在[50，60）与[80，90）中的学生人数；
（3）从成绩在[50，60）与[80，90）中的学生中人选2人，求此2人的成绩相差20分以上的概率．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．
【分析】（1）由已知前三个长方形的高成等差数列知，第三个长方形的高为8a，再由频率分布直方图能求出a．
（2）由频率分布直方图，能求出成绩落在[50，60）与[80，90）中的学生人数．
（3）记成绩落在 中的2人为A1，A2，成绩落在 中的3人为B1，B2，B3，利用列举法能求出这2人的成绩相差20分以上的概率．
【解答】解：（1）由已知前三个长方形的高成等差数列知，第三个长方形的高为8a，
于是由频率分布直方图得（2a+5a+8a+3a+2a）×10=1，解得a═0.005．…（2分）
（2）由频率分布直方图，知：
成绩落在[50，60）中的学生人数为2×0.005×10×20=2，
成绩落在[80，90）中的学生人数为3×0.005×10×20=3．…
（3）记成绩落在 中的2人为A1，A2，成绩落在 中的3人为B1，B2，B3，
则从成绩在 与 中任选2人的基本事件共有10个：
（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），
（A2，B2），（A2，B3），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3），…（7分）
其中2人的成绩相差20分以上的基本事件有6个：
（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），
故这2人的成绩相差20分以上的概率P=．…（10分）
【点评】本题考查等差数列、频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．
19．（10分）（2016秋•绵阳期末）已知圆M的圆心在直线x+y=0上，半径为1，直线l：6x﹣8y﹣9=0被圆M截得的弦长为，且圆心M在直线l的右下方．
（1）求圆M的标准方程；
（2）直线mx+y﹣m+1=0与圆M交于A，B两点，动点P满足|PO|=|PM|（O为坐标原点），试求△PAB面积的最大值，并求出此时P点的坐标．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】（1）利用直线l：6x﹣8y﹣9=0被圆M截得的弦长为，且圆心M在直线l的右下方，求出圆心坐标，即可求圆M的标准方程；
（2）要使△PAB的面积最大，点P到直线AB的距离d最大，利用P点在以（2，﹣2）为圆心，2为半径的圆上，即可得出结论．
【解答】解：（1）由已知可设圆心M（a，﹣a），圆心到直线l的距离为d，
则d==，…（1分）
于是，整理得|14a﹣9|=5，解得a=1，或a=．…
∵圆心M在直线l的右下方，
∴圆心M是（1，﹣1），
∴圆M的标准方程为（x﹣1）2+（y+1）2=1．…
（2）直线mx+y﹣m+1=0可变形为m（x﹣1）+y+1=0，即过定点（1，﹣1），
∴动直线mx+y﹣m+1=0恰好过圆M的圆心，
∴|AB|=2．…
设P（x，y），则由|PO|=|PM|，可得x2+y2=2[（x﹣1）2+（y+1）2]，
整理得（x﹣2）2+（y+2）2=4，即P点在以（2，﹣2）为圆心，2为半径的圆上，…（7分）
设此圆圆心为N，则N（2，﹣2）．
∴要使△PAB的面积最大，点P到直线AB的距离d最大，
dmax=|PM|=+2=+2，
∴△PAB面积的最大值为=．…（8分）
∵MN的方程为y=﹣x，…（9分）
代入方程（x﹣2）2+（y+2）2=4中，可解得x=4，或0 （舍去），
∴此时P（4，﹣4）．…（10分）
【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
20．（10分）（2016秋•绵阳期末）已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，离心率e=，顺次连接椭圆四个顶点所得四边形的面积为2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知直线l与椭圆相交于M，N两点，O为原点，若点O在以MN为直径的圆上，试求点O到直线l的距离．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）由题意可知：e==，得a=c，2ab=2，a2﹣c2=b2，即可求得a和b的值，求得椭圆的标准方程；
（2）当直线l的斜率不存在时，点O在以MN为直径的圆上，OM⊥ON．求得M和N的坐标，即可求得原点O到直线l的距离为，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，由韦达定理求得x1x2=，y1y2=，由•=0，则x1x2+y1y2═0，求得m2=，原点O到直线l的距离为d，则d===．
【解答】解：（1）设椭圆方程为（a＞b＞0），焦距为2c．
由e==，得a=c，①
∵椭圆顶点连线四边形面积为2，即2ab=2，②
又∵a2﹣c2=b2，③
联立①②③解得c=1，a=，b=1．
故椭圆的方程为：； …
（2）当直线l的斜率不存在时，点O在以MN为直径的圆上，
∴OM⊥ON．
根据椭圆的对称性，可知直线OM、ON的方程分别为y=x，y=﹣x，
可求得M（，），N（，﹣）或M（﹣，﹣），N（﹣，），
此时，原点O到直线l的距离为．…（6分）
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，点M（x1，y1），N（x2，y2），
由，整理得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2=0，
∴x1+x2=﹣，x1x2=，…（8分）
∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=k2•﹣km（﹣）+m2=．
∵OM⊥ON，
∴•=0，即x1x2+y1y2═+==0，
即3m2﹣2k2﹣2=0，变形得m2=．
设原点O到直线l的距离为d，则d====．
综上，原点O到直线l的距离为定值．…（10分）
【点评】
本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，点到直线距离公式的综合应用，考查计算能力，属于中档题．
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