高二数学（理科）试卷
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若方程表示一个圆，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2.以和为端点的线段的中垂线方程是（ ）
A． B． C． D．
3.给出下列四个命题：
①已知，是常数，“”是“表示双曲线的充分不必要条件”；
②命题：“，”的否定是：“，”；
③已知命题和，若是假命题，则与中必一真一假；
④命题“若，则”的逆命题是假命题．
其中真命题的序号是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．②④ D．②③
4.已知双曲线的焦距为10，点在的渐近线上，则的方程为（ ）
A． B． C. D．
5.已知向量，（），则的最小值是（ ）
A． B． C. D．
6.若直线与直线平行，则它们之间的距离为（ ）
A． B． C. D．
7.椭圆内有一点，则以为中点的弦所在直线的斜率为（ ）
A． B． C. D．
8.与圆外切，同时与圆内切的圆的圆心在（ ）
A．一个圆上 B．一个椭圆上 C.双曲线的一支上 D．一条抛物线上
9.设表示两条不同的直线，表示三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若，则；
②若，，则；
③若，，则；
④若，，，则．
其中正确命题的序号是（ ）
A．①④ B．②③ C.①②③ D．②③④
10.已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于，两点，为坐标原点，若双曲线的离心率为2，的面积为．则的值为（ ）
A．1 B． C.2 D．3
第Ⅱ卷（共80分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
11.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．
12.以抛物线的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为 ．
13.已知直线与圆交于两点，若，则直线在轴上的截距为 ．
14.设是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，且满足，，则的值等于 ．
15．已知椭圆与轴的正半轴交于点，若在第一象限的椭圆上存在一点，使得（为坐标原点），则该椭圆离心率的取值范围是 ．
三、解答题 （本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
16. （本小题满分12分）
已知圆经过点和且圆心在直线上．
（1）求圆的方程；
（2）求倾斜角为且与圆相切的直线的方程．
17. （本小题满分12分）
如图：在斜三棱柱中，四边形是菱形，四边形是矩形，，，，．
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正切值．
18. （本小题满分12分）
设抛物线的焦点为，是抛物线上横坐标为4的点，．
（1）求抛物线的方程；
（2）设过点且斜率为1的直线交抛物线于两点，为坐标原点，求的面积．
19. （本小题满分12分）
在如图所示的几何体中，平面，，四边形为矩形，，，是棱的中点．
（1）求证：平面；
（2）求异面直线与所成角的余弦值；
（3）求二面角的余弦值．
20. （本小题满分12分）
已知椭圆的左、右焦点分别为，且与直线相交于两点．
（1）若椭圆的两焦点分别为双曲线的顶点，且以椭圆上任一点和左右焦点，为顶点的的周长为，求椭圆的标准方程；
（2）在（1）的条件下，求弦的长；
（3）当椭圆的离心率满足，且以为直径的圆经过坐标原点，求椭圆长轴长的取值范围．
天津市部分区2016～2017学年度第一学期期末考试
高二数学（理科）试卷参考答案
一、选择题
1-5:ADCBD 6-10:DABBC
二、填空题
11. 12. 13. 14. 15．
三、解答题
16.解：（1）解法一：
所以圆的方程为 ． …………………………………………6分
解法二：
依题意易得线段的中垂线方程为 ．…………………………………3分
联立方程组
解得
所以圆心 ，
所以圆 的方程为 ．………………………………………6分
（2）直线的倾斜角为
∴ ………………………………………8分
∴可设直线的方程为
由（Ⅰ）可知圆心到直线的距离
………………………………………11分
解得
∴直线的方程为 ………………………………………12分
17.解：（1）
∴
∴………………2分
又四边形是矩形
∴………………3分
又
∴平面
又平面
∴平面平面 ………………………………………6分
（2）取的中点，连结
，
∴为正三角形
∴ …………………………8分
由（Ⅰ）可知平面
平面]
∴平面平面
又平面平面
∴平面
∴是在平面上的投影
∴是直线与平面所成的角 …………………………10分
在中，
∴
∴直线与平面所成角的正切值为. …………………………12分
18. 解：（1）抛物线的准线方程为：
由抛物线的定义可知：
∴
∴抛物线的标准方程为． …………………………………………4分
（2）由已知，，直线的方程为，……………………6分
联立 消得：，
所以 ……………………………8分
所以 ， …………………10分
又因为到直线的距离 ，
所以 ． ……………………………………12分
19.解：
（1）连接交于，连接
四边形为矩形
∴为的中点，
又是中点
∴ ………………………………2分
，
∴ ………………………………3分
（2）如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系,
依题意得，，，，，，，………………………………………………4分
易得， …………………5分
………………………6分
∴所求异面直线与所成角的余弦值为………………………7分
（3）由题意可知：
平面的一个法向量为 …………………………8分
又可解得
故设平面的一个法向量为
则即不妨令，可得 ……10分
于是
所以二面角的余弦值为 …………………………12分
20. 解： (1)由题意可知： …………………………1分
…………………………2分
∴
∴
∴椭圆的方程为： ……………………………3分
(2) 设点，
由方程组消去，整理得 ………………4分
求解可得， ………………………………5分
………………………………6分
（3）由方程组
消去，整理得
设点，
， ……………………………7分
以为直径的圆经过坐标原点，∴
∴
∴① ……………………………8分
又 ∴
由①可知 ………………………………10分
∴
∴ ∴ ……………………………12分
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