山东省聊城市2017届高三上学期期末考试数学（理）试题.doc

‎ ‎ 高三理科数学试卷 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知为虚数单位，复数满足，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.某市教育局随机调查了300名高中学生周末的学习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中学习时间的范围是，样本数据分组为，，根据直方图，这300名高中生周末的学习时间是小时的人数是（ ）‎ A．15 B．27 C．135 D．165 ‎ ‎4.设变量满足约束条件，则的最小值为（ ）‎ A．0 B． C. 1 D．‎ ‎5.已知是公差为2的等差数列，前5项和，若，则（ ）‎ A．4 B．6 C. 7 D．8‎ ‎6.一个由圆柱和正四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7.已知平面平面，直线，则“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎8.已知函数的最小正周期为，的图象向左平移个单位后关于直线对称，则的单调递增区间为（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎9.已知点是锐角所在平面内的动点，且满足，给出下列四个命题：‎ ‎①点的轨迹是一条直线；②恒成立；③；④存在点使得.则其中真命题的序号为（ ）‎ A．①② B．③④ C. ①②④ D．①③④‎ ‎10.已知偶函数的定义域为，且.当时，，则满足的的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共100分）‎ 二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）‎ ‎11.执行如图所示的程序框图，若，则程序运行后输出的的值为 ．‎ ‎12.的展开式中的常数项为 ．‎ ‎13.已知水池的长为，宽为，一海豚在水池中自由游戏，则海豚嘴尖离池边超过的概率为 ．‎ ‎14.已知双曲线的离心率为2，且两条渐近线与抛物线的准线交于两点，为坐标原点，若，则抛物线的方程为 ．‎ ‎15.已知函数，若方程恰有4个不同的实数根，则实数的取值范围是 ．‎ ‎16. ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎16.（本小题满分12分） ‎ 在中，内角，，所对应的的边分别为，，，且.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，的面积为9，求的长，并判断的形状.‎ ‎17. （本小题满分12分）‎ 在如图所示的几何体中，正方形所在的平面与正三角形所在的平面互相垂直，，且，是的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 已知等差数列的公差不等于零，前项和为，且成等比数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）令，求数列的前项和.‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 现在人们都注重锻炼身体，骑车或步行上下班的人越来越多，某公司甲、乙两人每天可采用步行，骑车，开车三种方式上下班.步行到公司所用时间为1小时，骑车到公司所用时间为0.5小时，开车到公司所用时间为0.1小时.甲、乙两人上下班方式互不影响.设甲、乙步行的概率分别为；骑车概率分别为.‎ ‎（1）求甲、乙两人到公司所用时间相同的概率；‎ ‎（2）设甲、乙两人到公司所用时间和为随机变量，求的分布列及数学期望.‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 已知函数（为常数）.‎ ‎（1）讨论函数的单调区间；‎ ‎（2）当时，若函数在（，是自然对数的底数）上有两个零点，求的最小值.‎ ‎21. （本小题满分14分）‎ 如图，已知椭圆的离心率为，为椭圆上的动点，到点的距离的最大值为，直线交椭圆于两点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若以为圆心的圆的半径为，且圆与相切.‎ ‎（i）是否存在常数，使恒成立？若存在，求出常数；若不存在，说明理由；‎ ‎（ii）求的面积.‎ ‎2016-2017学年大教育联盟高三期末联考参考答案及评分标准—数学（山东卷）‎ 理科数学 一、选择题 ‎1-5:BACBA 6-10:DBADC ‎ 二、填空题 ‎11.4 12.252 13. 14. 15. ‎ 三、解答题 ‎16.解：（1）由，可得.‎ 所以.‎ 解得.‎ 由余弦定理可知，‎ 由得或，‎ 所以或.‎ 当时，此时，所以为等腰直角三角形；‎ 当时，此时，所以为钝角三角形.‎ ‎17.解：（1）证明：连接交于点，连接.‎ 因为是正方形，所以是的中点，又是的中点，所以.‎ 因为平面，平面，所以平面.‎ ‎（2）因为是正方形，所以，‎ 因为平面平面，平面平面，‎ 所以平面，因为，所以取的中点，‎ 连接，则平面，因为是正三角形，所以，‎ 所以以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系： ‎ 设，则，‎ ‎，‎ ‎.‎ 设平面的一个法向量为，则，所以，‎ 令，则，所以.‎ 又因为是平面的法向量，‎ 所以.‎ 所以二面角的余弦值为.‎ ‎18.解：（1）由已知得：，‎ ‎，即.‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，，‎ ‎∴数列的通项公式.‎ ‎（2），‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎19.解：（1）由题意，得甲、乙开车的概率分别为，‎ 记甲、乙两人到公司所用时间相同为事件，‎ 则.‎ ‎∴甲、乙两人到公司所用时间相同的概率为.‎ ‎（2）可能取的值由0.2,0.6,1.0,1.1,1.5，2.‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎.‎ ‎∴甲、乙两人到公司所用时间之和的分布列为 ‎∴（小时）.‎ ‎20.证明：（1）函数的定义域为，由，得 ‎.‎ ‎①当时，对都有，当变化时，的变化如下表：‎ 此时，的增区间是；减区间是.‎ ‎②当时，.由，得或.‎ 当变化时，的变化如下表：‎ 此时，的增区间是，；减区间是.‎ ‎③当时，，此时，的增区间是，没有减区间. ‎