武汉二中2016—2017学年度上学期期末考试
高二数学试卷
命题学校：武汉二中 命题教师： 审题教师：
试卷满分：150分
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．在武汉二中选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名.现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（ ）
A、6 B、8 C、10 D、12
2．已知，命题“若，则”的否命题是( )
A、若，则 B、若，则
C、若，则 D、若，则
3．设是区间上的函数，如果对任意满足的都有，则称是上的升函数，则是上的非升函数应满足（ ）。
A、存在满足的使得
B、不存在满足且
C、对任意满足的都有
D、存在满足的都有
4．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为（ ）
A、3 B、4 C、5 D、6
5．已知集合满足，则满足条件的组合
共有（ ）组。
A、4 B、8 C、9 D、27
6．设表示三条不同的直线，表示三个不同的平面，给出下列四个命题：①若，则；②若，是在内的射影，，则；③若，则其中真命题的个数为（ ）
A、0 B、1 C、2 D、3
7．“”是“直线与直线相互垂直”的（ ）条件。
A、充要 B、充分非必要 C、必要非充分 D、既非充分也非必要
8．已知中，，，在斜边上任取一点，则满足的概率为（ ）
A、 B、 C、 D、
9．如图，一只蚂蚁从点出发沿着水平面的线条爬行到点，
再由点沿着置于水平面的长方体的棱爬行至顶点，则
它可以爬行的不同的最短路径有（ ）条。
A、40 B、60 C、80 D、120
10．已知椭圆和点、，若椭圆的某弦的中点在线段上，且此弦所在直线的斜率为，则的取值范围为( ) 。
A、 B、 C、 D、
11．如图，在四棱锥中，侧面是边长为4的正三角形，
底面为正方形，侧面⊥底面，为底面
内的一个动点，且满足，则点到直线的最短距
离为( )。
A、 B、 C、 D、
12．已知双曲线的离心率为2，过右焦点作直线交该双曲线于、两点，为轴上一点，且，若，则（ ）。
A、2 B、4 C、8 D、16
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．将4034与10085的最大公约数化成五进制数，结果为 。
14．我校篮球队曾多次获得全国中学生篮球赛冠军！在一次比赛中，需把包括我校篮球队在内的7个篮球队随机地分成两个小组（一组3个队，一组4个队）进行小组预赛，则我校篮球队和另6个队中实力最强的队分在同一小组的概率为 。
15．在四棱柱中，底面为矩形，，且。则异面直线与所成角的余弦值为 。
16．如图，为抛物线上的两点，为抛物线的焦点
且，为直线上一点且横坐标为，连结
。若，则 。
三、解答题（第17题10分，其余每题12分，共计70分）
17．用数字0、2、3、4、6按下列要求组数、计算：
（1）能组成多少个没有重复数字的三位数？
（2）可以组成多少个可以被3整除的没有重复数字的三位数？
（3）求即144的所有正约数的和。
（注：每小题结果都写成数据形式）
18．已知命题：不等式对任意实数恒成立；命题：存在实数满足；命题：不等式有解。（1）若为真命题，求的取值范围．（2）若命题、 恰有两个是真命题，求实数的取值范围。
19．水是万物之本、生命之源，节约用水，从我做起。我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨）、一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5)分成9
组，制成了如图所示的频率分布直方图。（1）求直方图中a的值；（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值，并说明理由.
20．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，.（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由。
21．甲乙两人下棋比赛，规定谁比对方先多胜两局谁就获胜，比赛立即结束；若比赛进行完6局还没有分出胜负则判第一局获胜者为最终获胜且结束比赛。比赛过程中，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛相互独立。求：（1）比赛两局就结束且甲获胜的概率；（2）恰好比赛四局结束的概率；（3）在整个比赛过程中，甲获胜的概率。
22．已知椭圆C： （）的离心率为 ，，，，的面积为1。（1）求椭圆C的方程；（2）斜率为2的直线与椭圆交于、两点，求直线的方程；（3）在上是否存在一点使得过的任一直线与椭圆若有两个交点、则都有为定值？若存在，求出点的坐标及相应的定值。
武汉二中2016—2017学年度上学期期末考试
高二数学参考答案
一、 选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
A
A
B
D
C
B
C
B
A
C
C
二、填空题
13、 14、 15、 16、
三、解答题
17、解：（1）百位数子只能是2、3、4、6中之一，百位数字确定后，十位和个位
数字的组成共有种方法，所以可以组成没有重复数字的三位数共有
个 分
（2）由题意，能被3整除的且没有重复数字的三位数只能是由2、4、0或2、4、3或2、4、6或0、3、6组成。共有
个 分
（3）， ∴ 144的所有正约数的和为
10 分
18、解：（1）若命题为真命题，则对任意实数恒成立
∴ ，即。3分
若命题为真命题，则，
∴
又∵为真命题， ∴ 6分
即的取值范围为 7分
（2）若不等式有解，则
当时，显然有解；当时，有解；
当时，∵有解， ∴ ， ∴，
∴ 不等式有解等价于，10分
∴ 若命题、 恰有两个是真命题，则必有或
即的取值范围为。12分
19、解：（1）由概率统计相关知识，各组频率之和的值为1
∵ 频率=(频率/组距) 组距
∴
∴ 4分
（2）由图，不低于3吨人数所占百分比为
∴ 全市月均用水量不低于3吨的人数为：(万) 8分
（3）由图可知，月均用水量小于2.5吨的居民人数所占百分比为：
即的居民月均用水量小于2.5吨,
同理，88%的居民月均用水量小于3吨，故
假设月均用水量平均分布，则（吨）.
注：本次估计默认组间是平均分布，与实际可能会产生一定误差。 12分
20、（1）证明：∵ 面面，，
∴ 面 ∴
又∵ ∴ 面 ∴ 3分
（2）取中点为，连结，，
∵ ∴ ∵ ∴
以为原点，如图建系，易知，，，，
则，，，。
设为面的法向量，则
，则与面夹角有
7分
（3）假设存在点使得面，设，，由（2）知，，，，，
∴ ，
∵ 面，为的法向量， ∴
即 ∴
综上所述，存在点，即当时，点即为所求。 12分
21、解：（1）由题意可知比赛两局就结束且甲获胜必须第一、第二局比赛都是甲获胜，概率为
； 3分
（2）由题意知前两局比赛为平手，第三、第四局比赛为同一个人胜，其概率为
； 7分
（3）由题意知在整个比赛过程中第一、第二局比赛两人为平手，第三、第四比赛两人也为平手，第五、第六局都为甲获胜，或者在第一、第二局比赛两人为平手，第三、第四局比赛两人也为平手，第五、第六局比赛为平手但第一局是甲获胜。其概率为
。12分
22、解：（1）由已知，，又，解得，
∴ 椭圆的方程为。 3分
（2）设直线的方程为，则由可得，
即
∵ ∴
∴ 直线的方程为即。7分
（3）设、、，当直线不为轴时的方程为，
联立椭圆方程得：
8分
10分
∴ 当且仅当即时
（定值）。
即 在轴上存在点使得为定值5，点的坐标为或。 经检验，当直线为轴时上面求出的点也符合题意。
12分
（也可以通过特殊情形猜出定点坐标和定值然后再证明结论）
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