2016-2017学年河南省商丘市、开封市九校联考高一（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．
1．若集合A={x|﹣2≤x＜1}，B={x|0＜x≤2}，则A∩B=（ ）
A．{x|﹣2≤x≤2} B．{x|﹣2≤x＜0} C．{x|0＜x＜1} D．{x|1＜x≤2}
2．函数的定义域为（ ）
A．（﹣3，2] B．[﹣3，2] C．（﹣3，2） D．（﹣∞，﹣3）
3．m，n，l为不重合的直线，α，β，γ为不重合的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．m⊥l，n⊥l，则m∥n B．α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β
C．m∥α，n∥α，则m∥n D．α∥γ，β∥γ，则α∥β
4．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BD1与平面ABCD所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．若函数f（x）=2ax2﹣x﹣1在区间（0，1）内恰有一个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1） B．（1，+∞） C．（﹣1，1） D．[0，1）
6．如图为某几何体三视图，按图中所给数据，该几何体的体积为（ ）
A．16 B．16 C．64+16 D．16+
7．若两平行直线l1：x﹣2y+m=0（m＞0）与l2：2x+ny﹣6=0之间的距离是，则m+n=（ ）
A．0 B．1 C．﹣2 D．﹣1
8．如图，点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD=AD，则PA与BD所成角的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
9．过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（ ）
A．2x+y﹣3=0 B．2x﹣y﹣3=0 C．4x﹣y﹣3=0 D．4x+y﹣3=0
10．在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B﹣AC﹣D，则四面体ABCD的外接球的体积为（ ）
A．π B．π C．π D．π
11．方程=k（x﹣1）+2有两个不等实根，则k的取值范围是（ ）
A．（，+∞） B．（，1] C．（0，） D．（，1]
12．已知函数f（x）=，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（ ）
A．[2，3] B．（2，3） C．[2，3） D．（2，3]
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知f（3x）=2xlog2x，那么f（3）的值是 ．
14．函数y=loga（x﹣1）+8（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，P在幂函数f（x）的图象上，则f（3）= ．
15．在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B（1，﹣3，1），若点M在y轴上，且|MA|=|MB|，则M的坐标是 ．
16．直线 l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0（m∈R）被圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25 所截得的最短的弦长为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知点A（﹣1，3），B（5，﹣7）和直线l：3x+4y﹣20=0．
（1）求过点A与直线l平行的直线l1的方程；
（2）求过A，B的中点与l垂直的直线l2的方程．
18．（12分）已知圆C1：x2+y2=2和圆C2，直线l与圆C1相切于点（1，1）；圆C2的圆心在射线2x﹣y=0（x≥0）上，圆C2过原点，且被直线l截得的弦长为4．
（1）求直线l的方程；
（2）求圆C2的方程．
19．（12分）对于函数，
（Ⅰ）求函数的定义域；
（Ⅱ）当a为何值时，f（x）为奇函数；
（Ⅲ）写出（Ⅱ）中函数的单调区间，并用定义给出证明．
20．（12分）如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD=DE=2AB，F为CD的中点．
（1）求证：AF∥平面BCE；
（2）求证：平面BCE⊥平面CDE．
21．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E是棱AB上一点
（Ⅰ）当点E在AB上移动时，三棱锥D﹣D1CE的体积是否变化？若变化，说明理由；若不变，求这个三棱锥的体积
（Ⅱ） 当点E在AB上移动时，是否始终有D1E⊥A1D，证明你的结论．
22．（12分）已知圆M的半径为3，圆心在x轴正半轴上，直线3x﹣4y+9=0与圆M相切
（Ⅰ）求圆M的标准方程；
（Ⅱ）过点N（0，﹣3）的直线L与圆M交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），而且满足+=x1
x2，求直线L的方程．
2016-2017学年河南省商丘市、开封市九校联考高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．
1．若集合A={x|﹣2≤x＜1}，B={x|0＜x≤2}，则A∩B=（ ）
A．{x|﹣2≤x≤2} B．{x|﹣2≤x＜0} C．{x|0＜x＜1} D．{x|1＜x≤2}
【考点】交集及其运算．
【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．
【解答】解：∵A={x|﹣2≤x＜1}，B={x|0＜x≤2}，
∴A∩B={x|0＜x＜1}．
故选：C．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．函数的定义域为（ ）
A．（﹣3，2] B．[﹣3，2] C．（﹣3，2） D．（﹣∞，﹣3）
【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】由分母中根式内部的代数式大于0，对数式的真数大于0，联立不等式组得答案．
【解答】解：由，解得﹣3＜x＜2．
∴函数的定义域为（﹣3，2）．
故选：C．
【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．
3．m，n，l为不重合的直线，α，β，γ为不重合的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．m⊥l，n⊥l，则m∥n B．α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β
C．m∥α，n∥α，则m∥n D．α∥γ，β∥γ，则α∥β
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】对4个命题分别进行判断，即可得出结论．
【解答】解：由m⊥l，n⊥l，在同一个平面可得m∥n，在空间不成立，故错误；
若α⊥γ，β⊥γ，则α与β可能平行与可能相交，故错误；
m∥α，n∥α，则m、n可能平行、相交或异面，故错误；
α∥γ，β∥γ，利用平面与平面平行的性质与判定，可得α∥β，正确．
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是利用空间直线与平面之间的位置关系及平面与平面之间的位置关系判断命题的真假，处理此类问题的关键是熟练掌握线面平行或垂直的判定方法和性质．
4．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BD1与平面ABCD所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】棱柱的结构特征．
【分析】找出BD1与平面ABCD所成的角，计算余弦值．
【解答】解：连接BD，；
∵DD1⊥平面ABCD，∴BD是BD1在平面ABCD的射影，
∴∠DBD1是BD1与平面ABCD所成的角；
设AB=1，则BD=，BD1=，
∴cos∠DBD1===；
故选：D．
【点评】本题以正方体为载体考查了直线与平面所成的角，是基础题．
5．若函数f（x）=2ax2﹣x﹣1在区间（0，1）内恰有一个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1） B．（1，+∞） C．（﹣1，1） D．[0，1）
【考点】函数零点的判定定理．
【分析】讨论a的不同取值以确定方程是否是二次方程及二次方程的根的大致位置，再由方程的根与函数的零点的关系判断即可．
【解答】解：若函数f（x）=2ax2﹣x﹣1在区间（0，1）内恰有一个零点，
则方程2ax2﹣x﹣1=0在区间（0，1）内恰有一个根，
若a=0，则方程2ax2﹣x﹣1=0可化为：﹣x﹣1=0方程的解为﹣1，不成立；
若a＜0，则方程2ax2﹣x﹣1=0不可能有正根，故不成立；
若a＞0，则△=1+8a＞0，且c=﹣1＜0；
故方程有一正一负两个根，
故方程2ax2﹣x﹣1=0在区间（0，1）内恰有一个解可化为
（2a•02﹣0﹣1）（2a•12﹣1﹣1）＜0；
解得，a＞1；
故实数a的取值范围是（1，+∞），
故选：B
【点评】本题考查了方程的根的判断及分类讨论的数学思想应用，属于中档题．
6．如图为某几何体三视图，按图中所给数据，该几何体的体积为（ ）
A．16 B．16 C．64+16 D．16+
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】三视图复原几何体是下部为正四棱柱，上部是四棱锥，根据三视图的数据，求出几何体的体积．
【解答】解：三视图复原几何体是下部为棱长为2，的正方体，棱长为4的正四棱柱，上部是底面为边长2的正方体高为四棱锥，
几何体的体积：
故选D．
【点评】本题考查三视图求几何体的体积，考查计算能力，是基础题．
7．若两平行直线l1：x﹣2y+m=0（m＞0）与l2：2x+ny﹣6=0之间的距离是，则m+n=（ ）
A．0 B．1 C．﹣2 D．﹣1
【考点】两条平行直线间的距离．
【分析】化简直线l2，利用两直线之间的距离为d=，求出m，即可得出结论．
【解答】解：由题意，解得n=﹣4，即直线l2：x﹣2y﹣3=0，
所以两直线之间的距离为d=，解得m=2，
所以m+n=﹣2，
故选C．
【点评】本题考查两条平行线间的距离，考查学生的计算能力，属于中档题．
8．如图，点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD=AD，则PA与BD所成角的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【考点】异面直线及其所成的角．
【分析】本题求解宜用向量法来做，以D为坐标原点，建立空间坐标系，求出两直线的方向向量，利用数量积公式求夹角即可
【解答】解：如图，以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在线为y轴，DP所在线为z轴，建立空间坐标系，
∵点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD=AD，令PD=AD=1
∴A（1，0，0），P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，0，0）
∴=（1，0，﹣1），=（﹣1，﹣1，0）
∴cosθ==
故两向量夹角的余弦值为，即两直线PA与BD所成角的度数为60°．
故选C
【点评】本题考查异面直线所角的求法，由于本题中所给的背景建立空间坐标系方便，故采取了向量法求两直线所成角的度数，从解题过程可以看出，此法的优点是不用作辅助线，大大降低了思维难度．
9．过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（ ）
A．2x+y﹣3=0 B．2x﹣y﹣3=0 C．4x﹣y﹣3=0 D．4x+y﹣3=0
【考点】圆的切线方程；直线的一般式方程．
【分析】由题意判断出切点（1，1）代入选项排除B、D，推出令一个切点判断切线斜率，得到选项即可．
【解答】解：因为过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，所以圆的一条切线方程为y=1，切点之一为（1，1），显然B、D选项不过（1，1），B、D不满足题意；另一个切点的坐标在（1，﹣1）的右侧，所以切线的斜率为负，选项C不满足，A满足．
故选A．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，圆的切线方程求法，可以直接解答，本题的解答是间接法，值得同学学习．
10．在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B﹣AC﹣D，则四面体ABCD的外接球的体积为（ ）
A．π B．π C．π D．π
【考点】球的体积和表面积．
【分析】球心到球面各点的距离相等，即可知道外接球的半径，就可以求出其体积了．
【解答】解：由题意知，球心到四个顶点的距离相等，
所以球心在对角线AC上，且其半径为AC长度的一半，
则V球=π×（）3=．
故选C．
【点评】本题考查学生的思维意识，对球的结构和性质的运用，是基础题．
11．方程=k（x﹣1）+2有两个不等实根，则k的取值范围是（ ）
A．（，+∞） B．（，1] C．（0，） D．（，1]
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【分析】由题意可得，函数y=的图象和直线y=k（x﹣1）+2有2个交点，数形结合求得k的范围．
【解答】解：方程=k（x﹣1）+2有两个不等实根，
即函数y=的图象和直线y=k（x﹣1）+2有2个交点．
而函数y=的图象是以原点为圆心，半径等于1的上半圆
（位于x轴及x轴上方的部分），
直线y=k（x﹣1）+2，即kx﹣y+2﹣k=0 的斜率为k，且经过点M（1，2），
当直线和半圆相切时，由=1，求得k=．
当直线经过点A（﹣1，0）时，由0=k（﹣1﹣2）+3求得k=1．
数形结合可得k的范围为（，1]，
故选：D．
【点评】本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，体现了函数和方程的转化及数形结合的数学思想，属于中档题．
12．已知函数f（x）=，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（ ）
A．[2，3] B．（2，3） C．[2，3） D．（2，3]
【考点】函数的图象．
【分析】利用分段函数的定义作出函数f（x）的图象，然后可令f（a）=f（b）=f（c）=k则可得a，b，c即为函数y=f（x）与y=k的交点的横坐标根据图象可得出a，b，c的范围同时a，b还满足﹣log2a=log2b，即可得答案．
【解答】解：根据已知画出函数图象：
不妨设a＜b＜c，
∵f（a）=f（b）=f（c），
∴﹣log2a=log2b=﹣c2+4c﹣3，
∴log2（ab）=0，
解得ab=1，2＜c＜3，
∴2＜abc＜3．
故选：B
【点评】本题考查了利用分段函数的图象结合数形结合的思想求方程根的积得取值范围，由题意正确画出图象和熟练掌握对数函数的图象是解题的关键．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知f（3x）=2xlog2x，那么f（3）的值是 0 ．
【考点】抽象函数及其应用；函数的值．
【分析】根据已知中函数的解析式，令x=1，可得f（3）的值．
【解答】解：∵f（3x）=2xlog2x，
令x=1，则f（3）=21log21=0，
故答案为：0
【点评】本题考查的知识点是函数求值，抽象函数及其应用，难度不大，属于基础题．
14．函数y=loga（x﹣1）+8（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，P在幂函数f（x）的图象上，则f（3）= 27 ．
【考点】对数函数的图象与性质．
【分析】利用y=loga1=0可得定点P，代入幂函数f（x）=xα即可．
【解答】解：对于函数y=loga（x﹣1）+8，令x﹣1=1，解得x=2，此时y=8，
因此函数y=loga（x﹣1）+8的图象恒过定点P（2，8）．
设幂函数f（x）=xα，∵P在幂函数f（x）的图象上，
∴8=2α，解得α=3．
∴f（x）=x3．
∴f（3）=33=27．
故答案为27．
【点评】本题考查了对数函数的性质和幂函数的定义，属于基础题．
15．在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B（1，﹣3，1），若点M在y轴上，且|MA|=|MB|，则M的坐标是 （0，﹣1，0） ．
【考点】空间两点间的距离公式；空间中的点的坐标．
【分析】设出点M（0，y，0），由|MA|=|MB|，建立关于参数y的方程，求y值即可．
【解答】解：设设M（0，y，0），由|MA|=|MB|，
可得=，
即y2+5=（y+3）2+2，解得：y=﹣1．
M的坐标是（0，﹣1，0）．
故答案为：（0，﹣1，0）．
【点评】本题考点是点、线、面间的距离计算，空间两点距离公式的应用，考查计算能力．
16．直线 l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0（m∈R）被圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25 所截得的最短的弦长为 4 ．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】由题意可得直线l经过定点A（3，1）．要使直线l被圆C截得的弦长最短，需CA和直线l垂直，利用勾股定理可得结论．
【解答】解：圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25的圆心C（1，2）、半径为5，
直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0，即 m（2x+y﹣7）+（x+y﹣4）=0，
由，求得x=3，y=1，故直线l经过定点A（3，1）．
要使直线l被圆C截得的弦长最短，需CA和直线l垂直，|CA|==，
∴最短的弦长为2=4．
故答案为4．
【点评】本题主要考查直线过定点问题，直线和圆的位置关系，勾股定理，属于中档题．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）（2016秋•商丘期末）已知点A（﹣1，3），B（5，﹣7）和直线l：3x+4y﹣20=0．
（1）求过点A与直线l平行的直线l1的方程；
（2）求过A，B的中点与l垂直的直线l2的方程．
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【分析】（1）根据两直线平行，斜率相等，求出直线的斜率，用点斜式求得直线l1的方程．
（2）A，B的中点坐标，根据两直线垂直，斜率之积等于﹣1，求出直线的斜率，用点斜式求得直线l2的方程．
【解答】解：（1）3x+4y﹣20=0的斜率为，因为l1∥l，所以，
代入点斜式，得，
化简，得3x+4y﹣9=0．
（2）A，B的中点坐标为（2，﹣2），因为l2⊥l，所以，
代入点斜式，得，
化简，得4x﹣3y﹣14=0．
【点评】本题考查用点斜式求直线方程的方法，两直线平行、垂直的性质，求出直线的斜率是解题的关键．
18．（12分）（2016秋•商丘期末）已知圆C1：x2+y2=2和圆C2，直线l与圆C1相切于点（1，1）；圆C2的圆心在射线2x﹣y=0（x≥0）上，圆C2过原点，且被直线l截得的弦长为4．
（1）求直线l的方程；
（2）求圆C2的方程．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】（1）求出直线l的斜率，即可求直线l的方程；
（2）利用勾股定理，求出圆心坐标与半径，即可求圆C2的方程．
【解答】解：（1）∵直线l与圆C1相切于点（1，1），
∴直线l的斜率k=﹣1，
∴直线l的方程为x+y﹣2=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）
（2）由已知可设C2（a，2a）（a＞0），
∵圆C2过原点，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
圆心C2到直线l的距离d=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）
又弦长为4，∴，
∵a＞0，∴a=2，
∴圆C2的方程为（x﹣2）2+（y﹣4）2=20．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
【点评】本题考查直线与圆的方程，考查点到直线的距离公式，属于中档题．
19．（12分）（2016秋•商丘期末）对于函数，
（Ⅰ）求函数的定义域；
（Ⅱ）当a为何值时，f（x）为奇函数；
（Ⅲ）写出（Ⅱ）中函数的单调区间，并用定义给出证明．
【考点】
函数奇偶性的性质；函数的定义域及其求法；函数的单调性及单调区间．
【分析】（1）由题意可得，2x﹣1≠0 可求函数的定义域
（2）由题意可得，化简可求a
（3）当a=1时，，只要现证明，x∈（0，+∞）时的单调性，然后根据奇函数对称区间上的单调性相同可知，任取x1，x2∈（0，+∞） 且x1＜x2 然后只要判断f（x1）与f（x2）的大小即可 证明
【解答】（1）解：由题意可得，2x﹣1≠0 即x≠0
∴定义域为{x|x≠0}
（2）解：由f（x）是奇函数，则对任意x∈{x|x≠0}
化简得（a﹣1）2x=a﹣1∴a=1
∴a=1时，f（x）是奇函数
（3）当a=1时，的单调递减区间为（﹣∞，0）和（0，+∞）．
证明：任取x1，x2∈（0，+∞） 且x1＜x2 则
∵0＜x1＜x2 y=2x 在R上递增∴
∴，，
∴f（x1）﹣f（x2）＞0∴f（x） 在（0，+∞） 上单调递减．同理：f（x） 在（﹣∞，0）上单调递减．
综上： 在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞） 上单调递减．
【点评】本题主要考查了奇函数的定义在参数求解中的应用，及函数的单调性的定义在函数证明中的应用，属于函数知识的综合应用．
20．（12分）（2015•锦州一模）如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD=DE=2AB，F为CD的中点．
（1）求证：AF∥平面BCE；
（2）求证：平面BCE⊥平面CDE．
【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．
【分析】（1）取CE的中点G，连结FG、BG．由已知条件推导出四边形GFAB为平行四边形，由此能证明AF∥平面BCE．
（2）由等边三角形性质得AF⊥CD，由线面垂直得DE⊥AF，从而AF⊥平面CDE，由平行线性质得BG⊥平面CDE，由此能证明平面BCE⊥平面CDE
【解答】解（1）证明：取CE的中点G，连FG、BG．
∵F为CD的中点，
∴GF∥DE且GF=DE．
∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，
∴AB∥DE，∴GF∥AB．
又AB=DE，∴GF=AB．
∴四边形GFAB为平行四边形，则AF∥BG．
∵AF⊄平面BCE，BG⊂平面BCE，
∴AF∥平面BCE．
（2）∵△ACD为等边三角形，F为CD的中点，
∴AF⊥CD．
∵DE⊥平面ACD，AF⊂平面ACD，
∴DE⊥AF．
又CD∩DE=D，故AF⊥平面CDE．
∵BG∥AF，
∴BG⊥平面CDE．
∵BG⊂平面BCE，
∴平面BCE⊥平面CDE．
【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
21．（12分）（2016秋•商丘期末）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E是棱AB上一点
（Ⅰ）当点E在AB上移动时，三棱锥D﹣D1CE的体积是否变化？若变化，说明理由；若不变，求这个三棱锥的体积
（Ⅱ） 当点E在AB上移动时，是否始终有D1E⊥A1D，证明你的结论．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质．
【分析】（ I）由于△DCE的体积不变，点E到平面DCC1D1的距离不变，因此三棱锥D﹣D1CE的体积不变．
（II）利用正方形的性质、线面垂直的判定余弦值定理可得A1D⊥平面AD1E，即可证明．
【解答】解：（ I）三棱锥D﹣D1CE的体积不变，
∵S△DCE===1，DD1=1．
∴===．
（ II）当点E在AB上移动时，始终有D1E⊥A1D，
证明：连接AD1，∵四边形ADD1A1是正方形，
∴A1D⊥AD1，
∵AE⊥平面ADD1A1，A1D⊆平面ADD1A1，
∴A1D⊥AB．
又AB∩AD1=A，AB⊂平面AD1E，
∴A1D⊥平面AD1E，
又D1E⊂平面AD1E，
∴D1E⊥A1D．
【点评】本题考查了正方形的性质、线面面面垂直的判定与性质定理、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
22．（12分）（2016秋•商丘期末）已知圆M的半径为3，圆心在x轴正半轴上，直线3x﹣4y+9=0与圆M相切
（Ⅰ）求圆M的标准方程；
（Ⅱ）过点N（0，﹣3）的直线L与圆M交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），而且满足+=x1
x2，求直线L的方程．
【考点】直线和圆的方程的应用．
【分析】（I）设圆心为M（a，0）（a＞0），由直线3x﹣4y+9=0与圆M相切可求出a值，进而可得圆M的标准方程；
（Ⅱ）当直线L的斜率不存在时，直线L：x=0，满足条件，当直线L的斜率存在时，设直线L：y=kx﹣3，联立直线与圆的方程，利用韦达定理，可求出满足条件的k值，进而得到直线L的方程，最后综合讨论结果，可得答案．
【解答】解：（I）设圆心为M（a，0）（a＞0），
∵直线3x﹣4y+9=0与圆M相切
∴=3．
解得a=2，或a=﹣8（舍去），
所以圆的方程为：（x﹣2）2+y2=9﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）
（II）当直线L的斜率不存在时，直线L：x=0，与圆M交于A（0，），B（0，﹣），
此时+=x1x2=0，所以x=0符合题意﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
当直线L的斜率存在时，设直线L：y=kx﹣3，
由消去y，得（x﹣2）2+（kx﹣3）2=9，
整理得：（1+k2）x2﹣（4+6k）x+4=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1）
所以
由已知得：
整理得：7k2﹣24k+17=0，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）
把k值代入到方程（1）中的判别式△=（4+6k）2﹣16（1+k2）=48k+20k2中，
判别式的值都为正数，所以，所以直线L为：，
即x﹣y﹣3=0，17x﹣7y﹣21=0
综上：直线L为：x﹣y﹣3=0，17x﹣7y﹣21=0，x=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
【点评】
本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，圆的标准方程，是直线与圆的综合应用，难度中档．
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