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成外高2014级高三（2017年2月）
数 学（理工类）
命题人：方兰英 审题人：罗德益
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分
注意事项：
1．答题前，考试务必先认真核对条形码上的姓名，准考证号和座位号，无误后将本人姓名、准考证号和座位号填写在相应位置，
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；
3．答题时，必须使用黑色签字笔，将答案规范、整洁地书写在答题卡规定的位置上；
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效；
5．考试结束后将答题卡交回，不得折叠、损毁答题卡。
第I卷
一、选择题
1．已知（1+i）•z=﹣i，那么复数对应的点位于复平面内的（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2、，则实数a取值范围为（ ）
A B [-1,1] C D (-1,1]
3、抛物线的准线方程是 ( )
A B C D
4、若,使得 -成立是假命题，则实数的取值范围是( )
A B C D {3}
5．已知角α终边与单位圆x2+y2=1的交点为，
则=（ ）
A． B． C． D．1
6．执行如图的程序框图，则输出的S的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织了5尺布，现在一月（按30天计算）共织390尺布，记该女子一月中的第n天所织布的尺数为an，则a14+a15+a16+a17的值为（ ）
A．55 B．52 C．39 D．26
8．△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB=1，向量=（a，b），=（1，2），若∥，则角A的大小为（ ）
A． B． C． D．
9．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 （ ）
A B C D
10．等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，点M，N分别是AB，BC中点，点P是△ABC（含边界）内任意一点，则•的取值范围是（ ）
A．[﹣，] B．[﹣，] C．[﹣，] D．[，]
11 ．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是（ ）
A．[1，] B．[，] C．[，] D．[，]
12．设函数是函数f（x）（x∈R）的导函数，f（0）=1，且3f（x）=﹣3，则4f（x）＞的解集为（ ）
A．（，+∞） B．（，+∞） C．（，+∞） D．（，+∞）
第Ⅱ卷
二、填空题.
13、已知=,则_______
14．已知直线L经过点P（﹣4，﹣3），且被圆（x+1）2+（y+2）2=25截得的弦长为8，则直线L的方程是 ．
15若直线ax+by﹣1=0（a＞0，b＞0）过曲线y=1+sinπx（0＜x＜2）的对称中心，则+的最小值为 ．
16．定义：如果函数y=f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），满足，则称函数y=f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点．如y=x2是[﹣1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f（x）=x3+mx是区间[﹣1，1]上的平均值函数，则实数m的取值范围是 ．
三、解答题
17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，，∠BAC=θ，a=4．
（Ⅰ）求b•c的最大值及θ的取值范围；
（Ⅱ）求函数的最值．
18．（12分）如图，在Rt△AOB中，，斜边AB=4，D是AB中点，现将Rt△AOB以
直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上一点，且∠BOC=90°，
（1）求圆锥的侧面积；
（2）求直线CD与平面BOC所成的角的正弦值；
19.某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制， 已知所有这些学生的原始成绩均分布在[50，100]内，发布成绩使用等级制各等级划分标准见下表， 规定：A、B、C三级为合格等级，D为不合格等级.
百分制
85分及以上
70分到84分
60分到69分
60分以下
等级
A
B
C
D
为了解该校高一年级学生身体素质情况， 从中抽取了n名学生的原始成绩作为样本进行统计， 按照[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]的分组作出频率分布直方图如图1所示， 样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示.
(1)求n和频率分布直方图中x，y的值；
(2)根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一学生中任选3人， 求至少有1人成绩是合格等级的概率；
(3)在选取的样本中， 从A、C两个等级的学生中随机抽取了3名学生进行调研， 记ξ表示所抽取的3名学生中为C等级的学生人数， 求随机变量ξ的分布列及均值.
20．（12分）如图，椭圆x2+=1的左、右顶点分别为A、B，双曲线Γ以A、B为顶点，焦距
为2，点P是Γ上在第一象限内的动点，直线AP与椭圆相交于另一点Q，线段AQ的中点为M，记直线AP的斜率为k，O为坐标原点．
（1）求双曲线Γ的方程；
（2）求点M的纵坐标yM的取值范围；
（3）是否存在定直线l，使得直线BP与直线OM关于直线l对称？若存在，求直线l方程，若不存在，请说明理由．
21．（12分）已知函数f（x）=lnx+．
（1）当a=2时，证明对任意的x∈（1，+∞），f（x）＞1；
（2）求证：ln（n+1）＞（n∈N*）．
（3）若函数f（x）有且只有一个零点，求实数a的取值范围．
四、选做题（10分）请考生从给出的2道题中任选一题做答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。注意所选题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=．
（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；
（2）求曲线C1上的任意一点P到曲线C2的最小距离，并求出此时点P的坐标．
23．（10分）已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．
（1）若不等式f（x）≤6的解集为[﹣2，3]，求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，若存在实数n，使得f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，求实数m的取值范围．
2014级高三 理科数学参考答案
一. 选择题 BBCAA BBAAA BB
二．填空题13、1 14、x=﹣4和4x+3y+25=0 15、3+2 16、﹣3＜m≤．
三、解答题
17、解：（Ⅰ）因为=bc•cosθ=8，
根据余弦定理得：b2+c2﹣2bccosθ=42，
即b2+c2=32，（2分）
又b2+c2≥2bc，所以bc≤16，即bc的最大值为16，
即，
所以，又0＜θ＜π，
所以0＜θ；
（Ⅱ）
=，（9分）
因0＜θ，所以＜，，（10分）
当即时，，（11分）
当即时，f（θ）max=2×1+1=3．（12分）
18解：（1）∵在Rt△AOB中，，斜边AB=4，D是AB中点，
将Rt△AOB以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上一点，且∠BOC=90°，
∴圆锥的侧面积S侧=πrl=2×4×π=8π．
（2）取OB的中点E，连结DE、CE，
则DE∥AO，∴DE⊥平面BOC，
∴∠DCE是直线CD与平面BOC所成的角，
在Rt△DEC中，CE=，DE=，
tan=，
∴．
∴直线CD与平面BOC所成角的大小为arctan．
19.解 (1)n＝＝50，x＝＝0.004，
y＝＝0.018.
(2)成绩是合格等级人数为(1－0.1)×50＝45， 抽取的50人中成绩是合格等级的频率为，故从该校学生中任选1人， 成绩是合格等级的概率为，设在该校高一学生中任选3人， 至少有1人成绩是合格等级的事件为A，
则P(A)＝1－C×(1－)3＝.
(3) 由题意可知C等级的学生人数为0.18×50＝9，A等级的学生人数为3， 故ξ的取值为0，1，2，3，则
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝＝，P(ξ＝3)＝＝＝，
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
20．解：（1）由题意，a=1，c=，b=2，
∴双曲线Γ的方程=1；
（2）由题意，设P（x1，y1），Q（x2，y2），
直线AP的方程y=k（x+1）（0＜k＜2），代入椭圆方程，整理得（4+k2）x2+2k2x+k2﹣4=0
∴x=﹣1或x2=，∴Q（，），M（﹣，）
∴yM==在（0，2）上单调递增，∴yM∈（0，1）
（3）由题意，kAP•kBP==4，
同理kAP•kOM=﹣4，∴kOM+kBP=0，
设直线OM：y=k′x，则直线BP：y=﹣k′（x﹣1），解得x=，
∵kOM+kBP=0，∴直线BP与OM关于直线x=对称．
21． （1）证明：当a=2时，f（x）=lnx+，
令h（x）=lnx+﹣1，则＞0
∴h（x）在（1，+∞）上单调递增，
∴h（x）＞h（1）=0，
∴对任意的x∈（1，+∞），f（x）＞1；
（2）证明：由（1）知x∈（1，+∞），lnx+＞1，
即lnx＞，
令x=，则，∴，
∴ln（n+1）=＞；
（3）解：f′（x）=．
令f′（x）=0，则x2﹣（a﹣2）x+1=0，△=（a﹣2）2﹣4=a（a﹣4）．
①0≤a≤4时，f′（x）≥0，函数在（0，+∞）上递增，函数只有一个零点；
②a＜0时，f′（x）＞0，函数在（0，+∞）上递增，函数只有一个零点；
③当a＞4时，△＞0，设f'（x）=0的两根分别为x1与x2，
则x1+x2=a﹣2＞0，x1•x2=1＞0，不妨设0＜x1＜1＜x2
当x∈（0，x1）及x∈（x2，+∞）时，f'（x）＞0，当x∈（x1，x2）时，f'（x）＜0，
∴函数f（x）在（0，x1），（x2，+∞）上递增，在（x1，x2）上递减，
而
∴x∈（x1，+∞）时，f（x）＞0，且f（x1）＞0
因此函数f（x）在（0，x1）有一个零点，而在（x1，+∞）上无零点；
此时函数f（x）只有一个零点；
综上，函数f（x）只有一个零点时，实数a的取值范围为R．…（14分）
22． 解：（1）曲线C1的参数方程为（α是参数），x=2cos2α=1+cos2α，∴（x﹣1）2+y2=1．
曲线C2的极坐标方程为ρ=，化为ρsinθ﹣ρcosθ=1，∴y﹣x=1，即x﹣y+1=0．
（2）设与曲线C2平行且与曲线C1的直线方程为y=x+t，代入圆的方程可得：2x2+2（t﹣1）x+t2=0，∵△=4（t﹣1）2﹣8t2=0，化为t2+2t﹣1=0，解得．
取t=﹣1，直线y=x+1与切线的距离d==﹣1，即为曲线C1上的任意一点P到曲线C2的最小距离．
此时2x2+2（t﹣1）x+t2=0，化为=0，解得x==，y=，∴P．
23． 解：（1）原不等式可化为|2x﹣a|≤6﹣a，
∴，
解得a﹣3≤x≤3．
再根据不等式f（x）≤6的解集为[﹣2，3]，可得a﹣3=﹣2，
∴a=1．
（2）∵f（x）=|2x﹣1|+1，f（n）≤m﹣f（﹣n），
∴|2n﹣1|+1≤m﹣（|﹣2n﹣1|+1），
∴|2n﹣1|+|2n+1|+2≤m，
∵y=|2n﹣1|+|2n+1|+2=，
∴ymin=4，
由存在实数n，使得f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，
∴m≥4，即m的范围是[4，+∞）．
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