学业分层测评(二十二)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．圆x2＋y2＋4x－4y＋7＝0与圆x2＋y2－4x－10y－7＝0的位置关系是________．
【解析】 圆x2＋y2＋4x－4y＋7＝0的圆心是C1(－2,2)，半径长r1＝1；圆x2＋y2－4x－10y－7＝0的圆心是C2(2,5)，半径长r2＝6，则|C1C2|＝5＝r2－r1，故两圆内切．
【答案】 内切
2．两圆相交于点A(1,3)，B(m，－1)，两圆的圆心均在直线l：x－y＋c＝0上，则m＋c＝________.
【解析】 由题意可知，AB⊥l，由于kl＝1，故kAB＝－1，
即＝－1，解得m＝5.又AB的中点在直线l上，故3－1＋c＝0，解得c＝－2，所以m＋c＝5－2＝3.
【答案】 3
3．两圆x2＋y2＝r2与(x－3)2＋(y＋1)2＝r2外切，则正实数r的值是__________．
【解析】 由题意，得2r＝＝，
∴r＝.
【答案】
4．圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9与圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4相切，则m的值为________.
【导学号：41292113】
【解析】 圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9的圆心为(－2，m)，半径长为3，圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4的圆心为(m，－1)，半径长为2.当C1，C2外切时有＝3＋2，即m2＋3m－10＝0，解得m＝2或m＝－5；当C1，C2内切时有＝3－2，即m2＋3m＋2＝0，解得m＝－1或m＝－2.
【答案】 －5，－2，－1,2
5．已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是________________．
【解析】 动圆圆心的轨迹是以已知圆的圆心(5，－7)为圆心，以3或5为半径的圆．
【答案】 (x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9
6．两个圆C1：x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0与C2：x2＋y2－4x－2y
4
＋3＝0的公切线有且仅有________条．
【解析】 C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝1，
C2：(x－2)2＋(y－1)2＝2.
圆心距d＝C1C2＝＝.
d>r1＋r2＝1＋，
∴两圆C1与C2相外离有4条公切线．
【答案】 4
7．点P在圆x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则PQ的最小值是__________．
【解析】 若两圆相交或相切，则最小值为0；若两圆外离，则最小值为C1C2－r1－r2.(x－4)2＋(y－2)2＝9的圆心为C1(4,2)，半径r1＝3；(x＋2)2＋(y＋1)2＝4的圆心为C2(－2，－1)，半径r2＝2.又C1C2＝3，显然两圆外离，所以PQ的最小值是3－5.
【答案】 3－5
8．与直线x＋y－2＝0和曲线x2＋y2－12x－12y＋64＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是________.
【解析】 依题意，已知曲线为一个圆，其标准方程为(x－6)2＋(y－6)2＝8，所以所求圆的圆心在直线y＝x上，直径为已知圆圆心到直线x＋y－2＝0的距离减去已知圆半径，即－2＝3，设所求圆的圆心为(a，b)，
则
得a＝b＝，
所以所求圆的标准方程为
＋＝.
【答案】 ＋＝
二、解答题
9．圆C的半径为3，圆心C在直线2x＋y＝0上且在x轴的下方，x轴被圆C截得的弦长BD为2.
(1)求圆C的方程；
(2)若圆E与圆C关于直线2x－4y＋5＝0对称，试判断两圆的位置关系．
【解】 (1)设圆心坐标为(a，－2a)，则圆的方程为(x－a)2＋(y＋2a)2＝9，
作CA⊥x轴于点A，在Rt△ABC中，CB＝3，AB＝，
∴CA＝2，所以|－2a|＝2⇒a＝±1，
4
又因为点C在x轴的下方，所以a＝1，
即C(1，－2)，
所以圆的方程为：(x－1)2＋(y＋2)2＝9.
(2)点C(1，－2)到直线的距离为
d＝＝＝＞3，
所以圆C与直线2x－4y＋5＝0相离．
而圆E与圆C关于直线2x－4y＋5＝0对称，
所以圆E与直线2x－4y＋5＝0也相离，故两圆相离．
10．设M＝{(x，y)|y＝，a>0}，N＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－)2＝a2，a>0}，且M∩N≠∅，求a的最大值和最小值．
【解】 M＝{(x，y)|y＝，a>0}，即{(x，y)|x2＋y2＝2a2，y≥0}，表示以原点O为圆心，半径等于a的半圆(位于横轴或横轴以上的部分)．
N＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－)2＝a2，a>0}，表示以O′(1，)为圆心，半径等于a的一个圆．
再由M∩N≠∅，可得半圆和圆有交点，故半圆和圆相交或相切．
当半圆和圆相外切时，由OO′＝2＝a＋a，
求得a＝2－2；
当半圆和圆相内切时，由OO′＝2＝a－a，
求得a＝2＋2，
故a的取值范围是[2－2,2＋2]，
a的最大值为2＋2，最小值为2－2.
[能力提升]
1．圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在直线被圆C3：(x－1)2＋(y－1)2＝截得的弦长是__________．
【解析】 圆C1，C2方程相减得公共弦所在的直线方程为x＋y－1＝0，则圆心C3(1,1)到直线的距离d＝＝，所以所求弦长为2＝2×＝.
【答案】
2．设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|＝________.
【解析】 依题意，可设圆心坐标为(a，a)，半径为r，其中r＝a>0，因此圆的方程是(x－a)2＋(y－a)2＝a2，由圆过点(4,1)得(4－a)2＋(1－a)2＝a2，即a2－10a＋17＝0，则该方程的两根分别是圆心C1，C2的横坐标，|C1C2|＝×＝8.
4
【答案】 8
3．过点A(4，－1)，且与圆x2＋y2＋2x－6y＋5＝0相切于点B(1,2)的圆的方程是________.
【解析】 圆x2＋y2＋2x－6y＋5＝0的圆心为(－1,3)，半径为，所以两圆的圆心连线的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0.
设要求的圆的圆心为(x，y)，
则＝，
化简得x－y－2＝0即圆心所在直线方程，联立两条直线方程得圆心坐标为(3,1)，半径为，即所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝5.
【答案】 (x－3)2＋(y－1)2＝5
4．已知半径为5的动圆C的圆心在直线l：x－y＋10＝0上．
(1)若动圆C过点(－5,0)，求圆C的方程；
(2)是否存在正实数r，使得动圆C满足与圆O：x2＋y2＝r2相外切的圆有且仅有一个？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由．
【解】 (1)依题意，可设动圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝25，其中圆心(a，b)满足a－b＋10＝0.
又因为动圆过点(－5,0)，故(－5－a)2＋(0－b)2＝25.
解方程组
得或
故所求圆C的方程为(x＋10)2＋y2＝25或(x＋5)2＋(y－5)2＝25.
(2)圆O的圆心(0,0)到直线l的距离d＝＝5.
当r满足r＋5d，即r>5－5时，与圆O：x2＋y2＝r2相外切的圆有两个．
综上，当r＝5－5时，动圆C中满足与圆O：x2＋y2＝r2相外切的圆有且仅有一个．
4
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