专题13：操作性问题
一、选择题
1.(2017福建第10题)如图，网格纸上正方形小格的边长为1．图中线段和点绕着同一个点做相同的旋转，分别得到线段和点，则点所在的单位正方形区域是（ ）
A．1区 B．2区 C．3区 D．4区
【答案】D
【解析】如图，根据题意可得旋转中心O，旋转角是90°，旋转方向为逆时针，因此可知点P的对应点落在了4区，故选D.
2.（2017广东广州第2题）如图2，将正方形中的阴影三角形绕点顺时针旋转90°后，得到图形为 （ ）
【答案】A
【解析】
试题分析：顺时针90°后，AD转到AB边上，所以，选A。
考点：旋转的特征
3.（2017湖南长沙第12题）如图，将正方形折叠，使顶点与边上的一点重合（不与端点重合），折痕交于点，交于点，边折叠后与边交于点，设正方形的周长为，的周长为，则的值为（ ）
A． B． C． D．随点位置的变化而变化
【答案】B
【解析】
试题分析：设正方形ABCD的边长为2a，正方形的周长为m=8a，
设CM=x，DE=y，则DM=2a-x，EM=2a-y，
∵∠EMG=90°，
∴∠DME+∠CMG=90°．
∵∠DME+∠DEM=90°，
∴∠DEM=∠CMG，
又∵∠D=∠C=90°△DEM∽△CMG，
∴,即
∴CG=
△CMG的周长为CM+CG+MG=
在Rt△DEM中，DM2+DE2=EM2
即（2a-x）2+y2=（2a-y）2
整理得4ax-x2=4ay
∴CM+MG+CG==n．
所以
故选：B．
考点：1、正方形，2、相似三角形的判定与性质，3、勾股定理
4.（2017山东青岛第5题）如图，若将△ABC绕点O逆时针旋转90°则顶点B的对应点B1的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：将△ABC绕点O逆时针旋转90°后，图形如下图
所以B1的坐标为
故选：B
二、填空题
1.(2017北京第15题)如图，在平面直角坐标系中，可以看作是经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一中由得到的过程： ．
【答案】将△COD绕点C顺时针旋转90°，再向左平移2个单位长度得到△AOB（答案不唯一）.
考点：几何变换的类型
2. (2017北京第16题)下图是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程
已知：，求作的外接圆.
作法：如图．
（1）分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点；
（2）作直线，交于点；
（3）以为圆心，为半径作.
即为所求作的圆.
请回答：该尺规作图的依据是 ．
【答案】到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；两点确定一条直线；垂直平分线的定义；90°的圆周角所对弦为直径.不在同一条直线上的三个点确定一个圆.（答案不唯一）
【解析】找到外接圆的圆心和半径是解本题的关键，由题意得：圆心是线段AB的中点，半径是AB长的一半，所以只需作出AB的中垂线，找到交点O即可.
考点：作图-基本作图；线段垂直平分线的性质
3.(2017天津第18题)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点均在格点上.
（1）的长等于 ；
（2）在的内部有一点，满足，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） .
【答案】（1）；（2）详见解析.
4.(2017山东滨州第15题)在平面直角坐标系中，点C、D的坐标分别为C(2，3)、D(1，0)．现以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点D的对应点B在x轴上且OB＝2，则点C的对应点A的坐标为_______．
【答案】（4，6）或（-4，-6）.
【解析】已知点D（1，0），点D的对应点B在x轴上，且OB=2，所以位似比为2，即可得点A的坐标为（2×2，3×2）或[2×（-2），3×（-2）],即点A的坐标为（4，6）或（-4，-6）.
5.(2017山东滨州第16题)如图，将矩形ABCD沿GH对折，点C落在Q处，点D落在AB边上的E处，EQ与BC相交于点F．若AD＝8，AB＝6，AE＝4，则△EBF周长的大小为___________．
【答案】8.
6.(2017辽宁沈阳第16题)如图，在矩形中，,将矩形绕点按顺时针方向旋转得到矩形，点落在矩形的边上，连接，则的长是 .
【答案】.
【解析】
试题分析：如图，过点C作MNBG，分别交BG、EF于点M、N，根据旋转的旋转可得AB=BG=EF=CD=5，AD=GF=3，在Rt△BCG中，根据勾股定理求得CG=4，再由,即可求得CM= ,在Rt△BCM中，根据勾股定理求得BM=，根据已知条件和辅助线作法易知四边形BENMW为矩形，根据矩形的旋转可得BE=MN=3,BM=EN=,所以CN=MN-CM=3-=,在Rt△ECN中，根据勾股定理求得EC=.
考点：四边形与旋转的综合题.
7.（2017浙江台州第8题）如图，已知等腰三角形，若以点为圆心，长为半径画弧，交腰于点，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C. D．
【答案】C
【解析】
试题分析：根据AB=AC,BE=BC，可以得出∠ABC=∠C,∠BEC=∠C,从而得出∠ABC=∠BEC,∠A=∠EBC.
故选：C.
考点：1、三角形的外角性质，2、等腰三角形的性质
8.（2017浙江湖州第9题）七巧板是我国祖先的一项卓越创造．下列四幅图中有三幅是小明用如图所示的七巧板拼成的，则不是小明拼成的那副图是（ ）
【答案】C
【解析】
试题分析：根据勾股定理，可判断边长之间的关系，可知构不成C图案，能构成A、B、D图案.
故选：C
考点：勾股定理
9.(2017浙江舟山第9题)一张矩形纸片，已知，小明按下图步骤折叠纸片，则线段长为（ ）
A． B． C.1 D．2
【答案】A.
考点：三角形中位线定理，翻折变换（折叠问题）.
三、解答题
1.（2017广东广州第20题） 如图12，在中，.
（1）利用尺规作线段的垂直平分线，垂足为，交于点；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若的周长为，先化简，再求的值．
【答案】（1）详见解析；（2）
【解析】
试题分析：（1）尺规作图——作线段的垂直平分线；（2）化简求值，利用三角函数求其余两边的长度。
试题解析：（1）如下图所示：
（2）
,
考点：线段的垂直平分线的尺规作图；在直角三角形中利用三角函数求边长.
2.（2017山东青岛第15题）已知：四边形ABCD．
求作：点P．使∠PCB＝∠B，且点P到AD和CD的距离相等。
结论：
【答案】
【解析】
试题分析：利用基本尺规作图：“画一个角等于已知角”，∠PCB＝∠B；要使点P到AD和CD的距离相等，需作∠ADC的角平分线.
试题解析：先画一个角等于已知角，然后再作角平分线，根据角平分线的性质可得到P点.
作图如下：
考点：1、尺规作图，2、角平分线性质定理
3.(2017山东滨州第22题)（本小题满分10分）
如图，在□ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F；再分别以点B、F为圆心，大于BF的相同长为半径画弧，两弧交于点P；连接AP并延长交BC于点E，连接EF，则所得四边形ABEF是菱形．
（1）根据以上尺规作图的过程，求证四边形ABEF是菱形；
（2）若菱形ABEF的周长为16，AE＝4，求∠C的大小．
【答案】（1）详见解析；（2）60°.
【解析】
试题解析：
（1）由作图过程可知，AB＝AF，AE平分∠BAD．∴∠BAE＝∠EAF．
∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC∥AD．∴∠AEB＝∠EAF．
∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE．∴BE＝AF．∴四边形ABEF为平行四边形．
∴四边形ABEF为菱形．
（2）连接BF，
∵四边形ABEF为菱形，∴BF与AE互相垂直平分，∠BAE＝∠FAE．
∴OA＝AE＝．∵菱形ABEF的周长为16，∴AF＝4．
∴cos∠OAF＝＝．∴∠OAF＝30°，∴∠BAF＝60°．
∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠C＝∠BAD＝60°．
4.(2017浙江舟山第19题)如图，已知，.
（1）在图中，用尺规作出的内切圆，并标出⊙与边的切点（保留痕迹，不必写作法）.
（2）连结，求的度数.
【答案】(1)详见解析；（2）∠EFD=70°.
【解析】
试题分析：（1）用尺规作图的方法，作出∠A和∠C的角平分线的交点即为内切圆O；（2）由切线的性质可得∠ODB=∠OEB=90°，已知∠B的度数，根据四边形内角和360度，可求得∠DOE，由圆周角定理可求得∠EFD.
试题解析：（1）如图，圆O即可所求.
（2）解：连结OD，OE，则OD⊥AB，OE⊥BC，
所以∠ODB=∠OEB=90°，又因为∠B=40°，
所以∠DOE=140°，
所以∠EFD=70°.
考点：圆周角定理，切线的性质，三角形的内切圆与内心
5.(2017浙江金华第23题)如图1，将纸片沿中位线折叠，使点的对称点落在边上，再将纸片分别沿等腰和等腰的底边上的高线，折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形，类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形．
(1)将纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形，则操作形成的折痕分别是线段_____，_____；______.
(2)纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形，若，，求的长．
(3)如图4，四边形纸片满足．小明把该纸片折叠，得到叠合正方形．请你帮助画出叠合正方形的示意图，并求出的长．
【答案】（1）（1）AE；GF；1:2；（2）13；（3）按图1的折法，则AD=1，BC=7；按图2的折法，则AD= ,BC=.
【解析】
试题分析：（1）由图2观察可得出答案为AE,GF,由折叠的轴对称性质可得出答案为1：2；（2）由EF和EH的长度根据勾股定理可求出FH的长度，再由折叠的轴对称性质易证△AEH≌△CGF；再根据全等三角形的性质可得出AD的长度；（3）由折叠的图可分别求出AD和BC的长度.
试题解析：（1）AE；GF；1:2
（2）解：∵四边形EFGH是叠合矩形，∠FEH=90°,EF=5,EH=12;
∴FH= =13;
由折叠的轴对称性可知：DH=NH,AH=HM,CF=FN;
易证△AEH≌△CGF;
∴CF=AH;
∴AD=DH+AH=HN+FN=FH=13.
（3）解：本题有以下两种基本折法，如图1，图2所示.
按图1的折法，则AD=1，BC=7.
按图2的折法，则AD= ,BC=.
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