文科数学（四）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知实数满足（为虚数单位），则（ ）
A． B． C． 3 D．-3
2.已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3.某校高中部共名学生，其中高一年级450人，高三年级250人，现采用分层抽样的方法从全校学生中随机抽取60人，其中从高一年级中抽取27人，则高二年级的人数为（ ）
A．250 B． 300 C．500 D． 1000
4. 已知抛物线：的焦点为，点为抛物线上的一点，点处的切线与直线平行，且，则抛物线的方程为（ ）
A． B． C. D．
5. 执行如图所示的程序框图，若输出的的值为2670，则判断框中的条件可以为（ ）
A． B． C. D．
6.已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C. D．
7. 如图，已知矩形中，，现沿折起，使得平面平面
，连接，得到三棱锥，则其外接球的体积为（ ）
A． B． C. D．
8. 《九章算术》中有这样一则问题：“今有良马与弩马发长安，至齐，齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里；弩马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎弩马.”则现有如下说法：
①弩马第九日走了九十三里路；
②良马前五日共走了一千零九十五里路；
③良马和弩马相遇时，良马走了二十一日.
则以上说法错误的个数是（ ）个
A． 0 B．1 C. 2 D．3
9. 已知函数，若关于的方程有2个实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C. D．
10. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的棱长不可能为（ ）
A． B． 4 C. D．
11. 已知双曲线：上的四点满足，若直线的斜率与直线的斜率之积为2，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C. D．
12.已知数列的前项和为，且，，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C. D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知，则不等式恒成立的概率为 ．
14. 已知等腰直角三角形中，，分别是上的点，且，，则 ．
15. 已知实数满足，则的最小值为 ．
16.已知数列满足：，令，则的最小值为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知中，角所对的边分别为，且，
.
（1）求的外接圆半径的大小；
（2）若，边上的中线为，求线段的长及的面积.
18. 如图，三棱锥中，平面，分别是的中点，是线段上的任意一点，，过点作平行于底面的平面交于点，交于点.
（1）求证：平面；
（2）若，求点到平面的距离.
19. 已知具有相关关系的两个变量之间的几组数据如下表所示：
（1）请根据上表数据在网格纸中绘制散点图；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程，并估计当时，的值；
（3）将表格中的数据看作五个点的坐标，则从这五个点中随机抽取2个点，求这两个点都在直线的右下方的概率.
参考公式：，.
20. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，点在椭圆上，，过点的直线与椭圆分别交于两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若的面积为，求直线的方程.
21. 已知函数，且曲线在处的切线与平行.
（1）求实数的值；
（2）当时，试探究函数的零点个数，并说明理由.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线的普通方程为，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系.
（1）求曲线、的极坐标方程；
（2）求曲线与交点的极坐标，其中，.
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）若，，在网格纸中作出函数的图像；
（2）若关于的不等式恒成立，求的取值范围.
试卷答案
一、选择题
1-5: DCBCB 6-10: ADBDB 11、12：AB
二、填空题
13. 14. 15. 2 16.15
三、解答题
17.（1）依题意，，
故，故，
故，又是内角，故，故.
（2）因为，故，由正弦定理知，，
故，，
故的面积.
18.（1）因为分别是的中点，故，，
又平面，平面，所以平面，平面，
因为平面，平面，，
故平面平面；
因为平面，故平面.
（2）由（1），，∴平面，
又∵是中点，∴到平面的距离等于到平面的距离，
依题意，，，，故；
故，记点到平面的距离为，因为，
故，解得.
19. （1）散点图如图所示：
（2）依题意，，，
，，
，∴；
∴回归直线方程为，故当时，.
（3）五个点中落在直线右下方的三个点记为，另外两个点记为，从这五个点中任取两个点的结果有共10个，
其中两个点均在直线的右下方的结果有3个，所以概率为.
20.（1）由题意得：，解得，，，
故所求椭圆方程为.
（2）当直线与轴垂直时，，此时，不符合题意，舍去；
当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，
由消去得：，
设，则，
∴
原点到直线的距离.
∴三角形的面积，
由，得，故，
∴直线的方程为或.
21.（1）依题意，，又，
故，解得.
（2）①当时，，
此时，，∴，函数在上单调递增，
故函数在上至多只有一个零点，
又，，而且函数的图像在上是连续不断的，
因此，函数在上有且只有一个零点.
②当时，恒成立，证明如下：
设，，则，所以在上单调递增，
所以当时，，所以，
又时，，所以，即.
故函数在上没有零点.
③当时，，
所以函数在上单调递减，
故函数在至多只有一个零点，
又，，而且函数的图像在上是连续不断的，
因此，函数在上有且只有一个零点.
综上所述，当时，函数有两个零点.
22. （1）依题意，将代入中可得：；
因为，故，将代入上式化简得：；
故曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为.
（2）将代入得，解得：，（舍去），
当时，，所以与交点的平面直角坐标为，，
∵，，，，，，
∴，，故曲线与交点的极坐标，.
23. （1）依题意，，
所求函数图像如图所示：
（2）依题意，（*）
而由
，
故要（*）恒成立，只需，即，
可得的取值范围是.
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