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武汉市2017-2018高三数学起点调研试卷(文科含解析)

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武汉市2017-2018高三数学起点调研试卷(文科含解析)

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2017-2018学年度武汉市部分学校新高三起点调研测试
文科数学
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合 , ,则 (   )
A.      B.      C.      D. 
【答案】C
【解析】
本题选择C选项.
2. 设 ,其中 是实数,则 在复平面内所对应的点位于(   )
A. 第一象限    B. 第二象限    C. 第三象限    D. 第四象限
【答案】D
【解析】由 ,其中 是实数,得: ,所以 在复平面内所对应的点位于第四象限.
本题选择D选项.
3. 函数 的最小正周期为(   )
A.      B.      C.      D. 
【答案】C
【解析】
 
∴最小正周期 .
本题选择C选项.
4. 设非零向量 满足 ,则(   )
A.      B.      C.      D. 
【答案】A
【解析】∵非零向量 满足 ,
 
本题选择A选项.
5. 已知双曲线 ( )的离心率与椭圆 的离心率互为倒数,则双曲线 的渐近线方程为(   )
A.      B. 
C.  或     D.  或
【答案】A
【解析】由题意,双曲线离心率
∴双曲线的渐近线方程为 ,即 .
本题选择A选项.
点睛:双曲线 的渐近线方程为 ,而双曲线 的渐近线方程为 (即 ),应注意其区别与联系.
6. 一个几何体的三视图如图,则它的表面积为(   )
 
A. 28    B.      C.      D. 
【答案】D
【解析】如图所示,三视图所对应的几何体是长宽高分别为2,2,3的长方体去掉一个三棱柱后的棱柱:ABIE-DCJH,该几何体的表面积为:
 .
本题选择D选项.
 
点睛:(1)以三视图为载体考查几何体的表面积,关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析,从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系.
(2)多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的表面积应注意重合部分的处理.
(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算,而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.
7. 设 满足约束条件 ,则 的最大值是(   )
A. -15    B. -9    C. 1    D. 9
【答案】D
【解析】x、y满足约束条件 的可行域如图:
 
z=2x+y经过可行域的A时,目标函数取得最小值,
由  解得A(−6,−3),
则z=2x+y的最小值是:−15.
故选:A.
点睛:求线性目标函数z=ax+by(ab≠0)的最值,当b>0时,直线过可行域且在y轴上截距最大时,z值最大,在y轴截距最小时,z值最小;当b<0时,直线过可行域且在y轴上截距最大时,z值最小,在y轴上截距最小时,z值最大.
8. 函数 的单调递增区间是(   )
A.      B.      C.      D. 
【答案】D
【解析】由 得:x∈(−∞,−1)∪(5,+∞),
令 ,则y= t,
∵x∈(−∞,−1)时, 为减函数;
x∈(5,+∞)时,  为增函数;
y= t为增函数,
故函数 的单调递增区间是(5,+∞),
本题选择D选项.
点睛:复合函数的单调性:对于复合函数y=f[g(x)],若t=g(x)在区间(a,b)上是单调函数,且y=f(t)在区间(g(a),g(b))或者(g(b),g(a))上是单调函数,若t=g(x)与y=f(t)的单调性相同(同时为增或减),则y=f[g(x)]为增函数;若t=g(x)与y=f(t)的单调性相反,则y=f[g(x)]为减函数.简称:同增异减.
9. 给出下列四个结论:
①命题“ , ”的否定是“ , ”;
②“若 ,则 ”的否命题是“若 ,则 ”;
③ 是真命题,则命题 一真一假;
④“函数 有零点”是“函数 在 上为减函数”的充要条件.
其中正确结论的个数为(   )
A. 1    B. 2    C. 3    D. 4
【答案】B
【解析】由题意得,根据全程命题与存在性命题的否定关系,可知①是正确的;
②中,命题的否命题为“若 ,则 ”,所以是错误的;
③中,若“ ”或“ ”是真命题,则命题 都是假命题;
④中,由函数 有零点,则 ,而函数 为减函数,则 ,所以是错误的,故选A。

10. 执行下面的程序框图,如果输入的 , , ,则输出 的值满足(   )
 
A.      B.      C.      D. 
【答案】D
【解析】试题分析:运行程序, ,判断否, ,判断否, ,判断是,输出 ,满足 .
考点:程序框图.
11. 标有数字1,2,3,4,5的卡片各一张,从这5张卡片中随机抽取1张,不放回的再随机抽取1张,则抽取的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为(   )
A.      B.      C.      D. 
【答案】A
【解析】5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5,从这5张卡片中随机抽取2张,
基本事件总数 ,
抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的情况有:
①第一张抽到2,第二张抽到1;
②第一张抽到3,第二张抽到1或2;
③第一张抽到4,第二张抽到1或2或3;
④第一张抽到5,第二张抽到1或2或3或4.共10种.
故抽取的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为
本题选择A选项.
12. 过抛物线 ( )的焦点 ,且斜率为 的直线交 于点 ( 在 轴上方),为 的准线,点 在上且 ,若 ,则 到直线 的距离为(   )
A.      B.      C.      D. 
【答案】B
【解析】由题意可得,直线MN的方程为: ,
与抛物线方程联立可得: ,
结合题意可知: ,即: ,
结合两点之间距离公式有: ,
据此可得: ,直线NF的方程为: ,........................
且点M的坐标为 ,利用点到直线的距离公式可得:
M到直线NF的距离 .
本题选择B选项.
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13. 已知函数 是定义在 上的奇函数,当 时, ,则 __________.
【答案】-8
【解析】当 时, ,∴f(−2)=8,
又∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(2)=-8.
14. 函数 取得最大值时 的值是__________.
【答案】
【解析】 ,其中 ,
当 ,即 时,f(x)取得最大值 ,
 即
15. 已知三棱锥 的三条棱 所在的直线两两垂直且长度分别为3,2,1,顶点 都在球 的表面上,则球 的表面积为__________.
【答案】
【解析】设外接球的半径为R,结合题意可得: ,
球O的表面积为: .
点睛:与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.解题时要认真分析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图,如球内切于正方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径;球外接于正方体,正方体的顶点均在球面上,正方体的体对角线长等于球的直径.
16. 在钝角 中,内角 的对边分别为 ,若 , ,则 的取值范围是__________.
【答案】
【解析】三条边能组成三角形 ,则两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,据此可得:1<c<7,①
若∠C为钝角,则: ,解得:c>5,②
若∠A为钝角,则: ,解得: ,③
结合①②③可得c的取值范围是 .
三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17. 已知等差数列 的前 项和为 ,等比数列 的前 项和为 , , , .
(1)若 ,求 的通项公式;
(2)若 ,求 .
【答案】(1) ;(2) 或 .
【解析】试题分析:
(1)由题意可得数列的公比为2,则数列的通项公式为 .
(2)首先由题意求得数列的公差,然后结合等差数列前n项和公式可得 或 .
试题解析:
(1)设 的公差为 , 的公比为 ,则 , .
由 ,得       ①
由 ,得     ②
联立①和②解得 (舍去),或 ,因此 的通项公式 .
(2)∵ ,∴ , 或 ,∴ 或8.
∴ 或 .
18. 已知函数 ( 为常数)
(1)求 的单调递增区间;
(2)若 在 上有最小值1,求 的值.
【答案】(1) , ;(2) .
【解析】试题分析:
(1)整理函数的解析式结合三角函数的性质可得 的单调递增区间是 , ;
(2)结合最值得到关于实数a的方程,解方程可得a=2.
试题解析:
(1)
 
 ,
∴ ,
∴ 单调增区间为 ,
(2) 时,
 
∴当 时, 最小值为

19. 如图1,在矩形 中, , , 是 的中点,将 沿 折起,得到如图2所示的四棱锥 ,其中平面 平面 .
 
(1)证明: 平面 ;
(2)设 为 的中点,在线段 上是否存在一点 ,使得 平面 ,若存在,求出 的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2)答案见解析.
【解析】试题分析:
(1)结合题意可证得 平面 ,结合面面垂直的判断定理即可证得题中的结论;
(2)由题意可得 共面,若 平面 ,据此可得 .
试题解析:
(1)证明:连接 ,∵ 为矩形且 ,所以 ,
即 ,又 平面 ,平面 平面
∴ 平面
(2)
取 中点 ,连接 ,∵ , ,∴
且 ,所以 共面,若 平面 ,则 .
∴ 为平行四边形,所以 .
20. 海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100个网箱,测量各箱水产品的产量(单位: ),其频率分布直方图如下:
 
(1)估计旧养殖法的箱产量低于50 的概率并估计新养殖法的箱产量的平均值;
(2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关:
 箱产量  箱产量  合计
旧养殖法   
新养殖法   
合计   

附: ,其中
  0.050 0.010 0.001
  3.841 6.635 10.828

参考数据:
【答案】(1)52.35;(2)答案见解析.
【解析】试题分析:
(1)结合题意可估计旧养殖法的箱产量低于50 的频率为0.62;新养殖法的箱产量的均值估计为 ;
(2)完成列联表,结合公式可得 ,故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.
试题解析:
(1)旧养殖法的箱产量低于50 的频率为
所以概率估计值为0.62;新养殖法的箱产量的均值估计为
(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表
 箱产量  箱产量
旧养殖法 62 38
新养殖法 34 66

 
由于 ,故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.
点睛:一是在频率分布直方图中,小矩形的高表示频率/组距,而不是频率;
二是利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时,应注意三点:①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数;②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的;③平均数是频率分布直方图的“重心”,等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.
21. 设 为坐标原点,动点 在椭圆 ( , )上,过 的直线交椭圆 于 两点, 为椭圆 的左焦点.
(1)若三角形 的面积的最大值为1,求 的值;
(2)若直线 的斜率乘积等于 ,求椭圆 的离心率.
【答案】(1) ;(2) .
【解析】试题分析:
(1)由题意得到关于实数a的方程,解方程可得 ;
(2)由题意求得椭圆中 ,则离心率
试题解析:
(1) ,所以
(2)由题意可设 , , ,则 , ,
 
所以 ,所以
所以离心率
22. 设函数 ( …是自然数的底数).
(1)讨论 的单调性;
(2)当 时, ,求实数 的取值范围.
【答案】(1) 在 , 单调递减,在 单调递增;(2) .
【解析】试题分析:
(1)结合导函数的符号讨论可得 在 , 单调递减,在 单调递增;
(2)将原问题转化为恒成立的问题,然后分类讨论可得实数 的取值范围是 .
试题解析:
(1)
当 或 时, ,当 时,
所以 在 , 单调递减,在 单调递增;
(2)设 ,
 ,
当 时,
设 , ,所以
即 成立,所以 成立;
当 时, ,而函数 的图象在 连续不断且逐渐趋近负无穷,
必存在正实数 使得 且在 上 ,此时 ,不满足题意.
综上, 的取值范围
点睛:应用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便,但应注意f′(x)>0(或f′(x)<0)仅是f(x)在某个区间上递增(或递减)的充分条件。在区间(a,b)内可导的函数f(x)在(a,b)上递增(或递减)的充要条件应是f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立,且f′(x)在(a,b)的任意子区间内都不恒等于0。这就是说,函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在该区间内个别点x0处有f′(x0)=0.


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