安徽省无为县2018届高三上学期第一次月考数学（理）试卷Word版含答案.doc

安徽省无为县2018届高三数学上学期第一次月考试题 理 ‎（考试时间：120分钟 满分：150分）‎ 第Ⅰ卷（共60分） ‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．集合，则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2已知复数，，若复数，则实数的值为（ ）‎ A. B.6 C. D. ‎ ‎3.如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（ ）‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎4.已知等边与等边同时内接于圆中，且，若往圆内投掷一点，则该点落在图中阴影部分内的概率为（ ）‎ A． ‎ B． C． D． ‎ ‎5.已知等比数列，且，则的值为（ ）‎ A.2 B.4 C.8 D.16‎ ‎6.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人 三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问，米几何？”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的（单位：升），则输入的值为（ ）‎ A．4.5 B．6 C．7.5 D．9 ‎ ‎7．已知角α终边与单位圆x2+y2=1的交点为，则=（　　）‎ A． B． C． D．1‎ ‎8、设，满足约束条件若的最大值为2，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9、已知向量，，，若与的夹角为60°，且，则实数的值为（ ）‎ A. B. C. 6 D. 4‎ ‎10．函数的图象如图所示，则下列结论成立的是(　　）‎ A．a＞0，b＞0，c＜0 ‎ B．a＜0，b＞0，c＞0 ‎ C．a＜0，b＞0，c＜0 ‎ D．a＜0，b＜0，c＜0‎ ‎11.四面体中，，，，则四面体外接球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎12．已知定义域为R的函数g（x），当x∈（﹣1，1]时， ‎ 且g（x+2）=g（x）对∀x∈R恒成立，若函数f（x）=g（x）﹣m（x+1）在区间[﹣1，5]内有6个零点，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．（，） B．（﹣∞，]∪（，+∞） C．[，） D．[，]‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13、已知函数的两个零点分别为m、n（m＜n），则 =　 ‎ 14. 已知数列为等差数列，为等比数列，且，记数列的前项和为，若，则数列的最大项为第_______项.‎ 15. 若的展开式中各项系数的和为32，则展开式中只含字母且的次数为1的项的系数为________‎ ‎16.已知双曲线的右焦点为，过点向双曲线的 一条渐进线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于，若，则双曲线的离心率为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17．（本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin2A+sin2C=sin2B﹣sinAsinC．‎ ‎（1）求B的大小；‎ ‎（2）设∠BAC的平分线AD交BC于D，AD=2，BD=1，求sin∠BAC的值．‎ C D B ‎18、（本小题满分12分）‎ ‎2016年底，某城市地铁交通建设项目已经基本完成，为了解市民对该项目的满意度，分别从不同地铁站点随机抽取若干市民对该项目进行评分(满分100分)，绘制如下频率分布直方图，并将分数从低到高分为四个等级：‎ 满意度评分 低于60分 ‎60分到79分 ‎80分到89分 不低于90分 满意度等级 不满意 基本满意 满意 非常满意 已知满意度等级为基本满意的有680人．‎ ‎（Ⅰ）若市民的满意度评分相互独立，以满意度样本估计全市市民满意度．现从全市市民中随机抽取4人，求至少有2人非常满意的概率；‎ ‎（Ⅱ）在等级为不满意市民中，老年人占.现从该等级市民中按年龄分层抽取15人了解不满意的原因，并从中选取3人担任整改督导员，记X为老年督导员的人数，求X的分布列及数学期望E(X)；‎ ‎19（本小题满分12分）如图，已知四棱锥S﹣ABCD中，SA⊥平面ABCD，‎ ‎∠ABC=∠BCD=90°，且SA=AB=BC=2CD=2，E是边SB的中点．‎ ‎（1）求证：CE∥平面SAD；‎ ‎（2）求二面角D﹣EC﹣B的余弦值大小．‎ ‎20.（本小题满分12分）已知是抛物线上的一点，以点和点为直径的圆交直线于，两点，直线与平行，且直线交抛物线于，两点．‎ ‎（Ⅰ）求线段的长；‎ ‎（Ⅱ）若，且直线与圆相交所得弦长与相等，求直线的方程．‎ ‎21．（本小题满分12分）函数f（x）=lnx++ax（a∈R），g（x）=ex+．‎ ‎（1）讨论f（x）的极值点的个数；‎ ‎（2）若对于∀x＞0，总有f（x）≤g（x）．（i）求实数a的取值范围；（ii）求证：对于∀x＞0，不等式ex+x2﹣（e+1）x+＞2成立．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 ‎（本小题满分10分）．‎ ‎22.以直角坐标系的原点为极点，轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的参数方程为，（为参数，），曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设直线与曲线相交于，两点，当变化时，求的最小值.‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（1）若，使得成立，求的范围；‎ ‎（2）求不等式的解集 高三数学（理科）参考答案选择题 一、1-5 BCACD 6-10 BACAC 11-12CC 二、 填空题 ‎13 14.14 15.-7 16.‎ 三、解答题 ‎17.解：（本小题满分12分）‎ ‎（1）在△ABC中，∵sin2A+sin2C=sin2B﹣sinAsinC，‎ ‎∴a2+c2=b2﹣ac，…‎ ‎∴cosB==﹣=﹣，…‎ ‎∵B∈（0，π），…‎ ‎∴B=．…‎ ‎（2）在△ABD中，由正弦定理：，‎ ‎∴sin∠BAD===，…‎ ‎∴cos∠BAC=cos2∠BAD=1﹣2sin2∠BAD=1﹣2×=，…‎ ‎∴sin∠BAC===． …‎ ‎18. 解：　(1)由频率分布直方图可知则10×(0.035＋a＋0.020＋0.014＋0.004＋0.002)＝1，所以a＝0.025，所以市民非常满意的概率为0.025×10＝.又市民的满意度评分相互独立，‎ 故所求事件的概率P＝1－＝.6分 ‎(2)按年龄分层抽样抽取15人进行座谈，则老年市民抽15×＝5人，从15人中选取3名整改督导员的所有可能情况为C，由题知X的可能取值为0,1,2,3，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，‎ P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，‎ X分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.8分 12分 ‎19【解答】证明：（1）取SA中点F，连结EF，FD，‎ ‎∵E是边SB的中点，‎ ‎∴EF∥AB，且EF=AB，‎ 又∵∠ABC=∠BCD=90°，‎ ‎∴AB∥CD，‎ 又∵AB=2CD，且EF=CD，‎ ‎∴四边形EFDC是平行四边形，‎ ‎∴FD∥EC，‎ 又FD⊂平面SAD，CE⊄平面SAD，‎ ‎∴CE∥面SAD．‎ 解：（2）在底面内过点A作直线AM∥BC，则AB⊥AM，‎ 又SA⊥平面ABCD，‎ 以AB，AM，AS所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，‎ 则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（1，2，0），D（1，2，0），E（1，0，1），‎ 则=（0，2，0），=（﹣1，0，1），=（﹣1，0，）， =（﹣1，﹣2，1），‎ 设面BCE的一个法向量为=（x，y，z），‎ 则，取x=1，得=（1，0，1），‎ 同理求得面DEC的一个法向量为=（0，1，2），‎ cos＜＞==，‎ 由图可知二面角D﹣EC﹣B是钝二面角，‎ ‎∴二面角D﹣EC﹣B的余弦值为﹣．‎ ‎　‎ ‎..‎ ‎20. 解：（20.解：（Ⅰ）设，圆方程为，‎ 令，得，∴，，‎ ‎．‎ ‎（Ⅱ）设直线的方程为，，，则 由消去，得，‎ ‎，，‎ ‎∵，∴，则，‎ ‎∴，解得或，‎ 当或时，当到直线的距离，‎ ‎∵圆心到直线的距离等于直线的距离，∴，‎ 又，消去得，求得，‎ 此时，，直线的方程为，‎ 综上，直线的方程为或．‎ ‎21.解：（1）由题意得f'（x）=x++a=，‎ 当a2﹣4≤0，即﹣2≤a≤2时，f'（x）≥0恒成立，无极值点；‎ 当a2﹣4＞0，即a＜﹣2或a＞2时，‎ ‎①a＜﹣2时，设方程x2+ax+1=0两个不同实根为x1，x2，不妨设x1＜x1，x2，‎ 则x1+x2=﹣a＞0，x1x2=1＞0，故0＜x1＜x2，‎ ‎∴x1，x2是函数的两个极值点．‎ ‎②a＞2时，设方程x2+ax+1=0两个不同实根为x1，x2，‎ 则x1+x2=﹣a＜0，x1x2=1＞0，故x1＜0，x2＜0，‎ 故函数没有极值点．‎ 综上，当a＜﹣2时，函数有两个极值点；‎ 当a≥﹣2时，函数没有极值点．‎ ‎（2）（i）f（x）≤g（x）等价于ex﹣lnx+x2≥ax，‎ 由x＞0，即a≤对于∀x＞0恒成立，‎ 设φ（x）=（x＞0），‎ φ′（x）=，‎ ‎∵x＞0，∴x∈（0，1）时，φ'（x）＜0，φ（x）单调递减，‎ x∈（1，+∞）时，φ'（x）＞0，φ（x）单调递增，‎ ‎∴φ（x）≥φ（1）=e+1，‎ ‎∴a≤e+1．‎ ‎（ii）（ ii）由（ i）知，当a=e+1时有f（x）≤g（x），‎ 即：ex+x2≥lnx+x2+（e+1）x，‎ 等价于ex+x2﹣（e+1）x≥lnx…①当且仅当x=1时取等号，‎ 以下证明：lnx+≥2，‎ 设θ（x）=lnx+，则θ′（x）=﹣=，‎ ‎∴当x∈（0，e）时θ'（x）＜0，θ（x）单调递减，‎ x∈（e，+∞）时θ'（x）＞0，θ（x）单调递增，‎ ‎∴θ（x）≥θ（e）=2，‎ ‎∴lnx+≥2，②当且仅当x=e时取等号；‎ 由于①②等号不同时成立，故有ex+x2﹣（e+1）x+＞2．‎ ‎22.解：（I）由，得 ……4分曲线的直角坐标方程为 ……5分 ‎（II）将直线的参数方程代入，得……6分 设两点对应的参数分别为，则，，……7分 ‎……9分 当时，的最小值为2. ……10分 ‎23.解：（I）……3分 当时，， 所以……4分 ∴……5分 ‎（II）即 由（I）可知，当时，的解集为空集；……6分 当时，的解集为； ……8分 当时，的解集为.……9分 综上，不等式的解集为.……10分