河北武邑中学2017—2018学年高二上学期第一次月考
数学试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列试验中，是古典概型的为（ ）
A．种下一粒花生，观察它是否发芽
B．向正方形内，任意投掷一点，观察点是否与正方形的中心重合
C．从1，2，3，4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率
D．在区间内任取一点，求此点小于2的概率
2．一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径，则它能获得食物的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．从一批产品中取出三件产品，设“三件产品全不是次品”，“三件产品全是次品”，“三件产品至少有一件是次品”，则下列结论正确的是（ ）
A．与互斥 B．任何两个均互斥 C．与互斥 D．任何两个均不互斥
4．先后抛掷三枚均匀的壹角、伍角、壹元硬币，则出现两枚正面，一枚反面的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．已知一只蚂蚁在边长为4的正三角形内爬行，则此蚂蚁到三角形三个顶点的距离均超过1的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．下列说法中正确的是（ ）
A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真
B．“”与“”不等价
C．“，则，全为0”的逆否命题是“若，全不为0，则”
D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真
8．设函数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
9．的内角，，的对边分别为，，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10．方程所表示的曲线围成的图形面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．方程所表示的曲线（ ）
A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称
12．已知函数，（），若，，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字记为，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为，且、.若，则称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则二人“心有灵犀”的概率为 ．
14．已知某运动员每次投篮命中的概率等于40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0，表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下2-组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458
569 683 431 257 393 027 556 488
730 113 537 989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 ．
15．已知，，若，或，则的取值范围是 ．
16．下列命题：
①“且”是“”的充要条件；
②“”是“不等式解集为”的充要条件；
③“”是“直线平行于直线”的充分不必要条件；
④“”是“”的必要而不充分条件.
其中真命题的序号为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．已知点，的坐标分别为，.直线，相交于点，且它们的斜率之和是2，求点的轨迹方程.
18．甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去，求两人能会面的概率.
19．已知关于的二次函数.
（1）设集合和，分别从集合和中随机抽取一个数作为和，求函数在上是增函数的概率；
（2）设点是区域内的随机点，求函数在上是增函数的概率.
20．已知函数，.
（1）若对任意，都有成立，求实数的取值范围.
（2）若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围.
21．先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为，.
（1）求直线与圆相切的概率；
（2）将，，5的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的概率.
22．已知命题：“，都有不等式成立”是真命题.
（1）求实数的取值集合；
（2）设不等式的解集为，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
河北武邑中学2017—2018高二年级上学期第一次月考
数学试题参考答案理
一、选择题
1-5:CBAAB 6-10:ADBCB 11、12：DD
二、填空题
13． 14．0.25 15． 16．④
三、解答题
17．解：设，∵，的斜率存在，∴
又∵，
∴由得：
整理得：
∴点的轨迹方程为：（）
18．解：设甲、乙从6时起分别经过分钟和分钟到达会面地点，
则，若两人能够会面，则需
在如图所示的直角坐标系下，的所有可能结果是边长为60的正方形区域，而事件
“两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示.
由几何概型的概率公式得：，
所以，两人能会面的概率是.
19．解：（1）分别从集合和中随机抽取一个数作和，共有（种）情形.
由于函数的图象的对称轴为，要使在上是增函数，当且仅当且，即且.
若，则，；若，则，，1；若，则，，1；若，则，，1，2；若，则，，1，2.
故事件包含的基本事件的个数为，因此所求概率为.
（2）由（1）可知当且时，在上是增函数.
由条件可知试验的全部结果所构成的区域为，画出构成事件的区域为一三角形区域，其面积为.
又由得交点坐标为，故满足要求的基本事件的区域的面积为.
故所求的概率为.
20．解：（1）由题设知：，
∵在上递减，在上递增，∴
又∵在上递减，∴
∴有，的范围为
（2）由题设知，
∴有，即，∴的范围为
21．解：先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为，包含的基本事件有：，，，，，，，…，，，共36个.
（1）∵直线与圆相切，
∴，整理得：.
由于，，
∴满足条件的情况只有，，或，两种情况.
∴直线与圆相切的概率是.
（2）∵三角形的一边长为5，三条线段围成等腰三角形，
∴当时，，共1个基本事件；
当时，，共1个基本事件；
当时，，共2个基本事件；
当时，，共2个基本事件；
当时，，共6个基本事件；
当时，，共2个基本事件；
∴三条线段能围成等腰三角形的概率为.
22．解：（1）命题：“，都有不等式成立”是真命题，得在时恒成立，
∴，得，即.
（2）不等式，
①当，即时，解集，若是的充分不必要条件，则是的真子集，
∴，此时；
②当，即时，解集，满足题设条件；
③当，即时，解集，若是的充分不必要条件，则有，此时.
综上①②③可得.
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