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河北鸡泽一中2018届高三上学期数学第一次月考试题(文科含答案)

作者:佚名 试题来源:网络 点击数:

河北鸡泽一中2018届高三上学期数学第一次月考试题(文科含答案)

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2017-2018学年度高三上学期第一次调研考试
数学(文)
(满分150分,考试时间:120分钟)
第 卷(选择题 共60分)
一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A={x|y=4x-x2},B={x||x|≤2},则A∪B=(  )
A.[-2,2]  B.[-2,4]  C.[0,2]  D.[0,4]
2.下列命题是真命题的为(  )
A.若1x=1y,则x=y   B.若x2=1,则x=1
C.若x=y,则x=y   D.若x<y,则x2<y2
3.已知f(x)满足对∀x∈R,f(-x)+f(x)=0,且x≥0时,f(x)=ex+m(m为常数),则f(-ln 5)的值为(  )
A.4     B.  6  C.-4   D.-6
4.已知△ABC的内角A满足sin2A=23,则sinA+cosA=(  )
A.153  B.-153  C.52  D.-53
5.已知向量a与b的夹角是π3,且|a|=1,|b|=4,若(3a+λb)⊥a,则实数λ=(  )
A.-32      B.32         C.-2 D.2
6.已知直线y=kx是曲线y=ln x的切线,则k的值是(  )
A.e  B.-e  C.1e  D.-1e
7.设函数f(x)=Asin(ωx+φ),其中A>0,|φ|<π2的图象如图所示,为了得到g(x)=sin2x的图象,则只需将f(x)的图象(  )
 
A.向右平移π6个单位长度     B.向右平移π12个单位长度
C.向左平移π6个单位长度     D.向左平移π12个单位长度
8.若x,y满足2x-y≤0,x+y≤3,x≥0,则2x+y的最大值为(  )
A.0       B.3        C.4   D.5
9.若对任意的x∈R,y=1-a|x|均有意义,则函数y=loga1x的大致图象是(  )

 
10.已知a>0,b>0,2a+b=1,则2a+1b的最小值是(  )
A.4  B.92  C.8  D.9
11.已知f(x)=ln x-x4+34x,g(x)=-x2-2ax+4,若对任意的x1∈(0,2],存在x2∈[1,2],使得f(x1)≥g(x2)成立,则a的取值范围是(  )
A.54,+∞     B.-18,+∞    C.-18,54   D.-∞,-54
12.设函数f(x)=2x,x≤0,log2x,x>0,若关于x的方程[f(x)]2-af(x)=0恰有三个不同的实数解,则实数a的取值范围为(  )
A.(0,1]     B.(0,1)      C.[1,+∞) D.(-∞,1)
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.
13.已知数列{an}是递增的等比数列,a1+a4=9,a2a3=8,则数列{an}的前n项和等于________.
14.若函数f(x)=4sin5ax-43cos5ax的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π3,则实数a的值为________.
15.甲船在A处观察乙船,乙船在它的北偏东60°的方向,两船相距a海里的B处,乙船正向北行驶,若甲船是乙船速度的3倍,甲船为了尽快追上乙船,则应取北偏东________(填角度)的方向前进.
16.已知函数f(x)=2x,g(x)=x2+ax(其中a∈R).对于不相等的实数x1,x2,设m=fx1-fx2x1-x2,n=gx1-gx2x1-x2.现有如下命题:
①对于任意不相等的实数x1,x2,都有m>0;
②对于任意的a及任意不相等的实数x1,x2,都有n>0;
③对于任意的a,存在不相等的实数x1,x2,使得m=n;
④对于任意的a,存在不相等的实数x1,x2,使得m=-n.
其中的真命题有________(写出所有真命题的序号).
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (本小题满分10分)
已知递增的等比数列{an}的前n项和为Sn,a6=64,且a4,a5的等差中项为3a3.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=na2n-1,求数列{bn}的前n项和Tn.

 

 

 

18. (本小题满分12分)
 在△ABC中,a2+c2=b2+2ac.
(1)求∠B的大小;
(2)求2cosA+cosC的最大值.

 


19.(本小题满分12分)
在等比数列{an}中,an>0(n∈N*),a1a3=4,且a3+1是a2和a4的等差中项,
若bn=log2an+1.
(1)求数列{bn}的通项公式;
(2)若数列{cn}满足cn=an+1+1b2n-1•b2n+1,求数列{cn}的前n项和.

 

 

20. (本小题满分12分)
已知向量m=(3sinx,cosx),n=(-cosx,3cosx),f(x)=m•n-32.
(1)求函数f(x)的最大值及取得最大值时x的值;
(2)若方程f(x)=a在区间0,π2上有两个不同的实数根,求实数a的取值范围.

 

 

 

21. (本小题满分12分)
某商人投资81万元建一间工作室,第一年装修费为1万元,以后每年增加2万元,把工作室出租,每年收入租金30万元.
(1)若扣除投资和各种装修费,则从第几年开始获取纯利润?
(2)若干年后该商人为了投资其他项目,对该工作室有两种处理方案:①年平均利润最大时,以46万元出售该工作室;②纯利润总和最大时,以10万元出售该工作室.问该商人会选择哪种方案?
  

 


22.(本小题满分12分)
已知函数f(x)=1x+aln x(a≠0,a∈R).
(1)若a=1,求函数f(x)的极值和单调区间;
(2)若在区间(0,e]上至少存在一点x0,使得f(x0)<0成立,求实数a的取值范围.
答案
一、选择题
1. B  2.A  3.C  4.A  5.A   6.C  7. A   8.C  9.B  10.D  11.A   12.A
二、填空
13、2n-1        14、±35      15、30°         16、  ①④
三、解答题
17. (1)设等比数列{an}的公比为q(q>0),
由题意,得a1q5=64,a1q3+a1q4=6a1q2,
解得a1=2,q=2或q=-3舍,
所以an=2n.
(2)因为bn=na2n-1=n22n-1,
所以Tn=12+223+325+427+…+n22n-1,
14Tn=123+225+327+…+n-122n-1+n22n+1,
所以34Tn=12+123+125+127+…+122n-1-n22n+1
=121-14n1-14-n22n+1=23-4+3n3×22n+1,
故Tn=89-16+12n9×22n+1=89-4+3n9×22n-1.
18. (1)由余弦定理及题设,得
cosB=a2+c2-b22ac=2ac2ac=22.(2分)
又0<∠B<π,所以∠B=π4.(4分)
(2)由(1)知∠A+∠C=3π4,则
2cosA+cosC=2cosA+cos3π4-A
=2cosA-22cosA+22sinA
=22cosA+22sinA
=cosA-π4.(9分)
因为0<∠A<3π4,(10分)
所以当∠A=π4时,2cosA+cosC取得最大值1.(12分)
19. (1)设等比数列{an}的公比为q,且q>0,
在等比数列{an}中,由an>0,a1a3=4,得a2=2,①        (2分)
又a3+1是a2和a4的等差中项,所以2(a3+1)=a2+a4,②
把①代入②,得2(2q+1)=2+2q2,解得q=2或q=0(舍去),(4分)
所以an=a2qn-2=2n-1,
则bn=log2an+1=log22n=n.   (6分)
(2)由(1)得,cn=an+1+1b2n-1•b2n+1
=2n+12n-12n+1=2n+1212n-1-12n+1,(8分)
所以数列{cn}的前n项和Sn=2+22+…+2n+121-13+13-15+…+12n-1-12n+1=21-2n1-2+121-12n+1=2n+1-2+n2n+1.(12分)
20. (1)f(x)=m•n-32=-3sinxcosx+3cos2x-32=-32sin2x+32(1+cos2x)-32
=-32sin2x+32cos2x=3sin2x+5π6.
当2x+5π6=2kπ+π2,即x=kπ-π6,k∈Z时,函数f(x)取得最大值3.
(2)由于x∈0,π2时,2x+5π6∈5π6,11π6.
而函数g(x)=3sinx在区间5π6,3π2上单调递减,在区间3π2,11π6上单调递增.
又g11π6=-32,g3π2=-3,g5π6=32.
所以方程f(x)=a在区间0,π2上有两个不同的实数根时,a∈-3,-32.
21. (1)设第n年获取利润为y万元.
n年付出的装修费构成一个首项为1,公差为2的等差数列,n年付出的装修费之和为n×1+nn-12×2=n2,又投资81万元,n年共收入租金30n万元,
∴利润y=30n-n2-81(n∈N*).
令y>0,即30n-n2-81>0,∴n2-30n+81<0,
解得3<n<27(n∈N*),∴从第4年开始获取纯利润.
(2)方案①:年平均利润t=30n-81+n2n=30-81n-n=30-81n+n≤30-281n•n=12(当且仅当81n=n,即n=9时取等号),
∴年平均利润最大时,以46万元出售该工作室共获利润12×9+46=154(万元).
方案②:纯利润总和y=30n-n2-81=-(n-15)2+144(n∈N*),
当n=15时,纯利润总和最大,为144万元,
∴纯利润总和最大时,以10万元出售该工作室共获利润144+10=154(万元),
两种方案盈利相同,但方案①时间比较短,所以选择方案①.
22. (1)当a=1时,f′(x)=-1x2+1x=x-1x2.
令f′(x)=0,得x=1,
又y=f(x)的定义域为(0,+∞),
由f′(x)<0,得0<x<1;由f′(x)>0,得x>1.
所以x=1时,f(x)有极小值为1.
y=f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.
(2)f′(x)=-1x2+ax=ax-1x2,且a≠0.
令f′(x)=0,得x=1a.
若在区间(0,e]上存在一点x0,使得f(x0)<0成立,
即y=f(x)在区间(0,e]上的最小值小于0.
当a<0时,f′(x)<0对x∈(0,e]恒成立,即y=f(x)在区间(0,e]上单调递减,
故y=f(x)在区间(0,e]上的最小值为f(e)=1e+aln e=1e+a,由1e+a<0,得a<-1e,即a∈-∞,-1e.
当a>0时,
①若e≤1a,即0<a≤1e,则f′(x)≤0对x∈(0,e]恒成立,
所以y=f(x)在区间(0,e]上单调递减,
则y=f(x)在区间(0,e]上的最小值为f(e)=1e+aln e=1e+a>0,显然,y=f(x)在区间(0,e]上的最小值小于0不成立.
②若0<1a<e,即a>1e,则有
x 0,1a
1a
1a,e

f′(x) - 0 +
f(x)  极小值 

所以f(x)在区间(0,e]上的最小值为f1a=a+aln 1a,
由f1a=a+aln 1a=a(1-ln a)<0,得
1-ln a<0,解得a>e,即a∈(e,+∞).
综上可知,a∈-∞,-1e∪(e,+∞).

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