2017-2018学年汕头市金山中学高三文科数学期中考试
命题人：郑少珊
一、选择题.
1．已知集合，则实数a的值为（ ）
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
2．已知复数是纯虚数(其中为虚数单位，)，则（ ）
A. 1 B. -1 C. D.
3．如图是为了求出满足的最小偶数，那么
在和 两个空白框中，可以分别填入( )
A. 和 B. 和
C. 和 D. 和
4．若，，，则（ ）
A. B. C. D.
5．每年三月为学雷锋活动月，某班有青年志愿者男生3人，女生2人，现需选出2名青年志愿者到社区做公益宣传活动，则选出的2名志愿者性别相同的概率为（ ）
A. B. C. D.
6.已知分别为的三个内角的对边，（）
A. B. C. D.
7．设，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8．已知函数，则的图象大致为（ ）
9．已知函数在处取得最大值,则函数的图象（ ）
A. 关于点对称 B. 关于点对称
C. 关于直线对称 D. 关于直线对称
10．如图，是椭圆与双曲线的公共焦点，分别是在第二、四象限的公共点.若四边形为矩形，则的离心率是( )
A. B. C. D.
11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥各个侧面中，最大的侧面面积为（ ）
A. 2 B. C. 3 D. 4
12．已知实数若关于的方程有三个不同的实根,则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题.
13．若数列的前n项和满足（）,则数列的通项公式是 _____．
14.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知tan ＝2,则=_________．
15．设为坐标原点,,若点满足,则的最大值是________．
16．已知是球的球面上两点， ， 为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为，则球的体积为__________．
三、解答题.
17. 已知数列{an}是等比数列，a2＝4，a3＋2是a2和a4的等差中项．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝2log2an－1，求数列{anbn}的前n项和Tn.
18．“共享单车”的出现，为我们提供了一种新型的交通方式．某机构为了调查人们对此种交通方式的满意度，从交通拥堵不严重的城市和交通拥堵严重的城市分别随机调查了20个用户，得到了一个用户满意度评分的样本，并绘制出茎叶图（如图所示）：
若得分不低于80分，则认为该用户对此种交通方式“认可”，否则认为该用户对此种交通方式“不认可”，请根据此样本完成此列联表，并据此样本分析是否有的把握认为城市拥堵与认可共享单车有关：
合计
认可
不认可
合计
附：参考数据：（参考公式：）
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
19．如图（1），五边形中，.如图（2），将沿折到的位置，得到四棱锥.点为线段的中点，且平面．
（1）求证：平面平面；
（2）若直线与所成角的正切值为,设,求四棱锥的体积.
20．已知椭圆经过点，离心率。
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设过点的直线与椭圆相交于两点,求的面积的最大值。
21.（本小题满分12分）已知函数的图象在点处的切线方程为.
（Ⅰ）求实数的值及函数的单调区间；
（Ⅱ）当时，比较与（为自然对数的底数）的大小.
22．选修4—4：坐标系与参数方程
已知直线l经过点，倾斜角，圆的极坐标方程为．
（Ⅰ）写出直线l的参数方程，并把圆的方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）设l与圆相交于两点，求点到两点的距离之积．
23．选修4—5：不等式选讲.
设函数f(x)＝|x＋2|－|x－1|．
(1)求不等式f(x)＞1的解集；
(2)若关于x的不等式f(x)＋4≥|1－2m|有解，求实数m的取值范围．
2017-2018学年度 汕头市金山中学 高三文科数学 期中考试 参考答案
ACDBB CBBAD CA
17. [解] (1)设数列{an}的公比为q，
因为a2＝4，所以a3＝4q，a4＝4q2.2分
因为a3＋2是a2和a4的等差中项，所以2(a3＋2)＝a2＋a4.
即2(4q＋2)＝4＋4q2，化简得q2－2q＝0.
因为公比q≠0，所以q＝2.
所以an＝a2qn－2＝4×2n－2＝2n(n∈N*).5分
(2)因为an＝2n，所以bn＝2log2an－1＝2n－1，
所以anbn＝(2n－1)2n，7分
则Tn＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)2n－1＋(2n－1)2n，①
2Tn＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n－3)2n＋(2n－1)2n＋1.②
由①－②得，－Tn＝2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n－(2n－1)2n＋1
＝2＋2×－(2n－1)2n＋1
＝－6－(2n－3)2n＋1，
所以Tn＝6＋(2n－3)2n＋1.12分
18.解析：
【答案】没有的把握认为城市拥堵与认可共享单车有关.
合计
认可
5
10
15
不认可
15
10
25
合计
20
20
40
所以没有的把握认为城市拥堵与认可共享单车有关．
19．（1）证明：取的中点，连接，则，
又，所以，
则四边形为平行四边形，所以，
又平面，
∴平面，
∴平面平面PCD；
（2）取的中点，连接，
因为平面，
∴.
由即及为的中点，可得为等边三角形，
∴，
又，∴，∴，
∴平面平面，
∴平面平面.
所以
所以.
，∴为直线与所成的角，
由（1）可得，∴，∴，则 .其他方法酌情给分
20．解析：
（Ⅰ）由点在椭圆上得， ① ②
由①②得，故椭圆的标准方程为
21.解：（Ⅰ）函数的定义域为，
，
因为的图象在点处的切线方程为，
所以，解得，.
所以.
所以.
令，得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（Ⅱ）当时，.
证明如下：
因为时单调递减，
且，
又，当时，单调递增，且.
若，则必都大于1，且必有一个小于，一个大于.
不防设，
当时，必有.
当时，，
设，，
则
.
因为，
所以.
故.
又，
所以.
所以在区间内单调递增.
所以.
所以.
因为，，所以，
又因为在区间内单调递增，
所以，即.
综上，当时，.
22．（1）；（2）.
解析：(1)直线l的参数方程为,即 (t为参数)
由,得ρ＝cosθ＋sinθ，所以ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，
∵ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，∴.
(2)把代入.
得t2＋t－＝0，|PA|·|PB|＝|t1t2|＝.故点P到点A、B两点的距离之积为.
考点：1.参数方程的应用；2.极坐标方程与直角坐标方程的转化.
23.解：(1)函数f(x)可化为f(x)＝
当x≤－2时，f(x)＝－3＜0，不合题意；
当－2＜x＜1时，f(x)＝2x＋1＞1，得x＞0，即0＜x＜1；
当x≥1时，f(x)＝3＞1，即x≥1．
综上，不等式f(x)＞1的解集为(0，＋∞)．
(2)关于x的不等式f(x)＋4≥|1－2m|有解等价于(f(x)＋4)max≥|1－2m|，
由(1)可知f(x)max＝3(也可由|f(x)|＝||x＋2|－|x－1||≤|(x＋2)－(x－1)|＝3，得f(x)max＝3)，
即|1－2m|≤7，解得－3≤m≤4．
故实数m的取值范围为[－3,4]．
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