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高二2017～18第一学期第二次考试
数学试卷（文科）
命题：胡 娜 审题：胡 娜
考试时间：120分钟 试卷满分：150分
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、 选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．已知集合P={x|﹣1＜x＜1}，Q={x|0＜x＜2}，那么P∪Q=（ ）
A．（﹣1，2） B．（0，1） C．（﹣1，0） D．（1，2）
2．命题“∀x＞0，都有x2﹣x+3≤0”的否定是（ ）
A．∃x＞0，使得x2﹣x+3≤0 B．∃x＞0，使得x2﹣x+3＞0
C．∀x＞0，都有x2﹣x+3＞0 D．∀x≤0，都有x2﹣x+3＞0
3．“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是
（ ）
A． B． C． D．
4．在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”成立的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
5．在等差数列中，若，则的值为（ ）
A．20 B．22 C．24 D．28
6．在△ABC中，三个内角所对的边为，若， ，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知双曲线的焦点为（2，0），则此双曲线的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
8．阅读如图所示的程序框图，若输入m=2016，则输出S等于（ ）
A．10072 B．10082 C．10092 D．20102
9.某四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积是（ ）
A．6 B．10 C．12 D．20
10．若，则的最小值为（ ）
A．6 B．12 C．16 D．24
11．是双曲线的左、右焦点，过的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A、B．若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数，若关于x的方程有8个不等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本题共4题，每题5分，共20分）
13．已知向量=（﹣2，2），向量=（2，1），则向量在向量方向上的投影为 ．
14．若x，y满足约束条件，则z=3x﹣4y的最小值为 ．
15.某城市2007年到2011年人口总数与年份的关系如表所示.
据此估计2017年该城市人口总数 ．
年份(年)
0
1
2
3
4
人口数y(十万)
5
7
8
11
19
（参考数据和公式: ）
16．已知数列满足，，若不等式恒成立，则实数t的取值范围是 ．
三、解答题（本题共6题，17题10分，18-22各12分，解答题需写出必要步骤，否则不给分）
17．已知椭圆C的两个焦点是F1（﹣2，0），F2（2，0），且椭圆C经过点A（0，）．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若过椭圆C的左焦点F1（﹣2，0）且斜率为1的直线l与椭圆C交于P、Q两点，求线段PQ的长．
18．已知函数．
（Ⅰ）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）已知a，b，c是△ABC三边长，且f（C）=2，△ABC的面积S=，c=7．求角C及a，b的值．
19．设数列满足．
（1）求的通项公式；（2）求数列的前n项和．
20．命题p：关于x的不等式的解集为；命题q：函数为增函数．命题r：a满足．
（1）若p∨q是真命题且p∧q是假题．求实数a的取值范围．
（2）试判断命题￢p是命题r成立的一个什么条件．
21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，E、F分别为PC、BD的中点，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD．
（1）求证：EF∥平面PAD；（2）求三棱锥C﹣PBD的体积．
22．已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，且过点（1，）．
（1）求椭圆C的方程；（2）设与圆O：相切的直线l交椭圆C于A，B两点，求△OAB面积的最大值，及取得最大值时直线l的方程．
高二数学2017～18第一学期第二次月考答案
一、 选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A
B
A
A
C
B
C
C
A
C
B
D
二、 填空题
13. 14. -1 15. 35.6 16. [﹣9，+∞）
三、 解答题
17．解：（1）由题意可知椭圆焦点在x轴上，设椭圆方程为（a＞b＞0），
由题意可知，∴a=3，b=．
∴椭圆的标准方程为=1．
（2）直线l的方程为y=x+2，
联立方程组，得14x2+36x﹣9=0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1x2=﹣，
∴|PQ|=|x1﹣x2|===．
18．解：（Ⅰ）f（x）=sin2xcos+cos2xsin+sin2xcos﹣cos2xsin+cos2x+1=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，
∵ω=2，∴T==π；
令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，得到﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
则函数f（x）的递增区间是[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z；
（Ⅱ）由f（C）=2，得到2sin（2C+）+1=2，即sin（2C+）=，
∴2C+=或2C+=，
解得：C=0（舍去）或C=，
∵S=10，
∴absinC=ab=10，即ab=40①，
由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即49=a2+b2﹣ab，
将ab=40代入得：a2+b2=89②，
联立①②解得：a=8，b=5或a=5，b=8．
19．解：（1）数列{an}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）an=2n．
n≥2时，a1+3a2+…+（2n﹣3）an﹣1=2（n﹣1）．
∴（2n﹣1）an=2．∴an=．
当n=1时，a1=2，上式也成立．
∴an=．
（2）==﹣．
∴数列{}的前n项和=++…+=1﹣=．
20．解：关于x的不等式x2+（a﹣1）x+a2≤0的解集为∅，
∴△=（a﹣1）2﹣4a2＜0，
即3a2+2a﹣1＞0，
解得a＜﹣1或a＞，
∴p为真时a＜﹣1或a＞；
又函数y=（2a2﹣a）x为增函数，
∴2a2﹣a＞1，
即2a2﹣a﹣1＞0，
解得a＜﹣或a＞1，
∴q为真时a＜﹣或a＞1；
（1）∵p∨q是真命题且p∧q是假命题，∴p、q一真一假，
∴当P假q真时，，即﹣1≤a＜﹣；
当p真q假时，，即＜a≤1；
∴p∨q是真命题且p∧q是假命题时，a的范围是﹣1≤a＜﹣或＜a≤1；
（2）∵，
∴﹣1≤0，
即，
解得﹣1≤a＜2，
∴a∈[﹣1，2），
∵¬p为真时﹣1≤a≤，
由[﹣1，）是[﹣1，2）的真子集，
∴¬p⇒r，且r≠＞¬p，
∴命题¬p是命题r成立的一个充分不必要条件．
21．解：（1）证明：连接AC，则F是AC的中点，E为PC的中点
故在△CPA中，EF∥PA，（3分）
且PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，
∴EF∥平面PAD（6分）
（2）取AD的中点M，连接PM，
∵PA=PD，
∴PM⊥AD（8分）
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PM⊥平面ABCD，（10分）
∴（14分）
22．解：（1）由题意可得，e==，a2﹣b2=c2，
点（1，）代入椭圆方程，可得+=1，
解得a=，b=1，
即有椭圆的方程为+y2=1；
（2）①当k不存在时，x=±时，可得y=±，
S△OAB=××=；
②当k存在时，设直线为y=kx+m（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），
将直线y=kx+m代入椭圆方程可得（1+3k2）x2+6kmx+3m2﹣3=0，
x1+x2=﹣，x1x2=，
由直线l与圆O：x2+y2=相切，可得=，
即有4m2=3（1+k2），
|AB|=•=•
=•=•
=•≤•=2，
当且仅当9k2= 即k=±时等号成立，
可得S△OAB=|AB|•r≤×2×=，
即有△OAB面积的最大值为，此时直线方程y=±x±1．
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