高三数学（文科）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由得：，结合可得，故选B.
2. 下列函数中，既是奇函数，又在其定义域上单调递减的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】对于A：为非奇非偶函数，该选项不正确；对于B：在内单调递减，在内单调递减，但在整个定义域内不具备单调性，该选项不正确；对于C：为奇函数且为减函数，该选项正确；对于D：在定义域内不具备单调性，该选项不正确，故选C.
3. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由不等式的性质，，可推出，而当时，例如取，，显然不能推出，故是的充分不必要条件，故选A.
4. 下列说法正确的是（ ）
A. 命题“3能被2整除”是真命题
B. 命题“，”的否定是“，”
C. 命题“47是7的倍数或49是7的倍数”是真命题
D. 命题“若都是偶数，则是偶数”的逆否命题是假命题
【答案】C
【解析】对于A：“3能被2整除”显然不正确；对于B：由于命题“，”的否定是，故B不正确；对于C：47是7的倍数或49是7的倍数是复合命题或的形式，其中：47是7的倍数为假，：49是7的倍数为真，其中为真，故命题：47是7的倍数或49是7的倍数为真，故C正确；对于D：命题“若，都是偶数，则是偶数”为真命题，由原命题与逆否命题的等价性得，其逆否命题也为真命题，故D不正确；故选C.
5. 函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】要使函数有意义需满足解得，故函数的定义域为，故选D.
6. 若函数 的部分图象如图所示，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由函数的部分图象知，，，解得；再由五点法作图可得，解得；故，则，故选A.
点睛：本题主要考查利用的图象特征，由函数的部分图象求解析式，理解解析式中的意义是正确解题的关键，属于中档题．为振幅，有其控制最大、最小值，控制周期，即，通常通过图象我们可得和,称为初象，通常解出，之后，通过特殊点代入可得，用到最多的是最高点或最低点.
7. 设变量满足约束条件，则的最大值为（ ）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
【答案】C
【解析】约束条件，不等式组表示的平面区域如图所示，
当直线过点A时，取得最大值，由，可得时，在轴上截距最小，此时取得最大值10，故选C.
点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
8. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
9. 已知函数，则函数有（ ）
A. 最大值为0 B. 最小值0 C. 最大值 D. 最小值
【答案】B
【解析】∵，∴，则，即函数有最小值0，当且仅当，即时取最值，故选B.
点睛：本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．
10. 函数的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由得：，故其为偶函数，图象关于轴对称，故排除D；，故排除A；当时，，，可得时，函数单调递减，当时，，函数单调递增，故排除C，故选B.
点睛：本题考查函数的图象的判断与应用，考查函数的零点以及特殊值的计算，是中档题；已知函数解析式，选择其正确图象是高考中的高频考点，主要采用的是排除法，最常见的排出方式有根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，同时还有在特殊点处所对应的函数值或其符号，其中包括等.
11. 设是所在平面内一点，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由向量的运算法则可得：，，∵，∴，整理可得，即，故选C.
12. 设函数的导函数为，且在上恒成立，则，，的大小关系为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】设函数，则，因为在上恒成立，故当时，恒成立，所以函数在时，单调递减，所以，即成立，故选D.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 已知函数则__________．
【答案】-3
【解析】当时，，故；当时，，故，故答案为.
14. 已知数列的前项和为，若，则__________．
【答案】
【解析】∵，则，故答案为.
15. 已知向量，，，且，，则__________．
【答案】
【解析】由，得解得，故，则，故答案为.
16. 函数的零点的个数为__________．
【答案】8
【解析】因为函数的零点个数就是对应的函数与
三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 在中，内角的对边分别为，且，.
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）若，求的面积.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】试题分析：（Ⅰ）直接在中运用正弦定理即可得出结论；（Ⅱ）由已知及余弦定理可求，进而利用三角形面积公式即可计算得解.
试题解析：（Ⅰ）在中，由正弦定理得，解得
，
所以.
（Ⅱ）由余弦定理，得，所以，因为，所以，所以的面积为.
18. 设等差数列的前项和为，，.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若从数列中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第项，…，按原来顺序组成一个新数列，求数列的前项和.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】试题分析：（Ⅰ）利用等差数列通项公式、前项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出数列的通项公式；（Ⅱ）推导出，由此能求出数列的前项和.
试题解析：（Ⅰ）依题意得，解得，所以，故数列的通项公式为.
（Ⅱ）由已知得，所以，故数列的前项和.
点睛：本题主要考查了等差数列，等比数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.
19. 已知函数在点处取得极值.
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）求函数的单调区间.
【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）函数的单调递增区间是，；单调递减区间是.
【解析】试题分析：（Ⅰ）求出函数的导数，得到关于，的方程组，解出即可；（Ⅱ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间.
试题解析：（Ⅰ），由题意得，即，解得，经检验知当，时，函数在处取得极值，所以，.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知所以，由，解得或，故函数在区间，上单调递增；由，解得，故函数在区间上单调递减.所以函数的单调递增区间是，；
单调递减区间是.
20. 已知函数.
（Ⅰ）求函数的单调递增区间；
（Ⅱ）当时，求函数的最大值与最小值.
【答案】（Ⅰ）函数的单调递增区间是，；（Ⅱ）最大值，函数取最小值.
【解析】试题分析：（Ⅰ）利用降幂公式及辅助角公式把函数化为正弦型函数，根据正弦函数的单调性求出函数的单调递增区间；（Ⅱ）求出时，的取值范围，即可得出函数最大、最小值.
试题解析：（Ⅰ），由，，解得，，所以函数
的单调递增区间是，.
（Ⅱ）因为，所以，当，即时，函数取最大值；当，即时，函数取最小值.
21. 设数列的前项和为，且，.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列的前项和.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】试题分析：（Ⅰ）根据可推导出，验证初项，从而数列是首项为2，公比为2的等比数列，由此能求出数列的通项公式；（Ⅱ）由，得，利用错位相减法即能求出数列的前项和.
试题解析：（Ⅰ）当时，，当时，，①
，②，①—②得，，又，所以，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，所以 ，①， ，②，①—②得，所以.
22. 已知函数.
（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线垂直，求实数的值；
（Ⅱ）若函数在其定义域上是增函数，求实数的取值范围；
（Ⅲ）当时，函数的两个极值点为，且，若不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.
【解析】试题分析：（Ⅰ）求出函数的导数，计算的值，求出的值即可；（Ⅱ）求得导数，由题意可得在恒成立，即有的最小值，运用基本不等式可得最小值，即可得到的范围；（Ⅲ）函数在上有两个极值点，方程有两个不等的正根，求得两根，求得范围；不等式恒成立即为，而，设，求出导数，判断单调性，即可得到的最小值，即可求得的范围.
试题解析：（Ⅰ），所以，依题意知，，所以.
（Ⅱ）函数的定义域是，若函数在其定义域上是增函数，则在区间上恒成立，即在区间上恒成立，因为，当且仅当时等号成立，所以，因此实数的取值范围是.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，因为的两个极值点为，且，所以是方程的两个根，所以，，不等式恒成立，即恒成立，而 ，由.所以，解得或，因为，，所以舍去，所以.令，，，所以函数在上是减函数，所以，故.
点睛：本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值，主要考查导数的几何意义，同时考查函数的单调性的运用，以及不等式恒成立问题转化为求函数的最值或范围，考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解.
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