2017-2018学年第一学期扬州中学期中考试试卷
高二数学
一、填空题：
1.直线l：2x-y+1=0的斜率为________
2.命题p：∃x∊R，使得x2+1≤0的否定为______________
3.直线l：kx+y-2k=0经过定点的坐标为________
4.若命题p：，命题q：点在圆内，则p是q的______条件。
5.已知两条直线l1:x+ay=2a+2，l2:ax+y=a+1，若l1⊥l2，则a=_______
6.命题p：“若a>b，则0
3.直线l：kx+y-2k=0经过定点的坐标为________（2，0）
4.若命题p：，命题q：点在圆内，则p是q的_______条件。充要．
5.已知两条直线l1:x+ay=2a+2，l2:ax+y=a+1，若l1⊥l2，则a=_______ 0
6.命题p：“若a>b，则0）
又由题意OM3==2a3，所以xP=a，代入y2=2ax
得：=2a2，解得yP=a
所以点P（a，a）代入x2=my
得：(a)2=ma，解得m=a
所以抛物线C2为：x2=ay
方法二：设抛物线C2：x2=my（m>0）
联立抛物线C1、C2得：
x4=2am2x，解得x=0或x3=2am2
由题意OM3= x3=2am2=2a3
所以，m=a
所以抛物线C2为：x2=ay
一点说明：古希腊著名的尺规作图题“倍立方问题”，试题也可有文化传承的功能。
18.如图，△AOB的顶点A在射线l：上，A，B两点关于x轴对称，O为坐标原点，且线段AB上有一点M满足｜AM|·｜MB｜＝3．当点A在l上移动时，记点M的轨迹为W．
（1）求轨迹W的方程；
（2）设P(m，0)为x轴正半轴上一点，求｜PM|的最小值f(m)．
解：(1)因为A，B两点关于x轴对称，
所以AB边所在直线与y轴平行．
设M(x，y)，由题意，得A(x，x)，B(x，－x)
所以｜AM｜＝x－y，｜MB｜＝y＋x，
因为｜AM｜·｜MB｜＝3，
所以(x－y)×(y＋x)＝3，即
所以点M的轨迹W的方程为(x≥1)．
(2)设M(x，y)，则
因为点M在，所以y2＝3x2－3，
所以
若，即m＜4，则当x＝1时，|MP｜min＝｜m－1|，
若，即m≥4，则当时，
所以，｜PM｜的最小值（6分+10分）
19.已知椭圆C：（a＞b＞0）上顶点为D，右焦点为F，过右顶点A作直线l//DF，且与y轴交于点P（0，t），又在直线y＝t和椭圆C上分别取点Q和点E，满足OQ⊥OE（O为坐标原点），连接EQ
（1）求t的值，并证明直线AP与圆x2+y2＝2相切；
（2）判断直线EQ与圆x2+y2＝2是否相切？若相切，请证明；若不相切，请说明理由。
解：（1）由题设D（0,），F（,0），A（2,0）
又AP//DF，所以kAP=kDF，可得t=2，
所以AP：+=1，即x+y=2
所以d===圆x2+y2＝2的半径，
所以直线AP与圆x2+y2＝2相切
（2）设Q(x0,2)，E（x1，y1）
由OQ⊥OE，则⊥，可得x0x1+2y1=0
而EQ：(y1-2)x- (x1-x0)y-(y1-2)x0+2(x1-x0)=0
d==
由x0x1+2y1=0得x0=-代入上式
得d===
又+2=4，=4-2，代入上式得d=
所以直线EQ与圆x2+y2＝2相切。（6分+10分）
此题背景：此题以椭圆为背景，难点在于设椭圆上任意一点，得QE直线方程，证明与圆相切，体现设而不求的想法，有一定的运算推理要求。
20.已知椭圆C：左焦点F，左顶点A，椭圆上一点B满足BF⊥x轴，且点B在x轴下方，BA连线与左准线l交于点P，过点P任意引一直线与椭圆交于C、D，连结AD、BC交于点Q，若实数λ1，λ2满足：＝λ1，＝λ2
（1）求λ1·λ2的值
（2）求证：点Q在一定直线上
解：（1）因为F(-2,0)，由BF⊥x轴，由对称性不妨设B(-2,-3)，则直线AB：y＝-(x+4)
又左准线l:x＝-8，所以P(-8,6)
又＝λ1，所以＝，
同理由＝λ2，得＝
又＝，所以＝
又//，比较系数得＝，所以λ1·λ2＝
（此题本质是梅涅劳斯定理，由△QAB及截线PCD，可得λ1·λ2＝，应给全分）
（2）证明：设点C(x1,y2)，D(x2,y2)，Q(x0,y0)
由＝λ1，得x1＝，y1＝
代入椭圆方程3x2+4y2＝48，得：32+42＝48
整理得：(3+4-48)-(12x0+24y0+96)λ1＝0
显然λ1≠0，所以λ1＝
同理由＝λ2，得x2＝，y2＝
代入椭圆方程3x2+4y2＝48，得：32+42＝48
同理可得：λ2＝
又由（1）λ1·λ2＝，所以，·＝
整理得：x0-y0+2＝0
即点Q在定直线x-y+2＝0上
（6分+10分）
此题实质是圆锥曲线极点极线的一个性质。问题设计时，将几何关系用适当的向量关系表出，既体现向量和解析几何的共性，又为解题指引方向。第（1）小问充分体现了构图特点，为第（2）问埋下伏笔；第（2）体现了问题本质PF⊥QF。
原题：设椭圆的左焦点为O，左准线为z，A，B是椭圆上两点，使得OA⊥OB，AB交左准线z于点P，一直线过点P且交椭圆于C、D，AD交BC于点E，如图，求证：OE⊥OP
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