陕西省西安市第一中学2017-2018学年高二上学期第二次月考（12月）数学（理）试题Word版含答案.doc

西安市第一中学 2017-2018 学年度第一学期第二次月考 高二数学（理科）试题 命题人：张平乐 时间:100 分 满分 100 分 本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。考试结束后，只交答题纸和 答题卡，试题自己保留。 注意事项 1．答题前，考生在答题纸和答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色签字笔将自己的班级、姓 名、考号填写清楚。请认真核准考号、姓名和科目。 2．每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效。 3. 填空题和解答题的答案必须写在答题纸上,写在试卷上无效. 一．选择题 (本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分．在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知正数 满足 ，那么 的最小值等于（ ） A . B. C . D . 2．命题“ 恒成立”是假命题，则实数 的取值范围是（ ） A . B. C . D . 3．“ ”是“ ”的（ ） A .充分不必要条件 B.必要不充分条件 C . 充要条件 D .既不充分又不必要条件 4．已知向量 ， ，且 ，那么 等于( ) A . B. C . D . 5．“ ”是“函数 的最小正周期为 ”的（ ） A .充分不必要条件 B.必要不充分条件 C . 充要条件 D .既不充分又不必要条件 6．已知向量 ，则下列向量中与 成 60°夹角的是( ) A . B. C . D .7.若 ，则 的取值范围是（ ） A . B. C . D . 8．已知命题 使得 命题 ，下列命题为真的是 ( ) A . B. C . D . 9．已知向量 均为非零向量，下列选项中正确的是( ) A . 若 ，则 B. C . D . 10.点 为空间任意一点，若 ，则 四点（ ） A .一定不共面 B.一定共面 C . 不一定共面 D .无法判断 11．正方体 的棱长为 ，点 在 上且 ， 为 的中 点， 则 为( ) A . B. C . D . 12．已知直三棱柱 中， ， ， ，则异面直 线 与 所成角的余弦值为（ ） A . B. C . D . 二．填空题(本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分．将答案填写在题中的横线 上) 13．命题“对任意一个实数 ，都有 ”的否定是________．14．命题“若 ，则 ”的否命题为 . 15．若函数 有两个零点，则实数 的取值范围是__________. 16．在空间直角坐标系中，向量 ， ，则 的面积 为 ． 17.若平面向量 满足 ，则 的最小值是 . 三．解答题(本大题共 4 小题，共 44 分．解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤) 18．（本题满分 10 分） 已知命题 指数函数 在 上 单 调 递 减 ， 命 题 关 于 的 方 程 的两个实根均大于 3．若“ 或 ”为 真，“ 且 ”为假，求实数 的取值范围． 19．（本题满分 10 分） 如图，在底面是矩形的四棱锥 P—ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，E，F 分别是 PC，PD 的中点，PA＝AB＝1， BC＝2. 求证：(1)EF 平面 PAD；(2)平面 PAD⊥平面 PDC. 20.（本题满分 12 分） 在平行六面体 中， ， ， ， . （1）求线段 的长度； （2）求异面直线 与 所成角的正弦值. 21．（本题满分 12 分） 在三棱锥 PABC 中，PA⊥底面 ABC，∠BAC＝90°. 点 D，E，N 分别为棱 PA，PC，BC 的中点，M 是线段 AD 的中点，PA＝AC＝4，AB＝ 2. (1)求证：MN∥平面 BDE； (2)求二面角 CEMN 的正弦值； 西安市第一中学 2017-2018 学年度第一学期第二次月考 高二数学（理科）试题参考答案一、选择题（每小题 3 分，共 36 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C A B D A B D B D B A C 二、填空题（每小题 4 分，共 20 分） 13．存在实数 ，使得 14．若 ，则 15． 16． 17. . 三、解答题（共 4 小题，共 44 分） 18．（本题满分 10 分） 解：若 p 真，则 在 R 上单调递减，∴0＜2a-6＜1，∴3＜a＜ ． 若 q 真 ， 令 f （ x ） =x2-3ax+2a2+1 ， 则 应 满 足 ，又由已知“ 或 ”为真，“ 且 ”为假；应有 p 真 q 假，或者 p 假 q 真． ①若 p 真 q 假，则 ， a 无解． ②若 p 假 q 真，则 ． 综上①②知实数 的取值范围为 ． 19．（本题满分 10 分）如图，在底面是矩形的四棱锥 P—ABCD 中，PA⊥ 底面 ABCD，E，F 分别是 PC，PD 的中点，PA＝AB＝1，BC＝2. 求证：(1)EF 平面 PAD；(2)平面 PAD⊥平面 PDC. 解 (1)以 A 为原点，AB 所在直线为 x 轴，AD 所在直线为 y 轴，AP 所在直线为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)， ∴ 所以， EF → ＝ ， ， ， ，所以， 同理可得： ，又 ，所以，EF 平面 PAD. (2)∵ AP → · DC → ＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0， AD → · DC → ＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0， ∴ AP → ⊥ DC → ， AD → ⊥ DC → ，即 AP⊥DC，AD⊥DC. 又 AP∩AD＝A，∴DC⊥平面 PAD. ∵DC ⊂ 平面 PDC，∴平面 PAD⊥平面 PDC. 20．（本题满分 12 分） 在平行六面体 中， ， ， ， . （1）求线段 的长度；（2）求异面直线 与 所成角的正弦 值.解：（1）如图， ，因为，平行六面体 ， 所以， ，而 ， ， ， .故 ， ， . 由 得 ： ， 所以， 故 （2） 在 中， ， ，所以 为正三角形， 故 ，可得 ，又 ，可得 . 所以，异面直线 与 所成角的正弦值为 21．（本题满分 12 分） 在三棱锥 PABC 中，PA⊥底面 ABC，∠BAC＝90°.点 D，E，N 分别为棱 PA，PC，BC 的 中点，M 是线段 AD 的中点，PA＝AC＝4，AB＝2. (1)求证：MN∥平面 BDE； (2)求二面角 CEMN 的正弦值；解：如图，以 A 为原点，分别以 AB →， AC →， AP →方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直 角坐标系 A－xyz，依题意可得 A(0,0,0)，B(2，0,0)，C(0,4,0)，P(0,0,4)，D(0,0,2)，E(0,2,2)， M(0,0，1)，N(1,2,0)． (1)证明： DE →＝(0,2,0)， DB →＝(2,0，－2)． 设 n＝(x，y，z)为平面 BDE 的法向量， 则 DB ＝0，即 2y＝0， 2x－2z＝0.不妨设 z＝1，可得 n＝(1,0,1)． 又 MN →＝(1,2，－1)，可得 MN →·n＝0. 因为 MN⊄平面 BDE，所以 MN∥平面 BDE. (2)易知 n1＝(1,0,0)为平面 CEM 的一个法向量．设 n2＝(x1，y1，z1)为平面 EMN 的一个法 向量，则 MN ＝0. 因为 EM →＝(0，－2，－1)， MN →＝(1,2，－1)，所以 －2y1－z1＝0， x1＋2y1－z1＝0. 不妨设 y1＝1，可得 n2＝(－4,1，－2)． 因此有 cos〈n1，n2〉＝ n1·n2 |n1|·|n2|＝－ 4 21， 于是 sin〈n1，n2〉＝ 105 21 . 所以二面角 CEMN 的正弦值为 105 21 .