直线与圆的位置关系提升训练(北师大版必修2)
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资料简介
课下能力提升(二十二) 直线与圆的位置关系 一、选择题 ‎1.若直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交,则点P(a,b)与圆的位置关系是(  )‎ A.在圆上         B.在圆外 C.在圆内 D.以上都有可能 ‎2.若直线x-y=2被圆(x-a)2+y2=4所截得的弦长为2,则实数a的值为(  )‎ A.-1或 B.1或3‎ C.-2或6 D.0或4‎ ‎3.(重庆高考)对任意的实数k,直线y=kx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是(  )‎ A.相离 B.相切 C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心 ‎4.(广东高考)垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=1相切于第一象限的直线方程是(  )‎ A.x+y-=0 B.x+y+1=0‎ C.x+y-1=0 D.x+y+=0‎ ‎5.已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为(  )‎ A.10 B.20 C.30 D.40 二、填空题 ‎6.已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点,且圆C与直线x+y+3=0相切,则圆C的方程为__________.‎ ‎7.已知圆C过点(1,0),且圆心在x轴的正半轴上,直线l:y=x-1被该圆所截得的弦长为2,则圆C的标准方程为________.‎ ‎8.经过点P(2,-3)作圆(x+1)2+y2=25的弦AB,使点P为弦AB的中点,则弦AB所在直线方程为________.‎ 三、解答题 ‎9.自点P(-6,7)发出的光线l射到x轴上点A处,被x轴反射,其反射光线所在直线与圆x2+y2-8x-6y+21=0相切于点Q.求光线l所在直线的方程.‎ ‎10.已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=4和直线l:kx-y-4k+3=0.‎ ‎(1)求证:不论k取何值,直线和圆总相交;‎ ‎(2)求k取何值时,圆被直线截得的弦最短,并求最短弦的长.‎ 答案 3‎ ‎1.解析:选B 由于直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交,则<1,即a2+b2>1,从而可知点P(a,b)在圆x2+y2=1的外部.‎ ‎2.解析:选D 圆心C(a,0)到直线x-y=2的距离d=,由题意得d2+()2=22,解得d=.‎ 所以=,解得a=0或a=4.‎ ‎3.解析:选C 易知直线过定点(0,1),且点(0,1)在圆内,但是直线不过圆心(0,0).‎ ‎4.解析:选A 因为所求直线l(设斜率为k)垂直于直线y=x+1,所以k·1=-1,所以k=-1,设直线l的方程为y=-x+b(b>0),即x+y-b=0,所以圆心到直线的距离为=1,所以b=.‎ ‎5.解析:选B 圆心坐标是(3,4),半径是5,圆心到点(3,5)的距离为1,根据题意,最短弦BD和最长弦(即圆的直径)AC垂直,故最短弦的长为2=4,所以四边形ABCD的面积为×|AC|×|BD|=×10×4=20.‎ ‎6.解析:由题意得圆心为C(-1,0).由点到直线的距离公式得圆心C到直线x+y+3=0的距离d==,即圆半径r=.∴圆的方程为(x+1)2+y2=2.‎ 答案:(x+1)2+y2=2‎ ‎7.解析:圆心到直线x-y-1=0的距离为d=.‎ 因为圆截直线所得的弦长为2,所以2+2=(a-1)2,即(a-1)2=4,所以a=3或a=-1(舍去).‎ 所以圆心为(3,0),半径r2=(a-1)2=4,‎ 故圆的标准方程为(x-3)2+y2=4.‎ 答案:(x-3)2+y2=4‎ ‎8.解析:设圆心为C(-1,0),由题意知:AB⊥CP,‎ 而kCP==-1,从而kAB=1,‎ ‎∴弦AB所在的直线方程为y+3=x-2,即x-y-5=0.‎ 答案:x-y-5=0‎ ‎9. ‎ 3‎ 解:如图,作圆x2+y2-8x-6y+21=0关于x轴的对称圆x2+y2-8x+6y+21=0,‎ 由几何光学原理知,‎ 直线l与圆x2+y2-8x+6y+21=0相切,‎ 又∵l的斜率必存在,故可设直线l:y-7=k(x+6),即kx-y+6k+7=0.‎ 由d===2,得k=-或k=-,‎ 故光线l所在直线的方程为3x+4y-10=0或4x+3y+3=0.‎ ‎10.解:由题可知圆心为C(3,4),半径为r=2.‎ ‎(1)证明:直线方程可化为k(x-4)+(3-y)=0,‎ ‎∴直线过定点P(4,3).∵(4-3)2+(3-4)2<4.‎ ‎∴点P在圆C内部.‎ ‎∴直线kx-y-4k+3=0与圆C总相交.‎ ‎(2)∵直线经过定点P(4,3),∴当PC与直线垂直时,圆被直线截得的弦最短.‎ 设直线与圆的交点为A,B,则由勾股定理得(|AB|)2=r2-|CP|2=4-2=2.∴AB=2.‎ ‎∵PC与直线kx-y-4k+3=0垂直,直线PC的斜率为kPC==-1,∴直线kx-y-4k+3=0的斜率为k=1.‎ ‎∴当k=1时,圆被直线截得的弦最短,最短弦长为2.‎ 3‎

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