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第二十七章检测卷
时间：120分钟 满分：120分
题号
一
二
三
四
五
六
总分
得分
一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项)
1．下列线段中，能成比例的是( )
A．3cm、6cm、8cm、9cm B．3cm、5cm、6cm、9cm
C．3cm、6cm、7cm、9cm D．3cm、6cm、9cm、18cm
2．如图，∠ADE＝∠ACB，且＝，DE＝10，则BC等于( )
A．12 B．15 C．18 D．20
第2题图 第3题图 第4题图
3．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A(4，4)，B(6，2)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C和D的坐标分别为( )
A．(2，2)，(3，2) B．(2，4)，(3，1)
C．(2，2)，(3，1) D．(3，1)，(2，2)
4．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的中点，如果△ADE的周长是6，则△ABC的周长是( )
A．6 B．12 C．18 D．24
5．“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为( )
A．1.25尺 B．57.5尺 C．6.25尺 D．56.5尺
第5题图 第6题图 第7题图
6．如图，在等边△ABC中，D为AC边上的一点，连接BD，M为BD上一点，且∠AMD＝60°，延长AM交BC于E.当M为BD中点时，的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
7．如图，在△ABC中，D是AB边上的一点，连接CD，请添加一个适当的条件______________，使△ABC∽△ACD(只填一个即可)．
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8． 如图，在△ABC中，E，F分别是边AB，AC上的点，且满足＝＝，则△AEF与△ABC的面积比是________．
第8题图 第9题图
9．如图，数学活动小组为了测量学校旗杆AB的高度，使用长为2m的竹竿CD作为测量工具．移动竹竿，使竹竿顶端的影子与旗杆顶端的影子在地面O处重合，测得OD＝4m，BD＝14m，则旗杆AB的高为________m.
10．如图，△ABC在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△ABC放大到原来的2倍得到△A′B′C′，那么落在第四象限的点A′的坐标是________．
第10题图 第11题图 第12题图
11．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在BA的延长线上取一点E，连接OE交AD于点F.若CD＝5，BC＝8，AE＝2，则AF＝________．
12．如图，平面直角坐标系中，已知点A(4，0)和点B(0，3)，点C是AB的中点，点P在折线AOB上，直线CP截△AOB，所得的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是________________________．
三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)
13．如图，直线AD∥BE∥CF，＝，DE＝6，求EF的长．
14．如图，在四边形ABCD中，∠ADB＝∠ACB，延长AD，BC相交于点E.求证：AC·DE＝BD·CE.
15．杨洋同学沿一段笔直的人行道行走，在由A步行到达B
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处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语．其具体信息汇集如下，如图，AB∥OH∥CD，BO∶OD＝4∶5. AC，BD相交于O，OD⊥CD，垂足为D.已知AB＝20米．请根据上述信息求标语CD的长度．
16．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC(顶点是网格线的交点)．
(1)将△ABC向上平移3个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
(2)请画一个格点△A2B2C2，使△A2B2C2∽△ABC，且相似比不为1.
17．如图，在△ADC中，点B是边DC上的一点，∠DAB＝∠C，＝.若△ADC的面积为18cm2，求△ABC的面积．
四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)
18．正方形A1A2B1C1，A2A3B2C2，A3A4B3C3，…，AnAn＋1BnCn
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按如图所示的位置依次摆放，已知点C1，C2，C3，…，Cn在直线y＝x上，点A1的坐标为(1，0)．
(1)写出正方形A1A2B1C1，A2A3B2C2，A3A4B3C3，…，AnAn＋1BnCn的位似中心坐标；
(2)求正方形A4A5B4C4四个顶点的坐标．
19．如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q.
(1)求证：△BPE∽△CEQ；
(2)当BP＝2，CQ＝9时，求BC的长．
20．一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子来测量一路灯CD的高度，如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立身高AM与其影子长AE正好相等，接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB＝1.25m.已知李明直立时的身高为1.75m，求路灯CD的高．
五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)
21．如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于点O，过点A作AG⊥BD分别交BD、BC于点G、E.
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(1)求证：BE2＝EG·EA；
(2)连接CG，若BE＝CE，求证：∠ECG＝∠EAC.
22．如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为(2，3)，双曲线y＝(x>0)的图象与BC，AB分别交于点D，E，连接DE，若E是AB的中点．
(1)求点D的坐标；
(2)点F是OC边上一点，若△FBC和△DEB相似，求点F的坐标．
六、(本大题共12分)
23．如图①所示，在△ABC中，点O是AC上一点，过点O的直线与AB，BC的延长线分别相交于点M，N.
【问题引入】
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(1)若点O是AC的中点，＝，求的值；
温馨提示：过点A作MN的平行线交BN的延长线于点G.
【探索研究】
(2)若点O是AC上任意一点(不与A，C重合)，求证：··＝1；
【拓展应用】
(3)如图②所示，点P是△ABC内任意一点，射线AP，BP，CP分别交BC，AC，AB于点D，E，F.若＝，＝，求的值．
参考答案与解析
1．D 2.B 3.C 4.B 5.B
6． B 解析：如图，作DK∥BC，交AE于K.∵△ABC是等边三角形，∴AB＝CB＝AC，∠ABC＝∠C＝60°.∵∠AMD＝60°＝∠ABM＋∠BAM，∠ABM＋∠CBD＝60°，∴∠BAE＝∠CBD.∴△ABE≌△BCD，∴BE＝CD，CE＝AD.∵M为BD的中点，∴BM＝DM.又∵∠
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DMK＝∠BME，∠KDM＝∠EBM，∴△MBE≌△MDK，∴BE＝DK＝CD.设BE＝CD＝DK＝a，AD＝EC＝b.∵DK∥EC，∴＝，∴＝，∴a2＋ab－b2＝0，∴＋－1＝0，∴＝或(舍去)，∴＝＝.故选B.
7．∠B＝∠ACD或∠ADC＝∠ACB或AC2＝AD·AB
8．1∶9 9.9 10.(2，－4)
11. 解析：如图，过O点作OM∥AD.∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，∴OM是△ABD的中位线，∴AM＝BM＝AB＝，OM＝BC＝4.∵AF∥OM，∴△AEF∽△MEO，∴＝，∴＝，∴AF＝，故答案为.
12. 或(2，0)或 解析：∵点A的坐标为(4，0)，点B的坐为(0，3)，∴OA＝4，OB＝3，∴AB＝＝5.当PC∥OA时，△BPC∽△BOA.∵点C是AB的中点，∴P为OB的中点，此时点P的坐标为；当PC∥OB时，△ACP∽△ABO.∵点C是AB的中点，∴P为OA的中点，此时点P的坐标为(2，0)；当PC⊥AB时，如图所示．∵∠CAP＝∠OAB，∠ACP＝∠AOB＝90°，∴△APC∽△ABO，∴＝.∵点C是AB的中点，∴AC＝，∴＝，∴AP＝，∴OP＝OA－AP＝4－＝，此时点P的坐标为.综上所述，满足条件的点P的坐标为或(2，0)或.
13．解：∵AD∥BE∥CF，＝，∴＝＝，即＝，(3分)∴DF＝9，∴EF＝DF－DE＝9－6＝3.(6分)
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14．证明：∵∠ADB＝∠ACB，∴∠EDB＝∠ECA.(2分)又∵∠E＝∠E，∴△ECA∽△EDB，(4分)∴＝，即AC·DE＝BD·CE.(6分)
15．解：∵AB∥OH∥CD，∴△ABO∽△CDO，∴＝＝.(4分)∵AB＝20米，∴CD＝25米．即标语CD的长度为25米．(6分)
16．解：(1)作出△A1B1C1，如图所示．(3分)
(2)作出△A2B2C2，如图所示(本题是开放题，答案不唯一，只要作出的△A2B2C2满足条件即可)．(6分)
17．解：∵∠DAB＝∠C，∠D＝∠D，∴△BDA∽△ADC，∴＝＝＝.(3分)∵S△ADC＝18cm2，∴S△BDA＝8cm2，∴S△ABC＝S△ADC－S△BDA＝10cm2.(6分)
18．解：(1)如图所示，正方形A1A2B1C1，A2A3B2C2，A3A4B3C3，…，AnAn＋1BnCn的位似中心坐标为(0，0)．(3分)
(2)∵点C1，C2，C3，…，Cn在直线y＝x上，点A1的坐标为(1，0)，∴OA1＝A1C1＝1，OA2＝A2C2＝2，OA3＝A3C3＝4，∴可得OA4＝A4C4＝8，OA5＝16，(7分)故正方形A4A5B4C4四个顶点的坐标分别为A4(8，0)，A5(16，0)，B4(16，8)，C4(8，8)．(8分)
19．(1)证明：∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∴∠B＝∠C＝∠DEF＝45°.(1分)∵∠BEQ＝∠EQC＋∠C＝∠BEP＋∠DEF，∴∠BEP＝∠EQC，∴△BPE∽△CEQ.(4分)
(2)解：由(1)得△BPE∽△CEQ，∴＝.(5分)∵BP＝2，CQ＝9，BE＝CE，∴BE2＝18，∴BE＝CE＝3，∴BC＝6.(8分)
20．解：设CD＝xm.由题意知AM⊥BE，AE＝AM＝1.75m，∴∠E＝45°，∴EC＝CD＝xm，AC＝EC－AE＝(x－1.75)m.(2分)∵CD⊥EC，BN⊥EC，∴BN∥CD，∴△ABN∽△ACD，(5分)∴＝，即＝，解得x＝6.125.(7分)
答：路灯CD的高为6.125m.(8分)
21．证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°.∵AE⊥BD，∴∠BGE＝∠ABC＝90°.(1分)∵∠BEG＝∠AEB，∴△ABE∽△BGE，∴＝，∴BE2＝EG·EA.(4分)
(2)由(1)得BE2＝EG·EA.∵BE＝CE，∴CE2＝EG·EA，∴＝.(6分)又∵∠CEG＝∠AEC，∴△CEG∽△AEC，∴∠ECG＝∠EAC.(9分)
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22．解：(1)∵四边形OABC为矩形，∴AB⊥x轴．∵E为AB的中点，点B的坐标为(2，3)，∴点E的坐标为.∵点E在反比例函数y＝的图象上，∴k＝3，∴反比例函数的解析式为y＝.(2分)∵四边形OABC为矩形，∴点D与点B的纵坐标相同．将y＝3代入y＝可得x＝1，∴点D的坐标为(1，3)．(4分)
(2)由(1)可得BC＝2，CD＝1，∴BD＝BC－CD＝1.∵E为AB的中点，∴BE＝.(5分)若△FBC∽△DEB，则＝，即＝，∴CF＝，∴OF＝CO－CF＝3－＝，∴点F的坐标为.(7分)若△FBC∽△EDB，则＝，即＝，∴CF＝3，此时点F和点O重合．综上所述，点F的坐标为或(0，0)．(9分)
23．(1)解：过点A作MN的平行线交BN的延长线于点G.∵MN∥AG，∴△ABG∽△MBN.∴＝，∴－1＝－1，∴＝，即＝.(2分)同理，在△ACG和△OCN中，＝，∴＝.∵O为AC的中点，∴AO＝CO，∴NG＝CN.∴＝＝＝.(4分)
(2)证明：由(1)可知＝，＝，∴··＝··＝1.(7分)
(3)解：在△ABD中，点P是AD上一点，过点P的直线与AB，BD的延长线分别相交于点F，C.由(2)可得··＝1.(8分)在△ACD中，点P是AD上一点，过点P的直线与AC，CD的延长线分别相交于点E，B.由(2)可得··＝1.(9分)∴··＝··，∴＝··＝·＝×＝.(12分)
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