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九年级数学学业水平测试2017.12
(总分150分，测试时间为120分钟)
(答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效)
一、 选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上．
1．一元二次方程 x²+x-3=0 的根的情况是（ ▲ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根
2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ▲ ）
A．矩形 B．等腰梯形 C．等腰三角形 D．平行四边形
3．某商品经过连续两次降价，销售单价由原来 100 元降到 81 元。设平均每次降价的百分率为 x，根据题意可列方程为（ ▲ ）
A. 81(1-x)²=100 B. 100(1+x)²=81
C. 81(1+x)²=100 D. 100(1-x)²=81
4．二次函数 y=ax²+bx+2（a≠0）的图像经过点（-1,1）则代数 1-a+b 的值为（ ▲ ）
A. -3 B. -1 C. 2 D. 5
5．如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD=70°，AO∥DC，则∠B的度数为（ ▲ ）
A. 40° B. 45° C. 50° D. 55°
6．如图，圆锥模具的母线长为10cm，底面半径为5cm，则这个圆锥模具的侧面积是（ ▲ ）
A．
10πcm2
B．
50πcm2
C．
100πcm2
D．
150πcm2
第7题
第6题
第5题
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7．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB=30°，CD=2，则阴影部分面积=（ ▲ ）
A．π B． 2π C． D．π
8.如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，EF∥AB．若AD=2BD，则的值为（ ▲ ）
A. B. C. D.
9.如图，抛物线y = x2 + 1与双曲线y = 的交点A的横坐标是1，则关于x的不等式 + x2 + 1 < 0的解集是 (▲ )
A．x > 1 B．x < −1 C．0 < x < 1 D．−1 < x < 0
10．二次函数＝（≠0）图象如图所示，下列结论：①＞0；②＝0；③当≠1时，＞；④＞0；⑤若＝，且≠，则＝2．其中正确的有（ ▲ ）
A．①②③ B．②④ C．②⑤ D．②③⑤
二、 填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
11．一个不透明的口袋中有5个完全相同的小球，分别标号为1、2、3、4、5，从中随机摸出一个小球，其标号为偶数的概率是 ▲ ．
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第15题
12．已知点A（﹣2，4）在反比例函数y= （k≠0）的图象上，则k的值为 ▲ ．
13如图，如果从半径为3cm的圆形纸片上剪去 圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的底面半径是 ▲ cm．
14．两个相似三角形的最短边分别是5cm和3cm，它们的周长之差为12cm，那么小三角形的周长为 ▲ cm．
15．如图，AB、AC是⊙O的两条弦，∠A=30°，过点C的切线与OB的延长线交于点D，
则∠D=___▲___°．
16、如图，点A在双曲线y=上，点B在双曲线y=上，且AB∥x轴，则△OAB的面积等
于___▲___．
.17．如图，点B、C都在x轴上，AB⊥BC，垂足为B，M是AC的中点．若点A的坐标为（3，4），点M的坐标为（1，2），则点C的坐标为 ▲ ．
第16题
第17题
第18题
18．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=x2﹣2x+3上运动，过点A作AB⊥x轴于点B，以AB为斜边作Rt△ABC，则AB边上的中线CD的最小值为 ▲ ．
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三、解答题：本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19.（本题满分10分）解下列方程
（1）； （2）.
20.（本题满分8分）已知：如图，在中，是上
一点，， 的周长是cm.
（1）求的周长；
第20题
（2）求与的面积比.
21． （本小题满分8分）
已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过A（﹣2，﹣1），B（0，7）两点．
（1）求该抛物线的解析式及对称轴；
（2）当x为何值时，y＞0？
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22． （本小题满分8分）
已知关于x的方程(a－1)x2＋2x＋a－1＝0．
（1）若该方程有一根为2，求a的值及方程的另一根；
（2）当a为何值时，方程仅有一个根？求出此时a的值及方程的根．
23． （本题满分8分）某种电子产品共件，其中有正品和次品．已知从中任意取出一件，取得的产品为次品的概率为．
（1）该批产品有正品 ▲ 件；
（2）如果从中任意取出件，利用列表或树状图求取出件都是正品的概率．
24. （本题满分9分）如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，得到△ADE.连接BD，CE交于点F.
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）求∠ACE的度数；
（3）求证：四边形ABFE是菱形.
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第24题
25．（本题满分8分）如图，在△ABC中，AC=BC，AB⊥x轴，垂足为A．反比例函数y=
（x＞0）的图象经过点C，交AB于点D．已知AB=4，BC=．
（1）若OA=4，求k的值；
（2）连接OC，若BD=BC，求OC的长．
26．（本小题满分10分）．
如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H．点G在⊙O上，过点G作直线EF，
交CD延长线于点E，交AB的延长线于点F．连接AG交CD于K，且KE＝GE．
（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；
A
D
C
B
G
E
H
F
第26题
O
K
（2）若AC∥EF，＝，FB＝1，求⊙O的半径．
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27．（本小题满分13分）
如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC上的一个动点，连接DE， 交 AC于点F.
(1)如图①，当时，求的值；
(2)如图②当DE平分∠CDB时，求证：AF=OA；
(3)如图③，当点E是BC的中点时，过点F作FG⊥BC于点G，求证：CG=BG.
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28．（本小题满分14分）
如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点为C（1，4），交x轴于A、B两点，交y轴于点 D，其中点B的坐标为（3，0）.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中点E的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线PQ上的一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、H、F四点所围成的四边形周长最小；若存在，求出这个最小值及点G、H的坐标；若不存在，请说明理由.
（3）如图3，在抛物线上是否存在一点T，过点T作x轴的垂线，垂足为点M，过点M作MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD。若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由.
图1
A
B
x
D
图2
A
B
D
C
P
Q
E
F
图3
A
B
x
y
O
D
C
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九年级数学学业水平测试参考答案2017-12
一、选择题（本大题共10题，每小题3分，共计30分．）
1．A 2．A 3．D 4．C 5． D 6．B 7．D 8．B 9．B 10．D
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共计24分．）
11． 12． -8 13．2 14．18cm 15． 30 16． 17．(-1,0) 18．1
三、解答题（本大题共10小题，共计84分．）
19．（本题有2小题，每小题5分，共10分．）
（1）原方程即 …………………………………………2分
或 …………………………………………4分
， ……5分
原方程即
……………………………………2分
， …………………5分
20．（本题有2小题，每小题4分，共8分．）
解：（1） ∵， ∴∽
∴
∵的周长是cm
∴的周长是 ………………4分
（2） ∵∽
∴
∴ ………………8分
21． （1）∵二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过A（﹣2，﹣1），B（0，7）两点．
∴，
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解得：，
∴y=﹣x2+2x+7， ……3分
=﹣（x2﹣2x）+7，
=﹣[（x2﹣2x+1）﹣1]+7，
=﹣（x﹣1）2+8，
∴对称轴为：直线x=1． ……4分
（2）当y=0，
0=﹣（x﹣1）2+8，
∴x﹣1=±2，
x1=1+2，x2=1﹣2， ……6分
∴抛物线与x轴交点坐标为：（1﹣2，0），（1+2，0），
∴当1﹣2＜x＜1+2时，y＞0 ……8分
22．（本题满分8分）
解：（1）将x＝2代入方程(a－1)x2＋2x＋a－1＝0，解得：a＝．…………………1分
将a＝代入原方程得－x2＋2x－＝0，解得：x1＝，x2＝2．……………3分
∴a＝，方程的另一根为
（2）①当a＝1时，方程为2x＝0，解得：x＝0 ………………4分
②当a≠1时，由b2－4ac＝0得4－4(a－1)2＝0
解得：a＝2或0． …………………………5分
当a＝2时， 原方程为：x2＋2x＋1＝0，解得：x1＝x2＝－1； ………7分
当a＝0时， 原方程为：－x2＋2x－1＝0，解得： ＝＝1．……8分
23．（本题满分8分）
A
B
C
D
E
F
G
O
A
B
C
D
E
F
G
O
解：（1）； ……3分
（2）将4件电子产品记为正品1、正品2、正品3、次品，列表分析如下：
正品1
正品2
正品3
次品
正品1
（正1，正2）
（正1，正3）
（正1，次品）
正品2
（正2，正1）
（正2，正3）
（正2，次品）
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正品3
（正3，正1）
（正3，正2）
（正3，次品）
次品
（次品，正1）
（次品，正2）
（次品，正3）
结果共有12种情况，且各种情况都是等可能的，其中两次取出的都是正品共6种 ……8分
24．（本题满分9分）
解：（1）证明：∵ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，∴∠BAC=∠DAE=40°，
∴∠BAD=∠CAE=100°，又∵AB=AC，∴AB=AC=AD=AE，
在△ABD与△ACE中∴△ABD≌△ACE（SAS）. ………3分
（2）解：∵∠CAE=100°，AC=AE， ∴∠ACE=（180°﹣∠CAE）=（180°﹣100°）=40°；……………5分
（3）证明：∵∠BAD=∠CAE=100°，AB=AC=AD=AE，
∴∠ABD=∠ADB=∠ACE=∠AEC=40°.∵∠BAE=∠BAD+∠DAE=140°，
∴∠BFE=360°﹣∠DAE﹣∠ABD﹣∠AEC=140°，∵∠BAE=∠BFE，
∴四边形ABFE是平行四边形，∵AB=AE，∴平行四边形ABFE是菱形.
………………9分
25．（本题满分8分）
解：（1）作CE⊥AB，垂足为E， ∵AC=BC，AB=4，
∴AE=BE=2． 在Rt△BCE中，BC=，BE=2，
∴CE=， ∵OA=4， ∴C点的坐标为：（，2）， ∵点C在的图象上， ∴k=5， 4分
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（2）设A点的坐标为（m，0）， ∵BD=BC=，
∴AD=， ∴D，C两点的坐标分别为：（m，），（m﹣，2）．
∵点C，D都在 的图象上， ∴m=2（m﹣）， ∴m=6，
∴C点的坐标为：（，2）， 作CF⊥x轴，垂足为F， ∴OF=，CF=2，
在Rt△OFC中， OC2=OF2+CF2， ∴OC= ．8分
26．（本题满分10分） 解：（1）如图，连接OG．
∵OA＝OG，∴∠OGA＝∠OAG，……1分
∵CD⊥AB，∴∠AKH＋∠OAG＝90°．
∵KE＝GE，
∴∠KGE＝∠GKE＝∠AKH，……2分
∴∠KGE＋∠OGA＝∠AKH＋∠OAG＝90°，
∴∠OGE＝90°
即OG⊥EF，又∵G在圆O上
∴EF与圆O相切． ………………………………………5分
（2）∵AC∥EF， ∴∠F＝∠CAH，
∴Rt△AHC∽ Rt△FGO． ∴＝．…………………7分
∵在Rt△OAH中， ＝，设AH＝3t，则AC＝5t，CH＝4t．
∴＝， ∴＝………………………………………8分
∵FB＝1 ∴＝，解得：OG＝4．
即圆O的半径为4 ………………………………10分
27．（本小题满分13分）
(1)解：∵=，∴=.∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，AD=BC，
∴△CEF∽△ADF，∴=，∴==，∴==；……3分
(2)证明：∵DE平分∠CDB，∴∠ODF=∠CDF，又∵AC、BD是正方形ABCD的对角线.
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∴∠ADO=∠FCD=45°，∠AOD=90°，OA=OD，而∠ADF=∠ADO+∠ODF，∠AFD= ∠FCD+∠CDF，
∴∠ADF=∠AFD，∴AD=AF，
在直角△AOD中，根据勾股定理得：AD==OA，∴AF=OA. ……7分
(3)证明：连接OE.∵点O是正方形ABCD的对角线AC、BD的交点.∴点O是BD的中点.
又∵点E是BC的中点，∴OE是△BCD的中位线，∴OE∥CD，OE=CD，∴△OFE∽△CFD. ………………………………9分
∴==，∴=.又∵FG⊥BC，CD⊥BC，∴FG∥CD，∴△EGF∽△ECD，
∴==.在直角△FGC中，∵∠GCF=45°.∴CG=GF，
又∵CD=BC，∴==，∴=.∴CG=BG. ……13分
28．（本小题满分14分）
解：（1）设所求抛物线的解析式为：y＝a(x－1)2＋4，依题意，将点B（3，0）代入，得： a(3－1)2＋4＝0 解得：a＝－1
∴所求抛物线的解析式为：y＝－(x－1)2＋4 …………………4分
（2）如图6，在y轴的负半轴上取一点I，使得点F与点I关于x轴对称，
在x轴上取一点H，连接HF、HI、HG、GD、GE，则HF＝HI……………①
设过A、E两点的一次函数解析式为：y＝kx＋b（k≠0），
∵点E在抛物线上且点E的横坐标为2，将x＝2代入抛物线y＝－(x－1)2＋4，
得y＝－(2－1)2＋4＝3 ∴点E坐标为（2，3）…………………4分
又∵抛物线y＝－(x－1)2＋4图像分别与x轴、y轴交于点A、B、D
∴当y＝0时，－(x－1)2＋4＝0，∴ x＝－1或x＝3 当x＝0时，y＝－1＋4＝3,
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∴点A（－1，0），点B（3，0），点D（0，3）
E
F
图6
A
B
x
y
O
D
C
Q
I
G
H
P
又∵抛物线的对称轴为：直线x＝1，∴点D与点E关于PQ对称，GD＝GE
分别将点A（－1，0）、点E（2，3）代入y＝kx＋b，得：
解得：
过A、E两点的一次函数解析式为：y＝x＋1 ……5分
∴当x＝0时，y＝1 ∴点F坐标为（0，1）∴……③
又∵点F与点I关于x轴对称， ∴点I坐标为（0，－1）
∴………④
又∵要使四边形DFHG的周长最小，由于DF是一个定值，
∴只要使DG＋GH＋HI最小即可 ……7分
由图形的对称性和①、②、③，可知，DG＋GH＋HF＝EG＋GH＋HI
只有当EI为一条直线时，EG＋GH＋HI最小
设过E（2，3）、I（0，－1）两点的函数解析式为：y＝k1x＋b1（k1≠0），
分别将点E（2，3）、点I（0，－1）代入y＝k1x＋b1，得：
解得：
过I、E两点的一次函数解析式为：y＝2x－1
∴当x＝1时，y＝1；当y＝0时，x＝；∴点G坐标为（1，1），点H坐标为（，0）
∴四边形DFHG的周长最小为：DF＋DG＋GH＋HF＝DF＋EI
由③和④，可知： DF＋EI＝
∴四边形DFHG的周长最小为。 …………………9分
（3）如图7，由题意可知，∠NMD＝∠MDB，
要使，△DNM∽△BMD，只要使即可，即：MD2＝NM×BD⑤
设点M的坐标为（a，0），由MN∥BD，可得 △AMN∽△ABD，
∴ …………………10分
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再由（1）、（2）可知，AM＝1＋a，BD＝，AB＝4
∴
∵MD2＝OD2＋OM2＝a2＋9，∴⑤式可写成： a2＋9＝×
解得： a＝或a＝3（不合题意，舍去）
∴点M的坐标为（，0）
又∵点T在抛物线y＝－(x－1)2＋4图像上，
∴当x＝时，y＝
∴点T的坐标为（，） …………………14分
图7
A
B
x
y
O
D
C
M
T
N
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