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2017-2018学年第一学期第二次月考
高三数学试题（文科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.考生作答时，将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效.
3.选择题答案使用铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.
4.保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.集合，则等于（ ）
A. B. C. D.
2.设复数满足，为虚数单位，则（ ）
A. B. C. D.
3.设，则在下列区间中，使有零点的区间是（ ）
A. B. C. D.
4.下列函数中，在区间上为增函数且以为周期的函数是（ ）
A. B. C. D.
5.已知等差数列满足，，其前项和，则（ ）
A.8 B.9 C.10 D.11
6.已知是的内角，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.某同学设计右面的程序框图用以计算和式的值，则在判断框中应填写（ ）
A. B. C. D.
8.设的内角的对边分别为，若，则的形状为（ ）
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不确定
9.一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是（ ）
A.4 B. C.2 D.
10.定义在上的函数满足，则（ ）
A.-1 B.0 C.1 D.2
11.设，在约束条件下，目标函数的最大值小于2，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
12.对二次函数（为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个是错误的，则错误的结论是（ ）
A.1是的极值点
B.-1是的零点
C.3是的极值
D.点在曲线上
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.函数在点处的切线方程是________.
14.若向量，则________.
15.设动点满足，则的最小值为________.
16.已知数列的通项公式为，若为递增数列，则实数的取值范围是________.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17．（12分）
已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的单调递增区间，并写出函数的图象的对称轴方程．
18．（12分）
已知抛物线过点.
（1）求抛物线的方程及焦点坐标；
（2）是否存在平行于（为坐标原点）的直线，使得直线与抛物线有公共点，且直线与直线的距离等于？若存在，求直线的方程；若不存在，说明理由.
19．（12分）
在正项等比数列中，公比，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，当取最大值时，求的值.
20.(12分）
如图，四棱锥中，底面，，
，为线段上一点，，为的中点．
（1）证明平面；
（2）求四面体的体积．
21．（12分）
已知函数.
（1）求函数的极值；
（2）设函数，其中，求函数在上的最小值.（其中为自然对数的底数）
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的的第一题计分.
22.[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与轴的正半轴重合，直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为：.
（1）写出的直角坐标方程，并指出是什么曲线；
（2）设直线与交于两点，求值．
23.[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数.
（1）若不等式的解集为，求实数的值；
（2）在（1）的条件下，若存在实数使成立，求实数的取值范围.
高三上学期第二次月考数学（文科）参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
B
D
D
C
A
C
A
B
C
A
B
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
题号
13
14
15
16
答案
8
三、解答题（本大题共6小题，共70分 ）
（一）必考题.
17.解：（1）=，………………2分
则，……………4分
所以，函数的最小正周期为．………………6分
（2）由，得 ………………8分
所以，函数的单调递增区间为：………………9分
由，得，……………11分
故对称轴方程为：.………………12分
18.解：（1）把点代入，得，即，
所以抛物线的方程为.焦点坐标为. ……………4分
（2）假设存在直线满足题设条件，依题意，直线的方程为，设直线的方程为.
联立，消去，整理得.
由，解得.① ……………8分
又因为直线与直线的距离等于，所以，所以.②
由①②得，即所求直线的方程为. ……………12分
19.解：（1）因为，
所以，
因为是正项等比数列，所以，又因为，所以.
由于，所以.………………4分
所以.………………6分
（2）因为，………………8分
所以，………………9分
当时，，所以或者.………………11分
即当取最大值时，.………………12分
20.解:（1）由已知得.取的中点，连接，由为的中点
知，，又，故，四边形为平行四边形，于是.
因为平面，平面．
所以平面. ………6分
（2）因为平面，为的中点，所以到平面的距离为.取的中点，连接，由得，.
由得到的距离为，故，
所以四面体的体积.………………12分
21.解：（1）因为，且，
而＞0lnx+1＞0＞＜0＜00＜＜
所以在上单调递减，在上单调递增.
所以是函数的极小值点，极大值点不存在. ………………4分
所以当时，取极小值为.无极大值.………………5分
（2），则
＜0＜00＜＜＞0＞
所以在上单调递减，在上单调递增. ………………7分
①当即时，在上单调递增，
所以在上的最小值为
②当1＜＜e，即1＜a＜2时，在上单调递减，在上单调递增.
在上的最小值为
③当即时，在上单调递减，
所以在上的最小值为
综上所述，
当时，的最小值为0；
当1＜a＜2时，的最小值为；
当时，的最小值为……………………………12分
（二）选考题
22.解：（1）因为，所以，由得.所以曲线的直角坐标方程为，
它是以为圆心，半径为2的圆. ……5分
（2）把代入方程，整理得，
设其两根分别为，则，
所以. ……10分
23.解：（1）由，得，即，
解得.所以，即. ……5分
（2）由（1）得，令，则
.
所以的最小值等于4，故实数的取值范围是. ……10分
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