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湖北黄冈市2018届高三数学上学期期末调研试卷(文科附答案)

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湖北黄冈市2018届高三数学上学期期末调研试卷(文科附答案)

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黄冈市2017年秋季高三年级期末考试
数 学 试 题(文科)
试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分,考试时间120分钟.
第I卷(选择题 共60分)
一、选择题(本题包括12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合M={-4,-2,0,2,4,6},N={x|x2-x-12≤0},则M∩N=  (  )
  A.[-3,4]         B.{-2,0,2,4}           C.{0,1,2}             D.{1,2,3}
2.设z= i+1i-1 ,则z2+z+1=                                (  )
  A.-i            B.i           C.-1-i              D.-1+i
3.如图所示,在边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域,在正方形中随机扔一粒豆子,它落在阴影区域内的概率是13,则阴影部分的面积是(  )
A.23   B.2   C. 43   D.3
4.锐角△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且b>a,已知a=4,c=5,sinA= 7 4 , 则b= (  )
   A.9          B.8          C.7               D.6
5.若实数数列:-1,a,b,m,7成等差数列,则圆锥曲线x2a2 - y2b2 = 1 的离心率为(  )
   A.2         B.3        C.10              D.5
6.将函数y=2sin(2x–π6)的图像向右平移13个最小正周期后,所得图像对应的函数为(  )                                                   
A.y=2sin(2x- π6)    B.y=2sin(2x–5π6)    C.y=2sin(2x+ π3)    D. y=2sin(2x- π12)
7.一个几何体的三视图及尺寸如图所示,则该几何体的体积为(  )
   A.16-π3              B.10-π3
C.8-π3               D.12-π3

 

8.执行右面的程序框图,如果输入的x∈[-1,4],则输出的y属于 (  )
A.[-3,4]                             
B.[-3,6]
C.[-4,5]
D.[-3,5]

 


9.若a>b>1,-1<c<0,  则(  )
  A.abc<bac         B.ac>bc       C.loga|c| <logb|c|       D.bloga|c| >alogb|c|
10.函数y=-2x2+2|x|在[–2,2]的图像大致为                      (  )
  
11.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线y23 -x2=1相交于M,N两点,若△MNF为直角三角形,其中F为直角顶点,则p=                                      (  )
   A.23          B.3            C.33              D.6
12.若函数f(x)= - 56 x- 112 cos2x+m(sinx-cosx)在(-∞,+∞)上单调递减,则m的取值范围是(  )
A.[-12 ,12 ]      B.[- 2 3 ,2 3 ]      C.[-3 3 , 3 3 ]   D.[-2 2 ,2 2 ]

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
(本卷包括必考题和选考题两部分。第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22,23 题为选考题,考生根据要求作答)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分。将答案填在题中的横线上)
13.设a→=(2m+1,m),b→=(1,m),且a→⊥b→,则m=_______.
14.已知α是第三象限角,且tan(α+ π4 )= -2,则sin(α–π4 )=       .
15.已知圆C1:x2+y2-2ax+a2-9=0 和圆C2:x2+y2+2by-4+b2=0恰有三条公切线,若a∈R,b∈R,令t=a+b,则t的取值范围是_________.
16.设x,y满足2x-y+1≥0x+2y-2≥03x+y-6≤0 ,且m= x+2y+3x+1 ,则实数m的取值范围是___________.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本题满分10分) 已知集合A={ x |(13 )x2-x-6≤1},B={x|log3(x+a)≥1},若B ≠ A,求实数a的取值范围.

 

 

 


18.(本题满分12分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为3154 ,b –a=1,cos C=-14.
(1)求c和sin A的值;
(2)求cos2A+π6的值.

 


19.(本题满分12分)已知等差数列{an}的首项a1=-2,等比数列{bn}的公比为q,且a2=b1,a3=b2+1,
   a1b2+5b2=b3.
   (1)求数列{an}和{bn}通项公式;
   (2)求数列{anbn}的前n项的和Sn.

 

 

20.(本题满分12分)2017年5月14日至15日,“一带一路”国际合作高峰论坛在中国首都北京举行,会议期间,达成了多项国际合作协议.假设甲、乙两种品牌的同类产品出口某国家的市场销售量相等,该国质量检验部门为了解他们的使用寿命,现从这两种品牌的产品中分别随机抽取300个进行测试,结果统计如下图所示,已知乙品牌产品使用寿命小于200小时的概率估计值为310 .
(1)求a的值;
(2)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率;
(3)这两种品牌产品中,某个产品已使用了200小时,试估计该产品是乙品牌的概率.
 
21.(本题满分12分)如图,椭圆C1:x2a2 + y2b2 = 1 (a>b>0)的离心率为5 3 ,抛物线C2:y=-x2+2截x轴所得的线段长等于2 b.C2与y轴的交点为M,过点P(0,1)作直线l与C2相交于点A,B,直线MA,MB分别与C1相交于D、E.
  (1)求证:MA→⊥MB→;
  (2)设△MAB,△MDE的面积分别为S1、S2,若S1=λ2S2(λ>0),求λ的取值范围.

 

 

 

 

 


22.(本题满分12分)已知函数f(x)=12 x2+(2a-2)x-4alnx.
  (1)讨论f(x)的单调性;
  (2)设a=1,若存在x1,x2∈(2,+∞),且x1≠x2,使不等式|f(x1)-f(x2)|≤k|lnx1-lnx2|成立,求实数k的取值范围.

 

 


 
黄冈市2017年秋季高三年级期末考试
数 学 试 题(文科)参考答案
一、选择题
   BACDCB  DCDAAB
4.D 【解析】本题考查余弦定理的应用.由题设sinA=7 4 ,又△ABC为锐角三角形,∴cosA= 34 .
∴由余弦定理得 42=b2+52-2×5×b×34 ,即2b2-15b+18=0,解得b=6或b=32 <4(舍),故选D
5.C 【解析】本题考查双曲线的几何性质及等差数列的通项公式.由数列:-1,a,b,m,7成等差数列得,
   7=-1+(5-1)d,∴d=2,从而,a=1,b=3,∴c2=12+32=10,∴c=10 , e=ca = 10 ,故选C
6.B 【解析】本题考查三角函数图像的平移,函数y=2sin(2x–π6)的最小正周期为π,则13个周期为π3 ,即将函数y=2sin(2x–π6)的图像向右平移π3 ,所得函数为y=2sin[(2(x-π3 )- π6)]=2sin(2x–5π6),
故选B.

7.D 【解析】本题考查三视图及简单几何体的体积计算.
  原立体图如右图所示,是一个长方体挖去半个圆锥,
因此,所求的几何体的体积为
  V=2×1×2- 12 ×13 ×π×12×2=4- π3 = 12-π3 .故选D.

9.D 【解析】本题考查指数函数和对数函数的性质.由-1<c<0得0<|c|<1,又a>b>1,
   ∴logb|c| <loga|c| <0, -logb|c| >-loga|c| >0, a>b>1>0,∴-alogb|c| >-bloga|c| ,
   即bloga|c| >alogb|c| .故选D.
10.A 【解析】本题考查函数图象及其性质.由y=-2x2+2|x|知函数为偶函数,即其图象关于y轴对称,故可排除B,D.又当x=2时,y=-2•(-2)2+22=-4.所以,C是错误的,故选择A.
11.A 【解析】本题考查抛物线的定义及抛物线的几何性质.由题设知抛物线y2=2px的准线为x=- p2 ,代入双曲线方程y23 -x2=1解得 y=±3+3p24  ,由双曲线的对称性知△MNF为等腰直角三角形,∴∠FMN=π4 ,
 ∴tan∠FMN= p 3+3p24   =1,∴p2=3+3p24 ,即p=23 ,故选A.
12.B【解析】本题考查三角函数变换及导数的应用.由f(x)= - 56 x- 112 cos2x+m(sinx-cosx)在(-∞,+∞)上单调递减知,f′(x)= - 56 + 16 sin2x+m(cosx+sinx)≤0在(-∞,+∞)上恒成立,令t=sinx+cosx,
t∈[-2 ,2 ].则sin2x=t2-1,即16 t2+mt-1≤0对t∈[-2 ,2 ]恒成立,构造函数g(t)= 16 t2+mt-1,则g(t)图象开口向上,从而函数g(x)在区间[-2 ,2 ]上的最大值只能为端点值,故只需g(-2 )= 13 -2 m-1≤0g(2 )= 13 +2 m-1≤0.
∴-2 3 ≤m≤2 3 ,故选B.
二、填空
  13.32  14.-5 5   15.-52 ≤t≤52    16.53 ≤m≤5
14. - 5 5 【解析】本题考查三角变换公式的应用.由tan(α+ π4 )= -2,得1+tanα1-tanα =-2,解得tanα=3,
∴sinα=3cosα,又sin2α+cos2α=1,解得sinα= - 310 10 ,cosα=- 10 10 .
∴sin(α–π4 )=sinαcosπ4 -cosαsinπ4 =- 5 5 .
15. -52 ≤t≤52   解析: 由x2+y2-2ax+a2-9=0,得(x-a)2+y2=9,由x2+y2+2by-4+b2=0,得x2+(y+b)2=4.依题意可得,两圆外切,则两圆圆心距离等于两圆的半径之和,
则a2+(-b)2=3+2=5,即a2+b2=25,∴点(a,b)满足圆a2+b2=25的方程,于是t=a+b可以看作直线l:a+b-t=0,则直线l与圆a2+b2=25有交点,即有|t|2  ≤5,从而得-52 ≤t≤52 .
16. 53 ≤m≤5 
【解析】∵m= x+2y+3x+1 = x+1+2(y+1)x+1 =1+2×y+1x+1 ,如图满足2x-y+1≥0x+2y-2≥03x+y-6≤0 的可行域
 为图中的阴影部分, y+1x+1 表示可行域内的点与点P(-1,-1)连线的斜率,又A(2,0),
B(1,3), C(0,1),kPA= 13 ,kPC= 2,故53 ≤m≤5.
三、解答题
17. 解析:由(13 )x2-x-6≤1,得x2-x-6≥0,解得x≤-2或x≥3,故A={x| x≤-2或x≥3} .………3分
由log3(x+a)≥1,得x+a≥3故B={x|x≥3-a}.………………5分
由B ≠ A,得3-a≤-2或3-a≥3,…………………8分
解得a≥5或a≤0.………………………………………………………10分
18.解 (1)在△ABC中,由cos C=-14,可得sin C=15 4.……………………(1分)
由S△ABC=12absin C=3154 ,
得ab=6,又由b -a =1,解得a=2,b=3. ……………………(4分)
由c2=a2+b2-2abcos C,可得c=4.
由asin A=csin C,得sin A=15 8.……………………(6分)
(2)cos2C+π3=cos 2C•cos π3-sin 2C•sinπ3……………………(9分)
=12 (2cos2C-1)-3 2×2sin C•cos C=-7+35 16.……………………(12分)
19. 解:(1)设等差数列{an}的公差为d,则由题设可得-2+d=b1-2+2d=b1q+1(-2+5)b1q=b1q2 ,…………(2分)
解得d=3b1=1q=3 .…………………………………(4分)
     ∴an=3n-5,bn=3n-1.……………………………(6分)
  (2)由(1)知a¬nbn=(3n-5)•3n-1,∴数列{a¬nbn}的前n项和为Sn=-2•30+1•3+4•32+…+(3n-5)•3n-1①
3Sn=-2•3+1•32+4•33+…+(3n-8)•3n-1 +(3n-5)•3n  ②                        ……(8分)
①-②得-2Sn=-2+3•3+3•32+…+3•3n-1-(3n-5)•3n=-2+ 32(1-3n-1)1-3 -(3n-5)•3n…………(10分)
      ∴Sn= 13+(6n-13)•3n4 .……………………………………………………(12分)
20. 解: (1) 由直方图可知,乙品牌产品使用寿命小于200小时的频数为30+a,故频率为30+a300 ,
由意可得30+a300 =310 ,解得a=60.……………………………………(3分)
(2)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为20+60300=415,用频率估计概率,所以,甲品牌产品寿命小于200小时的概率为415.………………………………………(7分)
(3)根据抽样结果,寿命大于200小时的产品有220+210=430个,其中乙品牌产品是210个,所以在样本中,寿命大于200小时的产品是乙品牌的频率为210430=2143,用频率估计概率,所以已使用了200小时的该产品是乙品牌的概率为2143.………………………………(12分)
21. 解:(1)由题设得2 b=22 ,(b>0),∴b=2,又e= ca =5 3 ,∴c2=59 a2=a2-4,解得a2=9.
   因此椭圆C1和方程为x29 + y24 =1.由抛物线C2的方程为y=-x2+2,得M(0,2).………(2分)
   设直线l的方程为 y=kx+1(k存在),A(x1,y1),B(x2,y2).于是.
由y=-x2+2y=kx+1 消去y得x2+kx-1=0,∴x1+x2=-kx1x2=-1 ,①………………………(3分)
∴ MA→•MB→=(x1,y1-2)•(x2,y2-2)=x1x2+(y1-2)(y2-2)=x1x2+(kx1+1-2)(kx2+1-2)
=(1+k2)x1x2-k(x1+x2)+1,
∴将①代入上式得MA→•MB→=-1-k2+k2+1=0, 故 MA→⊥MB→.……………………(5分)
(2)由(1)知,MA⊥MB,∴△MAB和△MDE均为直角三角形,设直线MA方程为y=k1x+2,直线MB方程为y=k2x+2,且k1k2=-1,由y=k1x+2y=-x2+2 解得x=0y=2 或x=-k1y=-k12+2 ,∴A(-k1,-k12+2),同理可得B(-k2,-k22+2),………(7分)
  ∴S1=12 |MA|•|MB|= 12 1+k12 •1+k22 |k1||k2|.………………………………(8分)
  由y=k1x+2x29 + y24 =1 解得x=0y=2 或x= -36k14+9k12 y= 8-18k124+9k12  ,∴D(-36k14+9k12 ,8-18k124+9k12 ),
同理可得E(-36k24+9k22 ,8-18k224+9k22 ),………………………………………………………(9分)
  ∴S2=12 |MD|•|ME|= 12 •361+k12 |k1|4+9k12 •361+k22 |k2|4+9k22 ,………………………(10分)
   ∴λ2= S1S2 = 1362 (4+9k12)(4+9k22)= 1362 (16+81k12k22+36k12+36k22)
= 1362  (97+ 36k12+ 36k12 )≥132362 ,又λ>0,∴λ≥1336
      故λ的取值范围是[1336 ,+∞)………………………………………………………(12分)
22.解:(1)∵f′(x)=x+(2a-2)- 4ax = x2+(2a-2)x-4ax = (x+2a)(x-2)x (x>0).令f′(x)=0得x=2或x=-2a.
 ∴①当-2a=2,即a=-1时, f′(x)≥0在x>0时恒成立,即f(x)在(0,+∞)上单调递增.……(2分)
 ②当-2a>2,即a<-1时,f(x)在(0,2)和(-2a,+∞)上单调递增,在(2,-2a)上单调递减.………(3分)
 ③当0<-2a<2,即-1<a<0时,f(x)在(0,-2a)和(2,+∞)上单调递增,在(-2a,2)上单调递减.……(4分)
  ④当-2a≤0,即a≥0时,f(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增. ………(5分)
(2)由(1)知,当a=1时,f(x)在(2,+∞)上单调递增,不妨设x2>x1>2,
则不等式|f(x1)-f(x2)|≤k|lnx1-lnx2|可化为f(x2)-f(x1)≤klnx2-klnx1.……………(7分)
f(x1)-klnx1≥f(x2)-klnx2,令g(x)=f(x)-klnx,则g(x)在(2,+∞)上存在单调递减区间. ………(9分)
∴g′(x)= f′(x) - kx <0 在区间(2,+∞)有解,即(x+2)(x-2)x - kx <0在x∈(2,+∞)上有解,…(10分)
∴k>x2-4, x∈(2,+∞),故k>0. ……………(12分)
 

 

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