本溪一中2016级高二上学期期末考试
数学(文)试题
命题人：宫兴涛
考试时间：120分钟 满分：150分
说明：1.考试前，考生务必按要求在答题卡和答题纸上正确填涂考生信息；
2.第I卷为选择题，请用2B铅笔将答案涂在答题卡上，写在试卷上的答案无效；
3.第II卷为主观题，请用黑色字迹钢笔或签字笔书写在答题纸指定区域，写在试卷上的答案无效；
4.考试结束后，请交回答题卡和答题纸。
第I卷（选择题60分）
一、选择题（共12小题，每小题5分，共 60 分。）
1.已知复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
2.命题“，使”的否定是（ ）
A．，使 B．，使
C．，都有 D．，都有
3.已知平面向量,满足，且,,则向量与夹角的正切值为（ ）
A. B. C. D.
4．已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知为等差数列，.以表示的前n项和，则使得达到最大值的n是（ ）
A．18 B．19 C．20 D．21
6.若抛物线上一点到轴的距离为，则点到抛物线的焦点的距离为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
7.已知向量，若实数，满足，则的最大值是（ ）
A. B. C. D.
8．设P在双曲线上，F1，F2 是该双曲线的两个焦点，∠F1PF2=90°，且DF1PF2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9.己知是函数的一个极小值点，则的一个单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
10.设，若是的等比中项，则的最小值为（ ）
A. B.1 C. 4 D. 8
11. 知是双曲线的一条渐近线，是上的一点，是的两个焦点，若，则到轴的距离为（ ）
A. B. C. D.
12.设定义在R上的偶函数满足：对任意，都有，时，若，，则三者的大小关系是 （ ）
A. B. C. D.
第II卷 （非选择题90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）
13.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，则曲线的普通方程为_________.
14.设等差数列的前项和为，则，，，成等差数列．类比以上结论有：设等比数列的前项积为，则,______,________成等比数列．
15.是椭圆的左焦点，是椭圆上的动点，为定点，则的最小值是 。
16.在中，是的中点，已知，则的形状是 ．
三、解答题：（本大题共6小题，共70分。）
17.（本小题满分10分）
在中，角的对边分别为，满足．
（1）求角的大小；
（2）若，求的面积．
18. （本小题满分12分）
某中学将100名高一新生分成水平相同的甲，乙两个“平行班”，每班50人．陈老师采用A，B两种不同的教学方式分别在甲，乙两个班级进行教改实验．为了解教学效果，期末考试后，陈老师分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出茎叶图如下，计成绩不低于90分者为“成绩优秀”。
（1）从乙班样本的20个个体中，从不低于86分的成绩中随机抽取2个，求抽出的两个均“成绩优秀”的概率；
（2）由以上统计数据填写下面2x2列联表，并判断是否有90%的把握认为“成绩优秀”与教学方式有关．
甲班（A方式）
乙班（B方式）
总计
成绩优秀
成绩不优秀
总计
P（（K2≥k） 0.25 0.15 0.05 0.025
k 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024
19.（本小题满分12分）
已知数列，其前项和为，若函数在处的切线斜率为，数列，
满足点在直线上。
（1） 分别求，的通项公式；
（2） 求数列的前项和.
20. （本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，，平面, 平面，
，，.
（1）求证：平面平面；
（2）在线段上是否存在一点,使平面？若存在,
求出的值；若不存在，说明理由.
20. （本小题满分12分）
已知椭圆的短轴长为2，离心率为
（1）求椭圆的方程；
（2）设过定点的直线与(1)中的椭圆交于不同的两点、，且
为锐角,求直线的斜率的取值范围．
22.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）当时,求曲线的极值;
（2）求函数的单调区间;
（3）若对任意及时,恒有成立,求实数的取值范围；
本溪一中2016级高二上学期期末考试数学（文）
试题答案
一、 选择题：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A
D
B
A
C
A
D
D
B
C
C
B
二、 填空题：
13. 14. 15. 16.等腰或直角三角形
三、解答题：
17. （本小题满分10分）
解：（1）由及正弦定理，得
…………………………………………5分
(2)解：由（I）得，由余弦定理得
所以的面积为………………………10分
18. （本小题满分12分）
解：（1）设“抽出的两个均“成绩优秀”“为事件A．
从不低于86分的成绩中随机抽取2个的基本事件为（86，93），（86，96），（86，97），（86，99）（86，99），（93，96），（93，97），（93，99），（93，99），（96，97），（96，99），（96，99），（97，99），（97，99），（99，99），共15个，…………………（4分）
而事件A包含基本事件：（93，96），（93，97），（93，99），（93，99），（96，97），（96，99），（96，99），（97，99），（97，99），（99，99），共10个
所以所求概率为P（A）== …………………6分
甲班（A方式）
乙班（B方式）
总计
成绩优秀
1
5
6
成绩不优秀
19
15
34
总计
20
20
40
根据2×2列联表中数据，K2=≈3.137＞2.706
所以有90%的把握认为“成绩优秀”与教学方式有关． ………………12分
19. （本小题满分12分）
解：（1），
当，。
,由条件知 …………………6分
（2） （利用错位相减法求和）
………………12
20．（本小题满分12分）
（1）证明：因为 平面，平面，所以.
又因为，,所以平面. 又因为平面，所以平面平面. …………………6分
（2）结论：在线段上存在一点,且，使平面.
解：设为线段上一点, 且，
过点作交于，则.
A
B
C
E
D
FF
M
因为平面,平面，所以.
又因为，所以，,
所以四边形是平行四边形，则.
又因为平面，平面，
所以平面. ………………12分
21.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由已知得 2b=2,,解得a=3,b=1
椭圆C的方程为............3分
（Ⅱ）直线方程为，将其代入，
化简得，
设、
，，
且， …………………… 6分
为锐角，， …………………… 7分
即，，
．
将代入上式，
化简得，． …………………… 11分
由且，得． ……………………12分
22. （本小题满分12分）
（1）极小值为.…………………… 2分
（2）,令可得.
①当时,由可得在上单调递减,由可得在上单调递增.
②当时,由可得在上单调递减,由可得得在和上单调递增.
③当时,由可得在上单调递增.
④当时,由可得在上单调递减,由可得得在和上单调递增.…………………… 7分
（3）由题意可知,对时,恒有成立,等价于,
由（2）知,当时,在上单调递增,,所以原题等价于时,恒有成立,即.在时,由,故当时,恒成立,.…………………… 12分
微信/支付宝扫码支付