广东省五校协作体2018届高三第一次联考试卷
文科数学
命题学校：广州市真光中学 命题：何立斌 审题：郑婉慧 2017.12
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（）
A. B. C. D.
2. 已知是虚数单位，复数满足，则的虚部是（）
A. B. C. D.
3. “”是“”的（）
A. 充要条件 B.充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 函数的最小正周期和最大值分别是（）
A. 和B.和 C.和D. 和
5. 已知M是抛物线C：y2= 4x上一点，F是抛物线C的焦点，若|MF|=2，K是抛物线C的准线与x轴的交点，则∠MKF=（ ）
A．45° B．30° C．15° D．60°
6．已知，函数y=f（x+φ）的图象关于直线x=0对称，则φ的值可以是（ ）
A． B． C． D．
7. 函数的图象大致为（）
A. B. C. D.
8. 若函数，则下列选项的命题为真命题的是（）
A. B.
C. D.
9．一块硬质木料的三视图如图所示，正视图是边长为3 cm的正方形，俯视图是3 cm×4 cm的矩形，将该木料切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径最接近（ ）
A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm
10. 在区间上任取两个数且，则使的概率是（）
A. B. C.D.
11．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0），过其左焦点F作x轴的垂线，交双曲线于A，B两点，若双曲线的右顶点在以AB为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．（1，）B．（1，2） C．（，+∞）D．（2，+∞）
12. 某地为了调查去年上半年和两种农产品物价每月变化情况，选取数个交易市场统计数据进行分析，用和分别表示和的当月单价均值（元/kg），右边流程图是对上述数据处理的一种算法（其中，），则输出的值分别是（）
1月
2月
3月
4月
5月
6月
2.0
2.1
2.2
2.0
1.9
1.8
3.1
3.1
3.2
3.0
2.8
2.8
A. ，B. ，
C.，D. ，
二、填空题：每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上.
13．等差数列{an}满足a2+a8=6，则a4+a5+a6= ;
14．已知，均为单位向量，它们的夹角为，则|+|= ;
15. 已知实数x，y满足，则z=2|x﹣2|+y的最大值是 ;
16. 已知a>0，函数若，则实数t的取值范围为.
三、解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤. 第17～21题为必考题，每个试题考生必须做答，第22、23题为选考题，考生根据要求做答.
（一）必考题： 共60分.
17．（本小题满分12分）
已知数列的前项和为，且，
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）记，求数列的前项和.
18．（本小题满分12分）
如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BAD=60○, 平面PAD⊥底面ABCD，且△PAD是边长为2的等边三角形，PB=，M是AD中点．
（Ⅰ）求证：平面PMB⊥平面PAD；
（Ⅱ）证明：∠PDC >∠PAB, 且△PDC与△PAB的面积相等.
19.（本小题满分12分）
据某市地产数据研究院的数据显示，2016年该市新建住宅销售均价走势如图所示，为抑制房价过快上涨，政府从8月份采取宏观调控措施，10月份开始房价得到很好的抑制．
（Ⅰ）地产数据研究院研究发现，3月至7月的各月均价y（万元/平方米）与月份x之间具有较强的线性相关关系，试建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01），政府若不调控，依次相关关系预测第12月份该市新建住宅销售均价；
（Ⅱ）地产数据研究院在2016年的12个月份中，随机抽取两个月份的数据作样本分析，若关注所抽两个月份所属的季度，
求样本中的两个月恰好在不同季度的概率．
参考数据： =25， =5.36， =0.64
回归方程=x+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=， =﹣．
20. （本小题满分12分）
已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的左焦点F1与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，椭圆E的离心率为，过点M （m，0）（m＞）作斜率不为0的直线l，交椭圆E于A，B两点，点P（，0），且•为定值．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）求△OAB面积的最大值．
21. （本小题满分12分）
若(是常数)，
（Ⅰ）求的最大值；
（Ⅱ）设在区间上的最大值为，求的值.
(二)选考题：共10分. 请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22．（本小题满分10分）[选修4-4：极坐标和参数方程选讲]
在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ=6sinθ．
（Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点P（3，4），直线l与圆C相交于A，B两点，求+的值．
23．（本小题满分10分）[选修4-5：不等式选讲]
已知函数f（x）=|x﹣2|+|2x+1|．
（Ⅰ）解不等式f（x）＞5；
（Ⅱ）若关于x的方程=a的解集为空集，求实数a的取值范围．
广东省五校协作体2017届高三第一次联考
文科数学参考答案及评分细则
一、选择题：每小题5分，共60分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
A
A
A
A
D
D
C
A
C
B
D
二、填空题: 每题5分，满分20分.
13． 9 ; 14. ; 15. 7 ; 16. （0，+∞）.
三、解答题:
17．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ） 时，，得 ………… （1分）
时，有，所以， ………… （3分）
即：，满足时，,
所以是公比为2，首项为1的等比数列 ………… （5分）
故通项公式为： ………… （6分）
（Ⅱ） ……… （8分）
（10分）
………… （12分）
18．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）△PAD是边长为2的等边三角形, M是AD中点
PM⊥AD, PM平面PAD
又平面PAD⊥底面ABCD PM⊥底面ABCD ………… （2分）
平面PAD∩底面ABCD=AD
又BM底面ABCD, PM⊥BM, △PMB是直角三角形
在等边△PAD中，PM=，又PB=， MB= （3分）
∠BAD=60○, 在△ABM中, 由余弦定理：MB2 = AM2+AB2-2AM×AB×cos60○ ………… （4分）
得：AB2 - AB -2=0, 即AB=2， △ABD也是等边三角形，
BM⊥AD
平面PAD∩底面ABCD=AD BM⊥平面PAD
BM底面ABCD BM平面PMB 平面PMB⊥平面PAD ………… （6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知底面ABCD是菱形. 连接CM, 在△DMC中，∠MDC=120○,
由余弦定理：MC2 = MD2+CD2-2MD×CD×cos120○ =12+ 22-2×1×2×=7
得： MC=， 在直角形△PMC中， ：PC2 =PM2+MC2= ………… （8分）
在△PDC中，由余弦定理：
在△PAB中，由余弦定理：
, ，余弦函数在是减函数
∠PDC >∠PAB， ………… （10分）
而，
，即△PDC与△PAB面积相等. ………… （12分）
(注：没有通过计算出面积，能够说明面积相等原因的，仍然是满分)
19. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题意
月份x
3
4
5
6
7
均价y
0.95
0.98
1.11
1.12
1.20
=5， =1.072， ………… （1分）
=10， ………… （2分）
∴==0.064， ………… （3分）
=﹣=0.752，………… （4分）
∴从3月到6月，y关于x的回归方程为y=0.06x+0.75，………… （5分）
x=12时，y=1.47．即可预测第12月份该市新建住宅销售均价为1.47万元/平方米；，……… （6分）
（Ⅱ）设抽取的两个月份为(X, Y), 则基本事件的情况有：
（1，2），（1，3），（1，4），…… ，（1，12）
（2，3），（2，4），（2，5）， … ，（2，12）
（3，4），（3，5），… ，（3，12）
… … … …
（11，12）
共有n=1+2+3+…+11=(种) ……… （8分）
其中恰在同一季度的两个月份有：
（1，2），（1，3），（2，3）
（4，5），（4，6），（5，6）
（7，8），（7，9），（8，9）
（10，11），（10，12），（11，12）共m=12（种） ……… （10分）
故，所求概率P("两个月恰好在不同季度")=1-== ……… （12分）
20. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设F1（﹣c，0），∵抛物线y2=﹣4x的焦点坐标为（﹣1，0），且椭圆E的左焦点F与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，∴c=1， ……… （1分）
又椭圆E的离心率为，得a=， ……… （2分）
于是有b2=a2﹣c2=1．故椭圆Γ的标准方程为：． ……… （3分）
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为：x=ty+m，
由整理得（t2+2）y2+2tmy+m2﹣2=0 ……… （4分）
，， ……… （5分）
，
=
=（t2+1）y1y2+（tm﹣t）（y1+y2）+m2﹣=．
要使•为定值，则，解得m=1或m=（舍） ……… （8分）
当m=1时，|AB|=|y1﹣y2|=， ……… （9分）
点O到直线AB的距离d=， ……… （10分）
△OAB面积s==．
∴当t=0，△OAB面积的最大值为， ……… （12分）
21. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）定义域（0， +∞）； ……… （1分）
， ，得， ……… （2分）
当时， ，在上是增函数；
当时， ，在上是减函数；
……… （4分）
（Ⅱ）=ax+lnx
∵．
①若，则f′（x）≥0，从而f（x）在（0，e]上是增函数， ……… （5分）
∴f（x）max=f（e）=ae+1≥0，不合题意， ……… （6分）
②若，则由，即
由，即，
从而f（x）在（0，﹣）上增函数，在（﹣，e]为减函数
∴ ……… （8分）
令，则，∴a=﹣e2， ……… （12分）
22．（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）由直线l的参数方程为（t为参数），得直线l的普通方程为x+y﹣7=0．（2分）
又由ρ=6sinθ得圆C的直角坐标方程为x2+（y﹣3）2=9；……… （4分）
（Ⅱ）把直线l的参数方程（t为参数），代入圆C的直角坐标方程，
得，设t1，t2是上述方程的两实数根，……… （6分）
所以t1+t2=2，t1t2=1，……… （8分）
∴t1＞0，t2＞0，所以+ = . ……… （10分）
[选修4-5：不等式选讲]
23．（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）解不等式|x﹣2|+|2x+1|＞5，
x≥2时，x﹣2+2x+1＞5，解得：x＞2；
﹣＜x＜2时，2﹣x+2x+1＞5，无解，
x≤﹣时，2﹣x﹣2x﹣1＞5，解得：x＜﹣， ……… （3分）
故不等式的解集是（﹣∞，﹣）∪（2，+∞）； ……… （4分）
（Ⅱ）f（x）=|x﹣2|+|2x+1|=，
故f（x）的最小值是，所以函数f（x）的值域为[，+∞）， ……… （6分）
从而f（x）﹣4的取值范围是[﹣，+∞），
进而的取值范围是（﹣∞，﹣]∪（0，+∞）． ……… （8分）
根据已知关于x的方程=a的解集为空集，所以实数a的取值范围是（﹣，
0]． （10分）
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