海淀区高三年级第一学期期末练习
数学（理科） 2018.1
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）复数
A. B. C. D.
（2）在极坐标系中，方程表示的圆为
A. B. C. D.
（3）执行如图所示的程序框图，输出的值为
A.4
B.5
C.6
D.7
（4）设是不为零的实数，则“”是“方程表示
的曲线为双曲线”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
（5）已知直线与圆相交于两点，且为正三角形，则实数的值为
A. B. C. 或 D. 或
（6）从编号分别为1,2,3,4,5，6的六个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，则恰有两个小球编号相邻的概率为
A. B. C. D.
（7）某三棱锥的三视图如图所示，则下列说法中：
①三棱锥的体积为
②三棱锥的四个面全是直角三角形
③三棱锥的四个面的面积最大的是
所有正确的说法是
A. ①B. ①②C. ②③D. ①③
（8）已知点为抛物线的焦点，点为点关于原点的对称点，点在抛物线上，则下列说法错误的是
A.使得为等腰三角形的点有且仅有4个
B.使得为直角三角形的点有且仅有4个
C. 使得的点有且仅有4个
D. 使得的点有且仅有4个
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）点到双曲线的渐近线的距离是 .
（10）已知公差为1的等差数列中，，，成等比数列，则的前100项和为 .
（11）设抛物线的顶点为，经过抛物线的焦点且垂直于轴的直线和抛物线交于两点，则 .
（12）已知的展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64:1，则 .
（13）已知正方体的棱长为，点是棱的中点，点在底面内，点在线段上，若，则长度的最小值为 .
（14）对任意实数，定义集合.
①若集合表示的平面区域是一个三角形，则实数的取值范围是 ；
②当时，若对任意的，有恒成立，且存在，使得成立，则实数的取值范围为 .
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题13分）
如图，在中，点在边上，且.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值.
（16）（本小题13分）
据中国日报网报道：2017年11月13日，TOP500发布的最新一期全球超级计算机500强榜单显示，中国超算在前五名中占据两席，其中超算全球第一“神威太湖之光”完全使用了国产品牌处理器。为了了解国产品牌处理器打开文件的速度，某调查公司对两种国产品牌处理器进行了12次测试，结果如下（数值越小，速度越快，单位是MIPS）
测试1
测试2
测试3
测试4
测试5
测试6
测试7
测试8
测试9
测试10
测试11
测试12
品牌A
3
6
9
10
4
1
12
17
4
6
6
14
品牌B
2
8
5
4
2
5
8
15
5
12
10
21
（Ⅰ）从品牌A的12次测试中，随机抽取一次，求测试结果小于7的概率；
（Ⅱ）从12次测试中，随机抽取三次，记X为品牌A的测试结果大于品牌B的测试结果的次数，求X的分布列和数学期望E（X）；
（Ⅲ）经过了解，前6次测试是打开含有文字和表格的文件，后6次测试是打开含有文字和图片的文件.请你依据表中数据，运用所学的统计知识，对这两种国产品牌处理器打开文件的速度进行评价.
（17）（本小题14分）
如题1，梯形中，为中点.将沿翻折到的位置，如图2.
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）设分别为和的中点，试比较三棱锥和三棱锥（图中未画出）的体积大小，并说明理由.
（18）（本小题13分）
已知椭圆，点
（Ⅰ）求椭圆的短轴长和离心率；
（Ⅱ）过的直线与椭圆相交于两点，设的中点为，判断与的大小，并证明你的结论.
（19）（本小题14分）
已知函数.
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求证：函数有且仅有一个零点；
（Ⅲ）当时，写出函数的零点的个数.（只需写出结论）
（20）（本小题13分）
无穷数列满足：为正整数，且对任意正整数，为前项，，，中等于的项的个数.
（Ⅰ）若，请写出数列的前7项；
（Ⅱ）求证：对于任意正整数，必存在，使得；
（Ⅲ）求证:“”是“存在，当时，恒有成立”的充要条件。
海淀区高三年级第一学期期末练习参考答案2018.1
数学（理科）
阅卷须知:
1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数.
2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
选项
A
D
B
A
D
C
D
C
二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.(有两空的小题第一空3分)
（9） （10）5050 （11）2 （12）6 （13） （14）① ②
三、解答题: 本大题共6小题，共80分.
15.（本小题13分）
解：（Ⅰ）如图所示，，…………………….1分
故，……………………….2分
设，则，.
在中，由余弦定理
……………………….3分
即，……………………….4分
解得，即.……………………….5分
（Ⅱ）方法一.在中，由，得，故
……………………….6分
在中，由正弦定理
……………………….7分
即，故，……………………….9分
由，得，……………………….11分
………………………13分
方法二. 在中，由余弦定理
……………………….7分
由，故 ……………………….9分
故 ……………………….11分
故
………………………13分
16. （本小题13分）
（Ⅰ）从品牌的12次测试中，测试结果打开速度小于7的文件有：
测试1、2、5、6、9、10、11，共7次
设该测试结果打开速度小于7为事件，因此……………………….3分
（Ⅱ）12次测试中，品牌的测试结果大于品牌的测试结果的次数有：
测试1、3、4、5、7、8，共6次
随机变量所有可能的取值为：0，1，2，3
……………………….7分
随机变量的分布列为
0
1
2
3
……………………….8分
……………………….10分
（Ⅲ）本题为开放问题，答案不唯一，在此给出评价标准，并给出可能出现的答案情况，阅卷时按照标准酌情给分.
给出明确结论，1分；
结合已有数据，能够运用以下8个标准中的任何一个陈述得出该结论的理由，2分.
…………………13分.
标准1: 会用前6次测试品牌A、品牌B的测试结果的平均值与后6次测试品牌A、品牌B的测试结果的平均值进行阐述（这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的测试结果的平均值均小于打开含有文字和图片的文件的测试结果平均值；这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的平均速度均快于打开含有文字和图片的文件的平均速度）
标准2: 会用前6次测试品牌A、品牌B的测试结果的方差与后6次测试品牌A、品牌B的测试结果的方差进行阐述（这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的测试结果的方差均小于打开含有文字和图片的文件的测试结果的方差；这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件速度的波动均小于打开含有文字和图片的文件速度的波动）
标准3：会用品牌A前6次测试结果的平均值、后6次测试结果的平均值与品牌B前6次测试结果的平均值、后6次测试结果的平均值进行阐述（品牌A前6次测试结果的平均值大于品牌B前6次测试结果的平均值，品牌A后6次测试结果的平均值小于品牌B后6次测试结果的平均值，品牌A打开含有文字和表格的文件的速度慢于品牌B，品牌A打开含有文字和图形的文件的速度快于品牌B）
标准4：会用品牌A前6次测试结果的方差、后6次测试结果的方差与品牌B前6次测试结果的方差、后6次测试结果的方差进行阐述（品牌A前6次测试结果的方差大于品牌B前6次测试结果的方差，品牌A后6次测试结果的方差小于品牌B后6次测试结果的方差，品牌A打开含有文字和表格的文件的速度波动大于品牌B，品牌A打开含有文字和图形的文件的速度波动小于品牌B）
标准5：会用品牌A这12次测试结果的平均值与品牌B这12次测试结果的平均值进行阐述（品牌A这12次测试结果的平均值小于品牌B这12次测试结果的平均值，品牌A打开文件的平均速度快于B）
标准6：会用品牌A这12次测试结果的方差与品牌B这12次测试结果的方差进行阐述（品牌A这12次测试结果的方差小于品牌B这12次测试结果的方差，品牌A打开文件速度的波动小于B）
标准7：会用前6次测试中，品牌A测试结果大于（小于）品牌B测试结果的次数、后6次测试中，品牌A测试结果大于（小于）品牌B测试结果的次数进行阐述（前6次测试结果中，品牌A小于品牌B的有2次，占1/3. 后6次测试中，品牌A小于品牌B的有4次，占2/3. 故品牌A打开含有文字和表格的文件的速度慢于B，品牌A打开含有文字和图片的文件的速度快于B）
标准8：会用这12次测试中，品牌A测试结果大于（小于）品牌B测试结果的次数进行阐述（这12次测试结果中，品牌A小于品牌B的有6次，占1/2.故品牌A和品牌B打开文件的速度相当）
参考数据
期望
前6次
后6次
12次
品牌A
5.50
9.83
7.67
品牌B
4.33
11.83
8.08
品牌A与品牌B
4.92
10.83
方差
前6次
后6次
12次
品牌A
12.30
27.37
23.15
品牌B
5.07
31.77
32.08
品牌A与品牌B
8.27
27.97
17. （本小题14分）
（Ⅰ）证明：因为，，，，平面
……………..1分
所以平面……………..2分
因为平面，所以平面平面 ……………..3分
（Ⅱ）解：在平面内作，
由平面，建系如图. ……………..4分
则，，，，.
，， ……………..7分
设平面的法向量为，则
，即，令得，，
所以是平面的一个方向量. ……………..9分
……………..10分
所以与平面所成角的正弦值为. ……………..11分
（Ⅲ）解：三棱锥和三棱锥的体积相等.……………..12分
理由如:
方法一：由，，知，则
因为平面，所以平面. ……………..13分
故点、到平面的距离相等，有三棱锥和同底等高，所以体积相等. ……………..14分
方法二：如图，取中点，连接，，.
因为在中，，分别是，的中点，所以
因为在正方形中，，分别是，的中点，所以
因为，，平面，，平面
所以平面平面
因为平面，所以平面 ……………..13分
故点、到平面的距离相等，有三棱锥和同底等高，所以体积相等. ……………..14分
法二法三
方法三：如图，取中点，连接，，.
因为在中，，分别是，的中点，所以且
因为在正方形中，是的中点，所以且
所以且，故四边形是平行四边形，故
因为平面，平面，所以平面. ……………..13分
故点、到平面的距离相等，有三棱锥和同底等高，所以体积相等. ……………..14分
18. （本小题13分）
解：（Ⅰ）：，故，，，
有，. ……………..3分
椭圆的短轴长为，离心率为.……………..5分
（Ⅱ）结论是：. ……………..6分
设直线：，，
，整理得：……………..8分
故， ……………..10分
……………..11分
……………..12分
故，即点在以为直径的圆内，故 ……………..13分
19. （本小题14分）
（Ⅰ）因为函数
所以 ……………..2分
故， ……………..4分
曲线在处的切线方程为 ……………..5分
（Ⅱ）当时，令，则
……………..6分
故是上的增函数. ……………..7分
由，故当时，，当时，.
即当时，，当时，.
故在单调递减，在单调递增.……………..9分
函数的最小值为…………….10分
由，故有且仅有一个零点. …………….12分
（Ⅲ）当时，有一个零点；当且时，有两个零点.
……………..14分
20. （本小题13分）
解：（Ⅰ）2，1，1，2，2，3，1 ……………..3分
（Ⅱ）假设存在正整数，使得对任意的，. 由题意，
考虑数列的前项：
，，，…，
其中至少有项的取值相同，不妨设
此时有：，矛盾.
故对于任意的正整数，必存在，使得. ………….. 8分
（Ⅲ）充分性：
当时，数列为，，，，，，，…，，，，，…
特别地，，
故对任意的
（1）若为偶数，则
（2）若为奇数，则
综上，恒成立，特别地，取有当时，恒有成立
………….11分
必要性：
方法一:假设存在（），使得“存在，当时，恒有成立”
则数列的前项为
，
，，，，，，，…，，，，
，，，，，…，，，，
，，，…，，，，
，，，，
，，
后面的项顺次为
，，，，…，，
，，，，…，，
，，，，…，，
……
对任意的，总存在，使得，，这与矛盾，故若存在，当时，恒有成立，必有
………….. 13分
方法二：若存在，当时，恒成立，记.
由第（2）问的结论可知：存在，使得（由s的定义知）
不妨设是数列中第一个大于等于的项，即均小于等于s.
则.因为，所以，即且为正整数，所以.
记，由数列的定义可知，在中恰有t项等于1.
假设，则可设，其中，
考虑这t个1的前一项，即，
因为它们均为不超过s的正整数，且，所以中一定存在两项相等，
将其记为a，则数列中相邻两项恰好为（a，1）的情况至少出现2次，但根据数列的定义可知：第二个a的后一项应该至少为2，不能为1，所以矛盾！
故假设不成立，所以，即必要性得证！………….. 13分
综上，“”是“存在，当时，恒有成立”的充要条件.
微信/支付宝扫码支付