东城区高三年级第一学期期末练习
数学（理科） 2018.1
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合，则
A. B. C. D.
（2）函数图像的两条相邻对称轴之间的距离是
A. B. C. D.
（3）执行如图所示的程序框图，输出的值为
A. B. C. D.
（4）若满足，则的最小值为
A. B. C. D.
（5）已知函数，则的
A.图像关于原点对称，且在上是增函数
B. 图像关于轴对称，且在上是增函数
C. 图像关于原点对称，且在上是减函数
D. 图像关于轴对称，且在上是减函数
（6）设为非零向量，则“”是“”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
（7）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为
A. B. C. D.
（8）现有个小球，甲、乙两位同学轮流且不放回抓球，每次最少抓1个球，最多抓3个球，规定谁抓到最后一个球赢.如果甲先抓，那么下列推断正确的是
A. 若，则甲有必赢的策略 B. 若，则乙有必赢的策略
C. 若，则甲有必赢的策略 D. 若，则乙有必赢的策略
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）若复数为纯虚数，则实数 .
（10）在的展开式中，的系数等于 .
（11）已知是等差数列，为其前项和，若，则 .
（12）在极坐标系中，若点在圆外，则的取值范围为 .
（13）双曲线的一个焦点到它的一条渐近线的距离为1，则 ；若双曲线与不同，且与有相同的渐近线，则的方程可以是 .
（14）如图1，分别以等边三角形的每个顶点为圆心、以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形，等边三角形的中心称为勒洛三角形的中心.如图2，勒洛三角形夹在直线和直线之间，且沿轴滚动，设其中心的轨迹方程为，则的最小正周期为 ；
对的图像与性质有如下描述：
①中心对称图形； ②轴对称图形； ③一条直线； ④最大值与最小值的和为2.
其中正确结论的序号为 .（注：请写出所有正确结论的序号）
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题13分）
在锐角中，角所对的边分别为，且.
（Ⅰ）求的长；
（Ⅱ）若，求的面积.
（16）（本小题13分）
中国特色社会主义进入新时代，我国经济已由高速增长阶段装箱高质量发展阶段.货币政策是宏观经济调控的重要手段之一，对我国经济平稳运行、高质量发展发挥着越来越重要的作用.某数学课外活动小组为了研究人民币对某国货币的汇率与我国经济发展的关系，统计了2017年下半年某周五个工作日人民币对该国货币汇率的开盘价和收盘价，如下表：
周一
周二
周三
周四
周五
开盘价
164
165
170
172
a
收盘价
164
164
169
173
170
（Ⅰ）已知这5天开盘价的中位数与收盘价的中位数相同，求的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，从这5天中随机选取3天，其中开盘价比当日收盘价低的天数记为，求的分布列及数学期望；
（Ⅲ）在下一周的第一个工作日，收盘价为何值时，这6天收盘价的方差最小.（只需写出结论）
（17）（本小题14分）
如图，在四棱锥中，平面平面，为线段的中点，四边形是边长为1的正方形，.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）点在直线上，若平面平面，求线段的长.
（18）（本小题13分）
已知函数.
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）若对恒成立，的最小值.
（19）（本小题14分）
已知椭圆的离心率等于，经过其左焦点且与轴不重合的直线与椭圆交于两点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）为坐标原点，在轴上是否存在点，使得点到直线的距离总相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
（20）（本小题13分）
已知数列满足且，数列满足，其中表示中与不相等的项的个数.
（Ⅰ）数列，请直接写出数列；
（Ⅱ）证明：
（Ⅲ）若数列相邻两项均不相等，且与为同一个数列，证明：.
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