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贵州省铜仁第一中学2017—2018学年度第一学期
高二数学期末考试（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．命题“，使得”的否定形式是( )
A．，使得 B．，使得
C．，使得 D．，使得
2．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示.为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )
A.200, 20 B.100, 20 C.200, 10 D.100, 10
3．“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．方程(x2＋y2－4)＝0的曲线形状是( )
[来源:Z_xx_k.Com]
5. 如图所示，在平行六面体中，为与的交点。若，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
6.如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )
A． B． C． D．
7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A.＋π B.＋π
C.＋2π D.＋2π
8.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,如果输入某个正整数n后,输出的S∈（10,20）错误！未找到引用源。，那么n的值为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
9．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为( )
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
10．直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
11．若双曲线－＝1的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则该双曲线的实轴长为( )
A．1 B．2 C．3 D．6
12．已知椭圆C：的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为( )
A． B． C． D．
[来源:Zxxk.Com]
第Ⅱ卷
二.填空题：(本大题共4小题，每小题5分,共20分．)
13. 若“∀x∈，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．
14．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为________．
15.已知△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是____________．
16．已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则____________．
三、解答题：（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
17. （本小题12分）设：方程有两个不等的负根，：方程无实根，若p或q为真，p且q为假，求的取值范围．
18.（本小题12分）
如图所示，M，N，K分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1的中点．
求证：(1)AN∥平面A1MK；
(2)平面A1B1C⊥平面A1MK.
19．（本小题12分）
铜仁市某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；
(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？[来源:学科网]
由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手有60×0.25＝15(人)，“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.375＝15(人)，据此可得2×2列联表如下：
生产能手
非生产能手
合计
25周岁以上组
15
45
60
25周岁以下组
15
25
40
合计
30
70
100
所以得K2＝
20．（本小题12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．
(1)证明：BE⊥DC；
(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；
(3)若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F－AB－P的余弦值．
21、（本小题12分）
已知点A(0，－2)，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．
(1)求E的方程；
(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．
22．（本小题满分10分）选修4—4：极坐标与参数方程
在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数）.
（1）以原点为极点、轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆的极坐标方程；
（2）已知，圆上任意一点，求面积的最大值.
贵州省铜仁第一中学2017—2018学年度第一学期
高二理科数学参考答案
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
D
A
A
C
A
B
A
B
A
C
B
A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13． 1 14． P＝. 15．－＝1 (x>3). 16． 6
一、详解
1．D解析:的否定是，的否定是，的否定是．故选D．
2．A 解析:该地区中小学生总人数为3500＋2000＋4500＝10000，
则样本容量为10000×2%＝200，其中抽取的高中生近视人数为2000×2%×50%＝20，故选A.
3． A.解析:∵sin α＝cos α⇒cos 2α＝cos2α－sin2α＝0；cos 2α＝0⇔cos α＝±sin αsin α＝cos α，故选A.
4．C解析:由题意可得x＋y＋1＝0或
它表示直线x＋y＋1＝0和圆x2＋y2－4＝0在直线x＋y＋1＝0右上方的部分．
5. A解析 ＝＋＝＋(－)＝
6. B解析: 设正方形边长为，则圆的半径为，正方形的面积为，圆的面积为.由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是，选B.
7．A解析:这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，
V＝π×12×2＋××1＝π＋，选A.
8.B
9．A解析: 直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．
10．C解析: 补成正方体，利用向量的方法求异面直线所成的角．
由于∠BCA＝90°，三棱柱为直三棱柱，且BC＝CA＝CC1，可将三棱柱补成正方体．建立如图所示空间直角坐标系．
设正方体棱长为2，则可得A(0,0,0)，B(2,2,0)，M(1,1,2)，N(0,1,2)，
∴＝(－1，－1,2)，＝(0,1,2)．
∴cos〈，〉＝
＝＝＝.
11．B解析:双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，即x±ay＝0，圆(x－2)2＋y2＝4的圆心为C(2,0)，半径为r＝2，如图，由圆的弦长公式得弦心距|CD|＝＝，另一方面，圆心C(2,0)到双曲线－＝1的渐近线x－ay＝0的距离为d＝＝，所以＝，解得a2＝1，即a＝1，该双曲线的实轴长为2a＝2.
12．A
二.详解
13.答案 1 解析 ∵函数y＝tan x在上是增函数，∴ymax＝tan ＝1.依题意，m≥ymax，即m≥1.∴m的最小值为1.
14． P＝.解析 由题意知，从五位大学毕业生中录用三人，所有不同的可能结果有(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁
)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共10种，其中“甲与乙均未被录用”的所有不同的可能结果只有(丙，丁，戊)这1种，故其对立事件“甲或乙被录用”的可能结果有9种，所求概率P＝.
15.答案 －＝1 (x>3)
解析 如图，|AD|＝|AE|＝8，
|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，
所以|CA|－|CB|＝8－2＝63)．
16．答案6【解析】试题分析：如图所示，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线与轴交于点，作与点，与点，由抛物线的解析式可得准线方程为，则，在直角梯形中，中位线，由抛物线的定义有：，结合题意，有，故．
三、解答题：（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
17. （本小题12分）解：若方程有两个不等的负根，则，
所以，即．
若方程无实根，则，
即， 所以．
因为为真，则至少一个为真，又为假，则至少一个为假．
所以一真一假，即“真假”或“假真”．
所以或 所以或．
故实数的取值范围为．
18.（本小题12分）
证明 (1)如图所示，连接NK.
在正方体ABCD—A1B1C1D1中，
∵四边形AA1D1D，DD1C1C都为正方形，
∴AA1∥DD1，AA1＝DD1，C1D1∥CD，C1D1＝CD.[2分][来源:Z§xx§k.Com]
∵N，K分别为CD，C1D1的中点，
∴DN∥D1K，DN＝D1K，
∴四边形DD1KN为平行四边形．[3分]
∴KN∥DD1，KN＝DD1，∴AA1∥KN，AA1＝KN.
∴四边形AA1KN为平行四边形．∴AN∥A1K.[4分]
∵A1K⊂平面A1MK，AN⊄平面A1MK，
∴AN∥平面A1MK.[6分]
(2)如图所示，连接BC1.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AB∥C1D1，AB＝C1D1.
∵M，K分别为AB，C1D1的中点，
∴BM∥C1K，BM＝C1K.
∴四边形BC1KM为平行四边形．∴MK∥BC1.[8分]
在正方体ABCD—A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BB1C1C，
BC1⊂平面BB1C1C，∴A1B1⊥BC1.
∵MK∥BC1，∴A1B1⊥MK.
∵四边形BB1C1C为正方形，∴BC1⊥B1C.[10分]
∴MK⊥B1C.
∵A1B1⊂平面A1B1C，B1C⊂平面A1B1C，A1B1∩B1C＝B1，∴MK⊥平面A1B1C.
又∵MK⊂平面A1MK，
∴平面A1B1C⊥平面A1MK.[12分]
19．（本小题12分）
解 (1)由已知得，样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名.
所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05＝3(人)，记为A1，A2，A3；
25周岁以下组工人有40×0.05＝2(人)，记为B1，B2.
从中随机抽取2名工人，所有的可能结果共有10种，它们是(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2).
其中，至少有1名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种，它们是(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2).
故所求的概率P＝.
(2)由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手有60×0.25＝15(人)，“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.375＝15(人)，据此可得2×2列联表如下：
生产能手
非生产能手
合计
25周岁以上组
15
45
60
25周岁以下组
15
25
40
合计
30
70
100
所以得K2＝
＝＝≈1.786.
20．（本小题12分）
解析：(1)证明 依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系如图，可得B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)．[1分]
由E为棱PC的中点，得E(1,1,1)．
＝(0,1,1)，＝(2,0,0)，
故·＝0，所以BE⊥DC.[3分]
(2)解 ＝(－1,2,0)，
＝(1,0，－2)．
设n＝(x，y，z)为平面PBD的法向量，
则即不妨令y＝1，[5分]
可得n＝(2,1,1)为平面PBD的一个法向量．
于是有cos〈n，〉＝＝＝，
所以，直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.[7分]
(3)解 ＝(1,2,0)，＝(－2，－2,2)，＝(2,2,0)，＝(1,0,0)．
由点F在棱PC上，设＝λ，0≤λ≤1，
故＝＋＝＋λ＝(1－2λ，2－2λ，2λ)．
由BF⊥AC，得·＝0，
因此，2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝，
即＝(－，，)．[9分]
设n1＝(x，y，z)为平面FAB的法向量，
则 即
不妨令z＝1，可得n1＝(0，－3,1)为平面FAB的一个法向量．取平面ABP的法向量n2＝(0,1,0)，
则cos〈n1，n2〉＝＝＝－.
易知，二面角F－AB－P是锐角，
所以其余弦值为.[12分]
21、（本小题12分）
解析： (1)设F(c,0)，由条件知，＝，得c＝.
又＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.
故E的方程为＋y2＝1.
(2)当l⊥x轴时不合题意，
故设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
将y＝kx－2代入＋y2＝1得
(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.
当Δ＝16(4k2－3)>0，即k2>时，
x1,2＝.
从而|PQ|＝|x1－x2|＝.
又点O到直线PQ的距离d＝，
所以△OPQ的面积S△OPQ＝d|PQ|＝.
设＝t，则t>0，S△OPQ＝＝.
因为t＋≥4，当且仅当t＝2，
即k＝±时等号成立，
且满足Δ>0，
所以，当△OPQ的面积最大时，l的方程为y＝x－2或y＝－x－2.
22．（本小题满分10分）
解析：（1）圆的参数方程为（为参数）
所以普通方程为. 2分
圆的极坐标方程：. 5分
（2）点到直线：的距离为 7分
的面积
所以面积的最大值为 10分
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