遂宁市高中2018届一诊考试
数学（理科）试题
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。总分150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，满分60分）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。
2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
3．考试结束后，将答题卡收回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．已知集合，则
A. B. C. D.
2．已知复数，若，则复数z的共轭复数
A. B. C. D.
3．“”是“”的
A. 充分不必要条件 B. 充要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
4．已知随机变量服从正态分布，若，则等于
A. B. C. D.
5．已知满足，则
A. B. C. D.
6．执行如图所示的程序，若输入的，
则输出的所有的值的和为
A．243
B．363
C．729
D．1092
7．要排出某理科班一天中语文、数学、物理、
英语、生物、化学6堂课的课程表，要求
语文课排在上午(前4节)，生物课排在下午
(后2节)，不同排法种数为
A．144 B．192 C．360 D．720
8．若且函数在处有极值，则的最大值等于
A．121 B．144 C．72 D．80
9．已知数列的前项和为，若为函数的最大值，且满足，则数列的前2018项之积
A．1 B． C． D．2
10．若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线的离心率为
A．2 B. C. D.
11．已知O为△ABC的外心，A为锐角且，若，则的最大值为
A． B． C． D．
12．定义在R上的函数满足，且对任意的不相等的实数，有成立，若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）
注意事项：
1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。
2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题至第21题为必考题，每个试题考生都作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
13．设，满足约束条件，则目标函数的最小值是 ▲ .
14．二项式的展开式中常数项为 ▲ . （用数字表达）
15．已知点A，B的坐标分别为(－1,0)，(1,0)。直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之和是2，则点M的轨迹方程为 ▲ .
16．设函数与有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数的最大值为 ▲ .
三、解答题：本大题共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）
已知数列的前项和为，向量，满足条件⊥
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
▲
18．（本小题满分12分）
已知函数，在中，角，，的对边分别为，，
（1）当时，求函数的取值范围；
（2）若对任意的都有，，点是边的中点，求的值.
▲
19．（本小题满分12分）
1993年，国际数学教育委员会（ICMI）专门召开过“性别与数学教育”国际研讨会，会议讨论内容之一是视觉和空间能力是否与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何和代数各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.选择情况如下表：（单位：人）
几何题
代数题
总计
男同学
22
8
30
女同学
8
12
20
总计
30
20
50
（1）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？
（2）经过多次测试后，女生甲每次解答一道几何题所用的时间在5~7分钟，女生乙每次解答一道几何题所用的时间在6~8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率；
（3）现从选择几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生中被抽到的人数为，求的分布列及数学期望.
附表及公式
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
▲
20．（本小题满分12分）
设椭圆的离心率，左焦点为，右顶点为，过点的直线交椭圆于两点，若直线垂直于轴时，有
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线：上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点.若的面积为，求直线的方程.
▲
21．（本小题满分12分）
已知函数
（1）若，求曲线在点处的切线；
（2）若函数在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；
（3）设函数，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围.
▲
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知直线的参数方程为为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.
（1）求圆的直角坐标方程；
（2）若是直线与圆面的公共点，求的取值范围.
▲
23．（本小题满分10分）
已知函数
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若 , 判断与的大小关系并证明.
▲
遂宁市高中2018届一诊考试
数学（理科）试题参考答案及评分意见
一、选择题（12×5=60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
C
B
A
D
B
C
A
A
D
D
二、填空题（45=20分）
13．-1514．-160 15. 16．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．
17．（本小题满分12分）
【解析】（1）∵⊥,∴, …………2分
当时，，
当时，满足上式，∴…………6分
（2）
两边同乘，
得，两式相减得： …………8分，
． …………12分
18．（本小题满分12分）
【解析】（1），
…………2分
当时，，，
所以；…………6分
（2）由对任意的都有得：
.
又
…………8分
，…………10分
所以.…………12分
19．（本小题满分12分）
【解析】（1）由表中数据得的观测值
所以根据统计有97.5%和空间能力与性别有关. …………3分
（2）设甲，乙解答一道几何题的事件分别为分钟，则基本事件满足的区域为
，如图所示
设事件为“乙比甲先做完此道题”，则满足的区域为
由几何概型，得，即乙比甲先解答完的概率为
…………7分
（3）由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有种，其中甲、乙两人没有一个人被抽取到有种；恰有一人被抽到有；两人都被抽到有种.
可能取值为0,1,2，，，
的分布列为
0
1
2
所以． …………12分
20本小题满分12分）
【解析】（1）设，因为所以有，又由得，
且，得，因此椭圆的方程为：…4分
（2）设直线的方程为，与直线的方程联立，可得点，故.将与联立，消去，整理得， …………6分
解得，或.
由点异于点，
可得点.由，可得直线的方程为
，令，
解得，故. …………9分
所以.
又因为的面积为，故，
整理得，解得，所以.
所以，直线的方程为，或.………12分
21．（本小题满分12分）
【解析】已知函数.
（1）当时，，，
，，
则切线为：，即. …………3分
（2），
由定义域内为增函数，所以在上恒成立，
所以即，对任意恒成立，
设
易知，在上单调递增，在上单调递减，
则，所以，即. …………7分
（3）设函数，，
则原问题在上至少存在一点，
使得.
， …………8分
当时，，则在上单调递增，，舍；
当时，，
∵，∴，，，则，舍；
当时，，
则在上单调递增，，
整理得， …………11分
综上，. …………12分
请考生在第22、23、二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22．（本小题满分10分）
【解析】（1）∵圆的极坐标方程为，
∴，
又∵，，， …………5分
∴，
∴圆的普通方程为；
（2）设，
故圆的方程，
∴圆的圆心是，半径是，
将代入得，
又∵直线过，圆的半径是，
∴，∴，即的取值范围是.……10分
23．（本小题满分10分）
【解析】（1）因为，所以.
① 当时，得，解得，所以;
② 当时，得，解得，所以;
③ 当时，得，解得，所以;
综上所述，实数的取值范围是. …………5分
（2） ，因为,
所以
…………10分
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