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泉州市2018届普通高中毕业班单科质量检查
文科数学试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数满足，则其共轭复数 （ ）
A． B． C． D．
2. 若集合有且只有一个元素，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3. 已知等比数列是递增数列，，则公比（ ）
A． B． C． D．
4. 已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
5. 设数列的前项和，若，则 （ ）
A． B． C． D．
6. 已知函数 ，则（ ）
A．的周期为，其图象关于直线对称
B．的周期为，其图象关于直线对称
C．的周期为，其图象关于直线对称
D．的周期为，其图象关于直线对称
7. 执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的（ ）
A． B． C． D．
8. 在直角坐标系中，为单位圆上不同的两点，的横坐标为，若，则的横坐标是（ ）
A． B．或 C． D．或
9. 如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
10.实数满足，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
11. 设点为双曲线的左右焦点，点为右支上一点，点为坐标原点，若是底角为的等腰三角形，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12.设函数，若不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知向量 满足，则 ．
14.若函数 ，则 ．
15.若二次函数的最小值为，则的取值范围为 ．
16.在三棱锥中，,若三棱锥的所有顶点，都在同一球面上，则球的表面积是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 在平面直角坐标系中，点在抛物线上.
（1）求的方程和的焦点的坐标；
（2）设点为准线与轴的交点，直线过点，且与直线垂直，求证：与相切.
18. 等差数列的前项和为，已知.
（1）求的通项公式；
（2）求数列 的前项和.
19.已知分别为内角的对边，.
（1）若为的中点，求；
（2）若，判断的形状，并说明理由.
20. 若图，在三棱柱中，平面平面，且和均为正
三角形.
（1）在上找一点，使得平面，并说明理由.
（2）若的面积为，求四棱锥的体积.
21.椭圆经过为坐标原点，线段的中点在圆上.
（1）求的方程；
（2）直线不过曲线的右焦点，与交于两点，且与圆相切，切点在第一象限，的周长是否为定值？并说明理由.
22.已知函数.
（1）设，若曲线在处的切线很过定点，求的坐标；
（2）设为的导函数，当时，，求的取值范围.
试卷答案
一、选择题
1-5:BDDCB 6-10: ACBAC 11、A 12：A
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.解：（1）因为点在抛物线上，
所以，解得.
所以抛物线的方程为，焦点的坐标.
（2）准线：与轴的交点，
直线的斜率，
所以直线的方程：，即，
由方程组，可得，
因为，所以与相切.
18.解：（1）设数列的首项为，公差为，
依题意可知，
解得，故，
（2）因为，
所以，
所以.
19.解：（1）依题意，由，可得，
为的中点，，故，
所以，故.
（2）因为，
由余弦定理可得，
①时，为直角三角形；
②当时，即，
因为，故，为直角三角形
③因为，所以与不可能同时成立，
故不可能是等腰直角三角形，
综上所述，为等腰三角形或直角三角形，但不可能是等腰直角三角形.
20.解：（1）为的中点时，平面，
如图，取的中点的中点，连结，
在三棱柱中，，
所以四边形为平行四边形，，
由已知，为正三角形，所以，
因为平面，平面平面平面，
所以平面，
所以平面.
（2）设的边长为，则，
所以，
因为三棱柱 的体积为三棱锥体积的倍，
所以四棱锥的体积等于三棱锥体积的倍，
即.
21.解：（1）由题意得，
由题意得，的中点在圆上，
所以，得，
所以椭圆方程为.
（2）依题意可设直线，
因为直线与圆相切，且切点的第一象限，
所以，且有，
设，将直线与椭圆方程联立
可得，，，且
，
因为，故，
另一方面
，
化简得，同理，可得，
由此可得的周长，
故的周长为定值.
22.解：（1）依题意，，
，
则曲线在处的切线为，
即，故切线必过定点.
（2）设，
则，
设，
因为在恒成立，
所以在上单调递增，
则，
①当，即时，，
故在上单调递增，则，故符合题意.
②当，即时，取 ，
设，因为在上恒成立，
所以在上单调递增，
故，即，
又因为，且在上单调递增，
由零点判定定理，使得，即，
故存在，使得，不符合题意，舍去，
综上所述，的取值范围是 .
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