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炎德·英才大联考长沙市一中2017届高考模拟卷（一）
数学（理科）
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集，集合，集合，则为 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】，所以，选A.
2. 已知非空集合，则命题“”是假命题的充要条件是 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】等价于，因为“”是假命题，故其否定为，它是真命题，故“”是假命题的充要条件是，选D.
3. 已知算法的程序框图如图所示，则输出的结果是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据流程图，有，故选C.
4. 已知实数满足，设，则的最小值为 （ ）
A. B. C. 0 D. 2
【答案】B
【解析】可行域如图所示，当动直线过时，有最小值，又，故的最小值为，选B.
5. 传说战国时期，齐王与田忌各有上等，中等，下等三匹马，且同等级的马中，齐王的马比田忌的马强，但田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强。有一天，齐王要与田忌赛马，双方约定：比赛三局，每局各出一匹马，每匹马赛一次，赢得两局者为胜。如果齐王将马按上，中，下等马的顺序出阵，而田忌的马随机出阵比赛，则田忌获胜的概率是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如田忌获胜，则必须是田忌的上马胜齐王的中马，中马胜齐王的下马，下马输给齐王的上马，而田忌的马随机出阵比赛，共有种情形，故田忌获胜的概率为.选C.
6. 已知函数，则函数的大致图象是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】令，则，化简得，因此在上都是增函数.又，故选B.
7. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】试题分析：根据三视图知几何体的下面是一个圆柱，上面是圆柱的一半，所以．故应选B．
考点：空间几何体的三视图.
8. 已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在抛物线上，且，则的面积为 （ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 12
【答案】C
【解析】过作准线的垂线，垂足为，则，则在，有，从.在中，，从而，又
，从而，故，，选C.
9. 已知在中，是边上的点，且，，,则的值为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设，则，则，，所以，整理得到，解得 或者（舎），故，而 ，故.选A.
10. 设为两个非零向量的夹角，若对任意实数，，则下列说法正确的是 （ ）
A. 若确定，则唯一确定
B. 若确定，则唯一确定
C. 若确定，则唯一确定
D. 若确定，则唯一确定
【答案】A
【解析】题设可以化为，如图，表示线段的长度，其中为定点，为动点，当时，最小，所以，故当确定时，是确定的，但当确定时，因，故可能会有两个不同的解， 总是不确定的，故选A.
点睛：向量问题，首先寻找向量关系式是否有隐含的几何性质，如果找不到合适的几何性质，就利用代数的方法（如转化为坐标等）去讨论.
11. 已知球与棱长为4的正方形的所有棱都相切，点是球上一点，点是的外接圆上的一点，则线段的取值范围是 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为球与正方体的每条棱都相切，故其直径为面对角线长，所以半径为，如图，球心为正方体的中心，球心与的外接圆上的点的距离为，其长为体对角线的一半，故，故，也就是，选C.
点睛：这是组合体问题，关键是确定出球心的位置以及球心与三角形外接圆上的点的距离.
12. 已知函数，下列说法中错误的是（ ）
A. 的最大值为2
B. 在内所有零点之和为0
C. 的任何一个极大值都大于1
D. 在内所有极值点之和小于55
【答案】D
【解析】因为，故为偶函数.当时，，故，当时等号成立，故，故 A对；又为偶函数，内非零的零点成对出现，且关于原点对称，故其和为，故B；当时，，如下图，考虑与的图像在上的交点，它们有两个交点，它们的横坐标为且满足 ，，当，，当，，当，，在处取极大值，又，令，故（由三角函数线可得），其他极大值同理可得，故C对；如下图，在内，有，类似地，，，，，故10个极值点的和大于，故D错误，选D.
点睛：函数为偶函数，故只要考虑上的函数性质，但导函数的零点无法求得，只能通过两个熟悉的函数图像的交点来讨论函数的极值，讨论函数极值时需要利用极值点满足的条件去化简极值并讨论极值的范围.而诸极值点和的范围的讨论，也得利用两个熟悉函数图像的交点的性质去讨论.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本题共4小题，每题5分
13. 若复数为纯虚数，且（为虚数单位），则 __________________.
【答案】
【解析】设，所以，故，所以，所以，填.
14. 已知过点的双曲线的两条渐近线为，则该双曲线的方程为____________.
【答案】
【解析】不妨设，因为过，故，故，所以双曲线的方程为，填.
15. 若当时，函数取得最小值，则________________.
【答案】
【解析】，所以，因为在 ，所以
，所以，故 或者（舎），故填.
点睛：一般地，的最值，有两种处理方法：
（1）（辅助角公式）；
（2）如果 在有最值，那么，从而求出对应的的值.
16. 设二次函数的导函数为，若对任意，不等式恒成立，则的最大值___________________.
【答案】
【解析】试题分析：根据题意易得：，由得：在R上恒成立，等价于：，可解得：，则：，令，，故的最大值为．
考点：1.函数与导数的运用;2.恒成立问题;3.基本不等式的运用
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知等差数列中，，数列中，.
（1）分别求数列的通项公式；
（2）定义，是的整数部分，是的小数部分，且.记数列满足，求数列的前项和.
【答案】(1) ;(2) .
【解析】试题分析：（1）因为为等差数列，故可以把已知条件转化为基本量的方程组，求出其值即得通项公式，而满足递推关系，它可以变形为也就是是等比数列，从而求得的通项. （2）根据题设给出的定义得到
，所以，它是等差数列和等比数列的乘积，利用错位相减法可以求出其前项和.
解析：（1），，∴是首项为 ，公比为的等比数列，∴，∴.
（2）依题意，当时，，∴，
所以 ，
令，
两式相减，得
故.
18. 2017年4月1日，新华通讯社发布：国务院决定设立河北雄安新区.消息一出，河北省雄县、容城、安新3县及周边部分区域迅速成为海内外高度关注的焦点.
（1）为了响应国家号召，北京市某高校立即在所属的8个学院的教职员工中作了“是否愿意将学校整体搬迁至雄安新区”的问卷调查，8个学院的调查人数及统计数据如下：
调查人数()
10
20
30
40
50
60
70
80
愿意整体搬迁人数()
8
17
25
31
39
47
55
66
请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量关于变量的线性回归方程（保留小数点后两位有效数字）；若该校共有教职员工2500人，请预测该校愿意将学校整体搬迁至雄安新区的人数；
（2）若该校的8位院长中有5位院长愿意将学校整体搬迁至雄安新区，现该校拟在这8位院长中随机选取4位院长组成考察团赴雄安新区进行实地考察，记为考察团中愿意将学校整体搬迁至雄安新区的院长人数，求的分布列及数学期望.
参考公式及数据：.
【答案】(1) 线性回归方程为,当时，.(2) .
【解析】试题分析：（1）依据公式计算回归方程，在根据求出的结果得到相应的预测值.（2）是离散型随机变量，它服从超几何分布，故根据公式计算出相应的概率，得到分布列后再利用公式计算期望即可.
解析：（1）由已知有 ，
,故变量 关于变量 的线性回归方程为，所以当 时， .
（2）由题意可知的可能取值有1，2,3,4.
，
.
所以 的分布列为
1
2
3
4
19. 如图所示，三棱柱中，已知侧面.
（1）求证：平面；
（2）是棱长上的一点，若二面角的正弦值为，求的长.
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】试题分析：（Ⅰ）证明AB⊥BC1，在△CBC1中，由余弦定理求解B1C，然后证明BC⊥BC1，利用直线与平面垂直的判定定理证明C1B⊥平面ABC．
（Ⅱ）通过AB，BC，BC1两两垂直．以B为原点，BC，BA，BC1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．求出相关点的坐标，求出平面AB1E的一个法向量，平面的一个法向量通过向量的数量积，推出λ的方程，求解即可．
试题解析：证明：因为平面，平面，所以，
在中，，，，
由余弦定理得：，
故，所以，
又，∴平面.
由可以知道，，，两两垂直，以为原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系.
则，，，，，，.
令，∴，.
设平面的一个法向量为，
，
令，则，，
∴，
平面，∴是平面的一个法向量，
，两边平方并化简得，所以或.
∴或.
点睛：本题考查面面垂直，线面垂直，线线垂直的判定及性质以及二面角的余弦，属于中档题。对于第一问，要注意结合图形，特别是中点，寻求垂直或平行关系，本题利用了余弦定理，求边长，再利用勾股定理得到线线垂直，对于第二问关键是建系写点的坐标，利用求得的法向量来求二面角的余弦，注意对角是锐角钝角的分析.
20. 已知椭圆的离心率为是它的一个顶点，过点作圆的切线为切点，且.
（1）求椭圆及圆的方程；
（2）过点作互相垂直的两条直线，其中与椭圆的另一交点为，与圆交于两点，求面积的最大值.
【答案】（1），椭圆方程为。（2）的面积最大值为.
【解析】试题分析：（1）依据基本量求出椭圆方程和圆的方程；（2）设出直线方程为，利用韦达定理求出的坐标以及弦长（用去表示），从而得到面积关于的函数关系，求出其最大值即可.
解析：（1）由 ，得 ，故所求椭圆方程为
由已知有 , 圆的方程为：.
（2）设直线方程为 ，由 得 ，,又 .
直线的方程为，即 ，
，当且仅当 时取等号.因此的面积最大值为.
点睛：椭圆中如果动直线过椭圆上一个定点，那么我们可以用其斜率表示另一个交点的坐标，进而讨论与直线相关的问题.对于解析几何的最值问题，往往需要利用函数或基本不等式求其最值.
21. 已知函数，其中.
（1）设，讨论的单调性；
（2）若函数在内存在零点，求的范围.
【答案】（1）见解析；（2）的取值范围是.
【解析】试题分析：（1）求导可以得到，分三种情况讨论导数的符号.（2）计算可以得到，其导数为，我们需要讨论的符号，故需再构建新函数，其导数为，结合原函数的形式和的形式，我们发现当时恒成立；当时，在上有极小值点 ，结合可知 在上有零点；当时，恒成立，结合可知， 在上也是恒成立的，故而在上递增恒成立.
解析：（1）定义域
故 则
若，则 在 上单调递减；
若，则 .
（i） 当 时，则 ，因此在 上恒有 ，即 在 上单调递减；
（ii）当时，，因而在上有，在上有 ；因此 在 上单调递减，在单调递增.
（2）设 ,
，设，
则 .
先证明一个命题：当时，.令，，故在上是减函数，从而当时，，故命题成立.
若 ,由 可知，.，故 ，对任意都成立，故 在上无零点，因此.
（ii）当，考察函数 ，由于 在 上必存在零点.设在 的第一个零点为，则当时，，故 在 上为减函数，又 ，
所以当 时， ，从而 在 上单调递减，故在 上恒有 。即 ，注意到 ，因此，令时，则有，由零点存在定理可知函数 在 上有零点，符合题意.
（iii）若，则由 可知， 恒成立，从而 在 上单调递增，也即 在上单调递增，因此，即在 上单调递增，从而恒
成立，故方程 在 上无解.
综上可知， 的取值范围是 .
点睛：导数中函数的含参数的问题的讨论，需要考虑下面的几个方面：（1）把导函数充分变形，找出决定导数符号的核心代数式，讨论其零点是否存在，零点是否在给定的范围中；（2）零点不容易求得时，需要结合原函数的形式去讨论，有时甚至需要把原函数放缩去讨论，常见的放缩有等；（3）如果导数也比较复杂，可以进一步求导，讨论导函数的导数.
22. 将圆上每个点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标变为原来的3倍，得曲线，以坐标原点为极点，轴的非负轴分别交于半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为：，且直线在直角坐标系中与轴分别交于两点.
（1）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；
（2）问在曲线上是否存在点，使得的面积，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）曲线的参数方程为，直线的普通方程为。（2）点的坐标为。
【解析】试题分析：（1）根据伸缩变换可以得到曲线为椭圆，故其参数方程为，对于极坐标方程，展开后利用可转化为普通方程.（2）利用椭圆的参数方程设出动点的坐标，根据三角形的面积为求出其到直线的距离为，也即是，从而求出，也就得到的坐标.
解析：（1）曲线 ，故曲线 的参数方程为(为参数)
直线 的普通方程为：.
（2）设曲线 上点 ，点到直线的距离为，则，又 ，故 ，当 时取等号，即 ，此时 ，故在曲线上存在点，使得的面积，点的坐标为.
23. 设函数.
（1）若，求不等式的解集；
（2）若对任意满足的实数，都有成立，求证：.
【答案】（1）解集为；（2）见解析.
【解析】试题分析：（1）由题设知，利用零点分类讨论去掉绝对值符号解出对应范围上的不等式的解即可.（2）由可以得到两个关于的不等式和 ，利用绝对值不等式的性质可以到................
解析：（1）由得
，故的解集为.
（2）证明：由对任意满足的实数，都有.令 得，令得 ，故.
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