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福州市2018届高三上学期期末考试
理科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2.若复数的模为，则实数（ ）
A．1 B． C． D．
3.下列函数为偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
4.若，则（ ）
A． B． C． D．
5.已知圆锥的高为3，它的底面半径为，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积等于（ ）
A． B． C． D．
6.已知函数则函数的零点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7.如图的程序框图的算法思路源于我国古代著名的“孙子剩余定理”，图中的表示正整数 除以正整数后的余数为，例如.执行该程序框图，则输出的等于（ ）
A．23 B．38 C．44 D．58
8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）
A．14 B． C． D．
9.已知圆，抛物线上两点与，若存在与直线平行的一条直线和与都相切，则的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
10.不等式组的解集记为.有下列四个命题：
其中真命题的是（ ）
A． B． C． D．
11.已知双曲线的左、右焦点分别为，点在上，，线段交于点，且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12.设数列的前项和为，，且.若，则的最大值为（ ）
A．51 B．52 C．53 D．54
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知单位向量满足，则的夹角为 ．
14.设为正整数，展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为 ．
15.将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则的值为 ．
16.如图，已知一块半径为1的残缺的半圆形材料，为半圆的圆心，.现要在这块材料上裁出一个直角三角形.若该三角形一条边在上，则裁出三角形面积的最大值为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知数列中，.设.
（1）证明：数列是等比数列；
（2）设，求数列的前项的和.
18.已知菱形的边长为2，.是边上一点，线段交于点.
（1）若的面积为，求的长；
（2）若，求.
19.如图，在四棱锥中，，.
（1）证明：平面平面；
（2）若，求二面角的余弦值.
20.已知为椭圆的右焦点，为上的任意一点.
（1）求的取值范围；
（2）是上异于的两点，若直线与直线的斜率之积为，证明:两点的横坐标之和为常数.
21.已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若且，求证：.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线（为参数，）.在以为极点，
轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线.
（1）若与曲线没有公共点，求的取值范围；
（2）若曲线上存在点到距离的最大值为，求的值.
23.选修4-5：不等式选讲
设函数.
（1）求不等式的解集；
（2）已知关于的不等式的解集为，若，求 实数的取值范围.
参考答案
一、选择题
1-5: BCBCB 6-10: CADCA 11、12：BA
二、填空题
13. 14. 112 15. 16.
三、解答题
17.解：（1）证明：因为，，
所以，
又因为，
所以数列是以1为首项，以2为公比的等比数列.
（2）由（1）知，
因为，
所以，
所以
.
18.解：解法一：（1）依题意，得，
因为的面积，
所以，
所以，
解得，
根据余弦定理，得
.
（2）依题意，得，设，则，
在中，由正弦定理得，
因为，
所以，
所以
所以.
解法二：（1）同解法一.
（2）依题意，得，设，则，
在中，设，因为，则，
由余弦定理，得，
得，
解得，或.
又因为，所以，所以，
所以，
在中，由正弦定理，得，
得.
19.解：（1）证明：因为，
所以.
因为，所以，
所以，
因为，
所以平面.
因为平面，
所以平面平面.
（2）由（1）知，平面，故以点为坐标原点，分别以的方向为轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
所以，
所以，
设平面的法向量为，
则，
所以，
取，则，
又因为平面的一个法向量为，
所以，
所以二面角的余弦值为.
20.解：解法一：（1）依题意得，所，
所以的右焦点坐标为，
设上的任意一点的坐标为，
则，
所以
，
又因为，所以，
所以，
所以的取值范围为.
（2）设三点坐标分别为，
设直线斜率分别为，则直线方程为，
由方程组消去，得
，
由根与系数关系可得，
故，
同理可得，
又，
故，
则，
从而.
即两点的横坐标之和为常数.
解法二：（1）依题意得，所，
所以的右焦点坐标为，
设上的任意一点的坐标为，
设上的任意一点的坐标为，
则，
又因为，所以，
所以，
所以的取值范围为.
（2）设两点坐标分别为，线段的中点分别为，点的坐标为，直线的斜率分别为，
由方程组得，
所以，
所以，
所以，
又因为，
所以，
所以，
所以的中点在上，
同理可证：的中点在上，
所以点为线段的中点.
根据椭圆的对称性，
所以两点的横坐标之和为常数.
21.解：解法一：（1）函数的定义域为，
，
①若时，则，在上单调递减；
②若时，当时，；
当时，；
当时，.
故在上，单调递减；在上，单调递増；
③若时，当时，；
当时，；当时，.
故在上，单调递减；在上，单调递増.
（2）若且，
欲证，
只需证，
即证.
设函数，则.
当时， .故函数在上单调递增.
所以.
设函数，则.
设函数，则.
当时，，
故存在，使得，
从而函数在上单调递增；在上单调递减.
当时，，当时，
故存在，使得，
即当时，，当时，
从而函数在上单调递增；在上单调递减.
因为，
故当时，
所以，
即.
解法二：（1）同解法一.
（2）若且，
欲证，
只需证，
即证.
设函数，则.
当时， .故函数在上单调递增.
所以.
设函数，
因为，所以，所以，
又，所以，
所以，
即原不等式成立.
解法三：（1）同解法一.
（2）若且，
欲证，
只需证，
由于，则只需证明，
只需证明，令，
则，
则函数在上单调递减，则，
所以成立，
即原不等式成立.
22.解：（1）因为直线的极坐标方程为，即，
所以直线的直角坐标方程为；
因为（参数，）
所以曲线的普通方程为，
由消去得，，
所以，
解得，
故的取值范围为.
（2）由（1）知直线的直角坐标方程为，
故曲线上的点到的距离，
故的最大值为
由题设得，
解得.
又因为，所以.
23.解：（1）因为，所以，
，
或或
解得或或，
所以，
故不等式的解集为.
（2）因为，
所以当时，恒成立，
而，
因为，所以，即，
由题意，知对于恒成立，
所以，故实数的取值范围.
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