吕梁市2017-2018学年度高三年级第一次模拟考试
文科数学
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2.已知是虚数单位，复数的虚部为（ ）
A． 1 B． C． -1 D．
3.若，，且，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D． 或
4. 的内角的对边分别为，已知，，，则（ ）
A． 3 B． 1 C.1或3 D．无解
5.如图为几何体的三视图，则其体积为（ ）
A． B． C. D．
6.函数在单调递增，且关于对称，若，则的的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
7. 为双曲线右焦点，为双曲线上的点，四边形为
平行四边形，且四边形的面积为，则双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C. D．
8.已知变量满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
9. 世界数学名题“问题”：任取一个自然数，如果它是偶数，我们就把它除以2，如果它是奇数，我们就把它乘3再加上1，在这样一个变换下，我们就得到了一个新的自然数，如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，猜想：反复进行上述运算后，最后结果为1，现根据此问题设计一个程序框图如下图，执行该程序框图，若输入的，则输出（ ）
A．5 B． 7 C. 8 D．9
10.函数的图像大致为（ ）
A． B．
C. D．
11.将函数的图像向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到的图像，若，且，则的最大值为（ ）
A． B． C. D．
12. 已知点在同一个球的球面上，，，若四面体的体积为，球心恰好在棱上，则这个球的表面积为（ ）
A． B． C. D．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知，则 ．
14.从圆内任意一点，则到直线的距离小于的概率为 ．
15.已知函数满足且的导数，则不等式的解集为 ．
16.已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，以为圆心的圆与线段相交于点，且被直线截得的弦长为，若，则 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知是首项为1的等比数列，数列满足，，且
.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
18. 某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，得到如图的频率分布直方图（图1）.
（1）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；
（2）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1～50名和951～1000名的学生进行了调查，得到图2中数据，根据表中的数据，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系？
19. 在如图所示的多面体中，已知，，是正三角形，，，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）求到平面的距离.
20. 已知椭圆过，且离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过右焦点的直线与椭圆交于两点，点坐标为，求直线的斜率之和.
21. 已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若恒成立，求的值.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线.
（1）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求的极坐标方程；
（2）射线与异于极点的交点为，与的交点为，求.
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数，.
（1）若关于的不等式的解集为，求实数的值；
（2）若对于任意的恒成立，求实数的取值范围.
试卷答案
一、 1-5 BACCD 6-10 DBBCA 11-12 AD
4.【解析】由余弦定理得，即，所以或3.选C
5.【解析】几何体形状如图所示：是由半个圆柱和一个四棱锥的组合体，所以选D
6.【解析】.由为偶函数，所以，又 在单调递增，所以，即.选D
7.【解析】设，x0>0,y0>0.∵四边形为平行四边形，∴，∵四边形的面积为，∴，即，∴，代入双曲线方程得， ∵，∴．选B.
10.【解析】函数不是偶函数，可以排除C,D，又令得极值点为，所以排除B，选A
11. 【解析】由题意得，故，，
由，得，
由得
即,由，得
故当时最大，即，故选A.
12. 【解析】如图所示，设AC的中点为M，由已知AB⊥BC所以底面三角形ABC外接圆的圆心为M，所以OM⊥平面ABC,又OM//DC,所以DC⊥平面ABC，由四面体的体积为，得DC=2
所以DA=4，球的半径为2,由球的表面积公式得球的表面积为16π.选Ｄ
二、选择题
13. 2
14.
【解析】如图所示满足条件的点P构成阴影部分区域，由一个直角边为2的等腰直角三角形和两个圆心角为45°的扇形组成．这是一个几何概型，不难求得P到直线x+y=1的距离小于的概率为.
15.{x|x>1或x1或x)在抛物线上，则8=2p2，解得：p=2，
∴|AF|===1.
三．解答题
17.解：（Ⅰ）把代入已知等式得，
所以
所以是首项为1，公比为3的等比数列，
即
（Ⅱ）由已知得，
所以是首项为2公差为3的等差数列，
其通项公式为
18．解（Ⅰ）由图可知，第一组有3人，第二组7人，第三组27人，
设后四组的频数构成的等差数列的公差为d,
则（27-d）+(27-2d)+(27-3d)=63，解得d=3
所以后四组频数依次为
所以视力在5.0以下的频率为3+7+27+24+21=82人，
故全年级视力在5.0以下的人数约为1000×＝820(人)
（Ⅱ）
因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系.
19. 解：（Ⅰ）取的中点，连接，因为的中点，
所以，又AB,
所以，四边形为平行四边形，
所以MB//AF,
因为平面，平面，
所以平面
（Ⅱ）因为是正三角形，所以,
在中，，
所以，故，
∴DE⊥AC，又DE⊥AD,AC∩AD=A
∴DE⊥平面ACD
∴DE⊥AF,又AF⊥CD，由（Ⅰ）得BM∥AF
∴DE⊥BM, BM⊥CD，DE∩CD=D
∴BM⊥平面CDE，BM平面BCE
∴平面BCE⊥平面CDE
（Ⅲ）连接DM，由于DE=DC
∴DM⊥CE
由（Ⅱ）知，平面BCE⊥平面CDE，
∴DM⊥平面BCE
所以DM为D到平面BCE的距离，DM=
所以D到平面BCE的距离为
20.（Ⅰ）解：由已知得
解之得，a=2，b=，c=1
所以椭圆方程为
（Ⅱ）设，由(1)得，设直线的方程为与椭圆联立得 消去x得，
所以
所以
当直线斜率不存在时，A(1, －)，B(1, )，
所以的斜率之和为2
21.解：（Ⅰ）函数的定义域为
由得，
当时，；当时，.
所以在单调递减，在单调递增
（Ⅱ）由（Ⅰ）得在时有极小值，也就是最小值.
所以
即也就是
设，
由得，.
当时，；当时，.
所以在单调递增，在单调递减.
所以的最大值为.
所以又，所以即
22.解：（Ⅰ）曲线:（为参数）化为普通方程为，
所以曲线的极坐标方程为，
曲线的极坐标方程为.
（Ⅱ）射线与曲线的交点的极径为，
射线与曲线的交点的极径满足，
解得，
所以
23.解：（Ⅰ）由，可得，
所以，
由题意得，
所以.
（Ⅱ）若恒成立，则有恒成立，
因为，
当且仅当时取等号，
所以
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