安康市2017～2018学年第一学期高二年级期末考试
文科数学
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2.设是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3.若满足约束条件，则的最大值为（ ）
A．16 B．20 C．24 D．28
4.已知命题，；，，则在命题，，和中，真命题是（ ）
A． B． C. D．
5.设，，，则（ ）
A． B． C. D．
6.设函数，曲线在点处的切线的倾斜角为，则（ ）
A． B． C.-1 D．1
7.已知是等差数列的前项和，，，若成等比数列，则正整数（ ）
A．3 B．4 C.5 D．6
8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）
A． B． C. D．
9.执行如图所示程序框图，若输入的，则输出的（ ）
A． B． C. 2 D．
10.已知分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点，且，则的面积为（ ）
A． B． C. D．
11.已知点，，且点是圆上的动点，则面积的最大值为（ ）
A． B． C. D．6
12.已知抛物线的焦点为，直线过点交抛物线于两点，若，，则（ ）
A．1 B． C. D．3
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知非零向量满足，，则与的夹角为 ．
14.已知的内角满足，，则角 ．
15.若函数恰好有两个零点，且，则的值为 ．
16.已知是椭圆上异于点，的一点，的离心率为，则直线与的斜率之积为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知分别为内角的对边，且.
（1）求角；
（2）若，求面积的最大值.
18.如图，为正方形的中心，四边形是平行四边形，且平面平面，，.
（1）证明：平面；
（2）线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
19.某高校自主招生一次面试成绩的茎叶图和频率分布直方图均受到了不同程度的损坏，其可见部分信息如下，据此解答下列问题：
（1）求参加此次高校自主招生面试的总人数，面试成绩的中位数及分数在内的人数；
（2）若从面试成绩在内的学生中任选两人进行随机复查，求恰好有一人分数在内的概率.
20.已知数列的前项和，数列的前项和.
（1）求数列与的通项公式；
（2）求数列的前项和.
21.已知椭圆的焦距为，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线交于、两点，为坐标原点，的面积为，求直线的方程.
22.设函数.
（1）若，求的极值；
（2）若在定义域上单调递增，求实数的取值范围.
试卷答案
一、选择题
1-5:ADCBA 6-10:ADBCA 11、12：BC
二、填空题
13. 14. 15.4 16.
三、解答题
17.解析：（1）∵，∴由正弦定理可得，
∵在中，，∴，
∵，∴.
（2）由余弦定理得，∴，
∵，∴，当且仅当时取等号，
∴，
即面积的最大值为.
18.解析：（1）连接，在正方形中，.
∵，，，∴，
∴平行四边形为菱形，∴.
又平面平面，∴平面，∴，
而，∴平面.
（2）存在线段的中点，使得平面.
∵为的中点，为的中点，∴.
∵平面，平面，
∴平面，此时.
19.解析：（1）面试成绩在内的频数为2，由，得.
由茎叶图可知面试成绩的中位数为.
由频率分布直方图可以看出，分数在内有2人，
故分数在内的人数为.
（2）将内的4人编号为，内的2人编号为，在内任取两人的基本事件为：，，，共15个，其中恰好有一人分数在内的基本事件为：，，共8个，
∴恰好有一人分数在内的概率为.
20.解析：（1）当时，，
当时，也符合，∴.
∵，∴当时，，两式相减得，∴，
∵，∴，∴.
（2）由（1）可知，设数列的前项和为，
则，，
相减得，
∴，即数列的前项和为.
21.解析：（1）由已知得，解得，
∴椭圆的方程为.
（2）设、，由题知直线的斜率不可能是0，设，
联立，消去得，
∴，，
，解得，
∴直线的方程为或.
22.解析：（1）定义域为.当时，且.
令，则，故在定义域上是减函数，注意到，
∴当时，，此时；
当时，，此时.
∴的极大值为，无极小值.
（2）当时，，故，
令，∴，
由得，由得，
故的最大值为，∴，.
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