章末复习(二) 勾股定理
01 基础题
知识点1 勾股定理
1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12，则AC＝(C)
A. 6 B．6
C．6 D. 12
第1题图 第2题图
2．如图，阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为64．
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD＝2．
4．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，CD⊥AD，AD2＋CD2＝2AB2.求证：AB＝BC.
证明：连接AC.
∵在△ABC中，∠B＝90°，
∴AB2＋BC2＝AC2.
∵CD⊥AD，
∴∠ADC＝90°.
∴AD2＋CD2＝AC2.
∵AD2＋CD2＝2AB2，
∴AB2＋BC2＝2AB2.
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∴BC2＝AB2.
∵AB＞0，BC＞0，
∴AB＝BC.
知识点2 勾股定理的应用
5．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8 m处，发现此时绳子末端距离地面2 m，则旗杆的高度为(滑轮上方的部分忽略不计)(D)
A．12 m B．13 m
C．16 m D．17 m
第5题图 第6题图
6．已知A，B，C三地位置如图所示，∠C＝90°，A，C两地的距离是4 km，B，C两地的距离是3 km，则A，B两地的距离是5km；若A地在C地的正东方向，则B地在C地的正北方向．
7．(2016·烟台)如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应－3，3，作腰长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为．
知识点3 逆命题与逆定理
8．“同旁内角互补”的逆命题是互补的两个角是同旁内角，它是假命题．
知识点4 勾股定理的逆定理及其应用
9．在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，则该三角形为(B)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
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02 中档题
10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，点D在BC上，∠ADC＝2∠B，AD＝，则BC的长为(D)
A.－1 B.＋1
C.－1 D.＋1
第10题图 第11题图
11．(2016·漳州)如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上的动点(不含端点B，C)．若线段AD长为正整数，则点D的个数共有(C)
A．5个 B．4个
C．3个 D．2个
12．如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为(C)
A．90° B．60°
C．45° D．30°
第12题图 第13题图
13．如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB，CD，EF，GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是(B)
A．CD，EF，GH B．AB，EF，GH
C．AB，CD，EF D．GH，AB，CD
14．若一个三角形的周长为12 cm，一边长为3 cm，其他两边之差为 cm，则这个三角形是直角三角形．
15．有一块空白地，如图，∠ADC＝90°，CD＝6 m，AD＝8 m，AB＝26 m，BC＝24 m．试求这块空白地的面积．
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解：连接AC.
∵∠ADC＝90°，
∴△ADC是直角三角形．
∴AD2＋CD2＝AC2，即82＋62＝AC2，
解得AC＝10.
又∵AC2＋CB2＝102＋242＝262＝AB2，
∴△ACB是直角三角形，∠ACB＝90°
∴S四边形ABCD＝SRt△ACB－SRt△ACD
＝×10×24－×6×8
＝96(m2)．
故这块空白地的面积为96 m2.
16．小明将一副三角板按如图所示摆放在一起，发现只要知道其中一边的长就可以求出其他各边的长，若已知CD＝2，求AC的长．
解：∵BD＝CD＝2，
∴BC＝＝2.
∴设AB＝x，则AC＝2x.
∴x2＋(2)2＝(2x)2.
∴x2＋8＝4x2.
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∴x2＝.
∴x＝.
∴AC＝2AB＝.
03 综合题
17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内一点，且PA＝3，PB＝1，CD＝PC＝2，CD⊥CP，求∠BPC的度数．
解：连接BD.
∵CD⊥CP，CP＝CD＝2，
∴△CPD为等腰直角三角形．
∴∠CPD＝45°.
∵∠ACP＋∠BCP＝∠BCP＋∠BCD＝90°，
∴∠ACP＝∠BCD.
∵CA＝CB，
∴△CAP≌△CBD(SAS)．
∴DB＝PA＝3.
在Rt△CPD中，DP2＝CP2＋CD2＝22＋22＝8.
又∵PB＝1，DB2＝9，
∴DB2＝DP2＋PB2＝8＋1＝9.
∴∠DPB＝90°.
∴∠CPB＝∠CPD＋∠DPB＝45°＋90°＝135°.
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