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2018年莆田市高中毕业班教学质量检测试卷
数学（文科）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2.设复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
3.等比数列的前项和为，已知，，则（ ）
A． B． C．14 D．15
4.执行下面的程序框图，如果输入的，则输出的（ ）
A．5 B．6 C.8 D．13
5.为了解某校一次期中考试数学成绩情况，抽取100位学生的数学成绩，得如图所示的频率分布直方图，其中成绩分组区间是，则
估计该次数学成绩的中位数是（ ）
A．71.5 B．71.8 C.72 D．75
6.“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．干支是天干和地支的总称．把干支顺序相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”．甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、葵等十个符号叫天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥等十二个符号叫地支．如：公元1984年农历为甲子年、公元1985年农历为乙丑年，公元1986年农历为丙寅年．则公元2047年农历为（ ）
A．乙丑年 B．丙寅年 C.丁卯年 D．戊辰年
7.已知为坐标原点，为抛物线的焦点，过作直线与交于两点．若，则重心的横坐标为（ ）
A． B．2 C. D．3
8.已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为 B．在区间上是增函数
C. 的图像关于点对称 D．的图像关于直线对称
9.甲乙两人被安排在某月1日至4日值班，每人各值班两天，则甲、乙均不连续值班的概率为（ ）
A． B． C. D．
10.如图，网络纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
A．三棱锥 B．四棱锥 C.三棱柱 D．四棱柱
11.已知圆．若是圆上不同两点，以为边作等边，则的最大值是（ ）
A． B． C. 2 D．
12.已知直三棱柱外接球的表面积为，．若分别为棱上的动点，且，则直线被该三棱柱外接球球面截得的线段长为（ ）
A． B．2 C.4 D．不是定值
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共4小题，每题小5分，共20分．
13.已知向量，．若，则 ．
14.若满足约束条件，则的最大值为 ．
15.已知数列满足，，则 ．
16.已知是上的偶函数，且．若关于的方程有三个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）如图，若，为外一点，，，求四边形的面积．
18.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：千元）对年销售量（单位：）和年利润（单位：千元）的影响，对近13年的宣传费和年销售量数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
由散点图知，按建立关于的回归方程是合理的．令，则，经计算得如下数据：
10.15
109.94
0.16
-2.10
0.21
21.22
（1）根据以上信息，建立关于的回归方程；
（2）已知这种产品的年利润与的关系为．根据（1）的结果，求当年宣传费时，年利润的预报值是多少？
附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．
19.如图，四棱锥中，底面是平行四边形，分别为中点．
（1）证明：平面；
（2）若是等边三角形，平面平面，，，求三棱锥的体积．
20.已知两定点，，动点使直线的斜率的乘积为．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点的直线与交于两点，是否存在常数，使得？并说明理由．
21.已知函数，．
（1）若在定义域上是增函数，求的取值范围；
（2）若存在，使得，求的值，并说明理由．
（二）选考题：共10分．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（是参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
（1）求的直角坐标方程和的普通方程；
（2）与相交于两点，设点为上异于的一点，当面积最大时，求点到的距离．
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，求的取值范围．
试卷答案
一、选择题
1-5:DBDCC 6-10:CBDBA 11、12：CA
二、填空题
13. 14.4 15. 16.
三、解答题
17.解：（1）在中，由正弦定理得，
又，所以，
故，
所以，
又，所以，故，
又，所以．
（2）因为，故，
在中，，
所以，故，
所以，
又，，
所以，
又，
所以四边形的面积为．
18.解：（1），
，
则关于的回归方程为．
（2）依题意，
当时，，
所以年利润的预报值是1090.4.
19.解：（1）取中点，连结．
因为中，分别为中点，
所以．
又因为四边形是平行四边形，所以．
又是中点，所以，所以．
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，
所以平面．
（2）取中点，连结，则，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面．
又由（1）知平面，所以．
又因为为中点，
所以．
所以三棱锥的体积为．
20.解：（1）设，由，
得，即．
所以动点的轨迹方程是．
（2）因为，当直线的斜率为0时，与曲线没有交点，不合题意，
故可设直线的方程为，
联立，消去得，
设，则，，
．
．
故存在实数，使得恒成立．
21.解：（1）因为在定义域上为增函数．
所以在上恒成立，
即在上恒成立．
令，，则，
所以在上为减函数，故，所以．
故的取值范围为．
（2）因为，
取，得，又，所以．
所以存在整数，当时，．
令，则，
令，得．
，的变化情况如下表：
所以时，取到最小值，且最小值为．
即．
令，则，
令，由，得，
所以当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以，即．
因此，从而在上单调递增，
所以，即．
综上，．
22.解：（1）因为直线的极坐标方程为，
所以，
所以直线的直角坐标方程为．
曲线的参数方程为，（是参数），
所以曲线的普通方程为．
（2）直线与曲线相交于两点，所以为定值．
要使的面积最大，只需点到直线的距离最大．
设点为曲线上任意一点．
则点到直线的距离，
当时，取最大值为．
所以当面积最大时，点到的距离为．
23.解：（1）当时，不等式，即．
可得，或，或．
解得．
所以不等式的解集为．
（2）因为．
当且仅当时，取得最小值．
又因为对任意的恒成立，所以，
即，故，解得．
所以的取值范围为．
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