1．(2017·北京卷)已知点P在圆x2＋y2＝1上，点A的坐标为(－2，0)，O为原点，则·的最大值为________．
解析：法一 由题意知，＝(2，0)，令P(cos α，sin α)，则＝(cos α＋2， sin α)，
·＝(2，0)·(cos α＋2，sin α)＝2cos α＋4≤6，故·的最大值为6.
法二 由题意知，＝(2，0)，令P(x，y)，－1≤x≤1，
则·＝(2，0)·(x＋2，y)＝2x＋4≤6，故·的最大值为6.
答案：6
2.( 2017·天津卷)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC＝120°，则圆的方程为____________．
3．【2017江苏，13】在平面直角坐标系中,点在圆上,若则点的横坐标的取值范围是 ▲ .
【答案】
【解析】设，由，易得，由，可得或，由得P点在圆左边弧上，结合限制条件
，可得点P横坐标的取值范围为．
4.【2016高考新课标2理数】圆的圆心到直线的距离为1，则a=（ ）
（A） （B） （C） （D）2
【答案】A
【解析】圆的方程可化为，所以圆心坐标为，由点到直线的距离公式得：
，解得，故选A．
5.【2016高考上海理数】已知平行直线，则的距离___________.
【答案】
【解析】利用两平行线间距离公式得.
6.【2016高考新课标3理数】已知直线：与圆交于两点，过分别做的垂线与轴交于两点，若，则__________________.
【答案】4
7.【2016高考新课标1卷】（本小题满分12分）设圆的圆心为A,直线l过点B（1,0）且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.
（I）证明为定值,并写出点E的轨迹方程；
（II）设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.
【答案】（Ⅰ）（）（II）
【解析】（Ⅰ）因为，，故，
所以，故.
又圆的标准方程为，从而，所以.
由题设得，，，由椭圆定义可得点的轨迹方程为：
（）.
（Ⅱ）当与轴不垂直时，设的方程为，，.
由得.
则，.
所以.
过点且与垂直的直线：，到的距离为，所以
.故四边形的面积
.
可得当与轴不垂直时，四边形面积的取值范围为.
当与轴垂直时，其方程为，，，四边形的面积为12.
综上，四边形面积的取值范围为.
8.【2016高考江苏卷】（本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆及其上一点
（1）设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程；
（2）设平行于的直线与圆相交于两点，且,求直线的方程；
（3）设点满足：存在圆上的两点和,使得,求实数的取值范围。
【答案】（1）（2）（3）
（2）因为直线l∥OA，所以直线l的斜率为.
设直线l的方程为y=2x+m，即2x-y+m=0，
则圆心M到直线l的距离
因为
而
所以，解得m=5或m=-15.
故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.
（3）设
因为，所以 ……①
因为点Q在圆M上，所以 …….②
将①代入②，得.
于是点既在圆M上，又在圆上，
从而圆与圆没有公共点，
所以 解得.
因此，实数t的取值范围是.
易错起源1、直线的方程及应用
例1、(1)已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是( )
A．1或3 B．1或5
C．3或5 D．1或2
(2)已知两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m的值为( )
A．0或－ B.或－6
C．－或 D．0或
答案 (1)C (2)B
解析 (1)两直线平行，则A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0或B1C2－B2C1≠0，所以有－2(k－3)－2(k－3)(4－k)＝0，解得k＝3或5，且满足条件，故正确答案为C.
(2)依题意，得＝.
所以|3m＋5|＝|m－7|.
所以(3m＋5)2＝(m－7)2，
所以8m2＋44m－24＝0.
所以2m2＋11m－6＝0.
所以m＝或m＝－6.
【变式探究】已知直线l1：ax＋2y＋1＝0与直线l2：(3－a)x－y＋a＝0，若l1⊥l2，则a的值为( )
A．1 B．2
C．6 D．1或2
答案 D
解析 由l1⊥l2，则a(3－a)－2＝0，
即a＝1或a＝2，选D.
【名师点睛】
(1)求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在的情况；
(2)对解题中可能出现的特殊情况，可用数形结合的方法分析研究．
【锦囊妙计，战胜自我】
1．两条直线平行与垂直的判定
若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．
2．求直线方程
要注意几种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x
轴垂直．而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．
3．两个距离公式
(1)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，
l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝.
(2)点(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝.
易错起源2、圆的方程及应用
例2、(1)若圆C经过(1,0)，(3,0)两点，且与y轴相切，则圆C的方程为( )
A．(x－2)2＋(y±2)2＝3 B．(x－2)2＋(y±)2＝3
C．(x－2)2＋(y±2)2＝4 D．(x－2)2＋(y±)2＝4
(2)已知圆M的圆心在x轴上，且圆心在直线l1：x＝－2的右侧，若圆M截直线l1所得的弦长为2，且与直线l2：2x－y－4＝0相切，则圆M的方程为( )
A．(x－1)2＋y2＝4 B．(x＋1)2＋y2＝4
C．x2＋(y－1)2＝4 D．x2＋(y＋1)2＝4
答案 (1)D (2)B
解析 (1)因为圆C经过(1,0)，(3,0)两点，所以圆心在直线x＝2上，又圆与y轴相切，所以半径r＝2，设圆心坐标为(2，b)，则(2－1)2＋b2＝4，b2＝3，b＝±，所以选D.
【变式探究】(1)一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________________．
(2)两条互相垂直的直线2x＋y＋2＝0和ax＋4y－2＝0的交点为P，若圆C过点P和点M(－3,2)，且圆心在直线y＝x上，则圆C的标准方程为______________．
答案 (1)2＋y2＝
(2)(x＋6)2＋(y＋3)2＝34
解析 (1)由题意知圆过(4,0)，(0,2)，(0，－2)三点，
(4,0)，(0，－2)两点的垂直平分线方程为y＋1＝－2(x－2)，
令y＝0，解得x＝，圆心为，半径为.
得该圆的标准方程为(x－)2＋y2＝.
(2)由直线2x＋y＋2＝0和直线ax＋4y－2＝0垂直得2a＋4＝0，故a＝－2，代入直线方程，联立解得交点坐标为P(－1,0)，易求得线段MP的垂直平分线的方程为x－y＋3＝0，设圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2 (r>0)，则圆心(a，b)为直线x－y＋3＝0与直线y＝x的交点，由解得圆心坐标为(－6，－3)，从而得到r2＝34，所以圆C的标准方程为(x＋6)2＋(y＋3)2＝34.
【名师点睛】
解决与圆有关的问题一般有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．
【锦囊妙计，战胜自我】
1．圆的标准方程
当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2＝r2.
2．圆的一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0，表示以(－，－)为圆心，为半径的圆．
易错起源3、直线与圆、圆与圆的位置关系
例3、(1)已知直线2x＋(y－3)m－4＝0(m∈R)恒过定点P，若点P平分圆x2＋y2－2x－4y－4＝0的弦MN，则弦MN所在直线的方程是( )
A．x＋y－5＝0 B．x＋y－3＝0
C．x－y－1＝0 D．x－y＋1＝0
(2)已知P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k>0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为( )
A．3 B.
C．2 D．2
答案 (1)A (2)D
解析 (1)对于直线方程2x＋(y－3)m－4＝0(m∈R)，取y＝3，则必有x＝2，所以该直线恒过定点P(2,3)．
设圆心是C，则易知C(1,2)，
所以kCP＝＝1，
由垂径定理知CP⊥MN，所以kMN＝－1.
又弦MN过点P(2,3)，
故弦MN所在直线的方程为y－3＝－(x－2)，
即x＋y－5＝0.
(2)如图，把圆的方程化成标准形式得x2＋(y－1)2＝1，所以圆心为(0,1)，半径为r＝1，四边形PACB的面积S＝2S△PBC，所以若四边形PACB的最小面积是2，则S△PBC的最小值为1.而S△PBC＝r·|PB|，即|PB|的最小值为2，此时|PC|最小，|PC|为圆心到直线kx＋y＋4＝0的距离d，此时d＝＝＝，
即k2＝4，因为k>0，所以k＝2.
【变式探究】(1)若直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是( )
A．－2或12 B．2或－12
C．－2或－12 D．2或12
(2)已知在平面直角坐标系中，点A(2，0)，B(0,1)到直线l的距离分别为1,2，则这样的直线l共有________条．
答案 (1)D (2)3
【名师点睛】
(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．
(2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题．
【锦囊妙计，战胜自我】
1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法主要有点线距离法和判别式法．
(1)点线距离法：设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，则dr⇔直线与圆相离．
(2)判别式法：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，方程组消去y，得关于x的一元二次方程根的判别式Δ，则直线与圆相离⇔Δ0.
2．圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离．
设圆C1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r，圆C2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r，两圆心之间的距离为d，则圆与圆的五种位置关系的判断方法如下：
(1)d>r1＋r2⇔两圆外离；
(2)d＝r1＋r2⇔两圆外切；
(3)|r1－r2|
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