河北武邑中学2018届高三年级第二学期第一次质量检测考试
数学试题（理）
第Ⅰ卷 选择题（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则等于（ ）
A． B． C． D．
2.设复数满足，则 （ ）
A． B．2 C． D．
3. 《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（ ）
A． B． C． D．
4. 执行如右图所示的程序框图，则输出的的值是（ ）
A． 7 B． 6 C. 5 D．3
5. 已知直线的方程为，则“直线平分圆的周长”是“”的（ ）
A． 充分不必要条件 B．必要不充分条件 C. 充要条件 D．既不充分也不必要条件
6.已知，点为斜边的中点，，则等于 （ ）
A． -14 B．-9 C. 9 D．14
7. 已知，则展开式中的系数为（ ）
A．24 B． 32 C. 44 D．56
8.定义运算：，将函数的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值是 （ ）
A． B． C. D．
9. 设满足约束条件，若目标函数仅在点处取得最小值，则的取值范围为（ ）
A． B． C. D．
10. 已知双曲线的实轴长为16，左焦点为，是双曲线的一条渐近线上的点，且为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C. D．
11. 某简单凸多面体的三视图如图所示，其中俯视图和左视图都是直角三角形，主视图是直角梯形，则其所有表面（含底面和侧面）中直角三角形的个数为（ ）
A． 1 B． 2 C. 3 D．4
12.已知函数的定义域为，且满足，其导函数，当时，，且，则不等式的解集为 （ ）
A． B． C. D．
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上
13.已知的内角的对边分别为，若，则的面积 为 ．
14.已知公差不为0的等差数列满足成等比数列，为数列的前项和，则的值为 ．
15.已知，不等式恒成立，则的取值范围是 ．（答案写成集合或区间格式）
16.在四面体中，，二面角的大小为150°，则四面体外接球的半径为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知等比数列的公比，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前的前项和.
18. 如图所示，该几何体是由一个直三棱柱和一个四棱锥组合而成，其中.
（1）证明：平面；
（2）若四棱锥的高2，求二面角的余弦值.
19. 2017年9月，国务院发布了《关于深化考试招生制度改革的实施意见》.某地作为高考改革试点地区，从当年秋季新入学的高一学生开始实施，高考不再分文理科.每个考生，英语、语文、数学三科为必考科目，并从物理、化学、生物、政治、历史、地理六个科目中任选三个科目参加高考.物理、化学、生物为自然科学科目，政治、历史、地理为社会科学科目.假设某位考生选考这六个科目的可能性相等.
（1）求他所选考的三个科目中，至少有一个自然科学科目的概率；
（2）已知该考生选考的三个科目中有一个科目属于社会科学科目，两个科目属于自然科学科目.若该考生所选的社会科学科目考试的成绩获等的概率都是0.8，所选的自然科学科目考试的成绩获等的概率都是0.75，且所选考的各个科目考试的成绩相互独立.用随机变量表示他所选的三个科目中考试成绩获等的科目数，求的分布列和数学期望.
20.已知是抛物线的焦点，关于轴的对称点为，曲线上任意一点满足；直线和直线的斜率之积为.
（1）求曲线的方程；
（2）过且斜率为正数的直线与抛物线交于两点，其中点在轴上方，与曲线交于点，若的面积为的面积为，当时，求直线的方程.
21. 已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）若在上恒成立，求正整数的最小值.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数）以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求圆的普通方程；
（2）直线的极坐标方程是，射线与圆的交点为，与直线的交点为，求线段的长.
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数的最大值为4.
（1）求实数的值；
（2）若求的最小值.
试卷答案
一、选择题
1-5: BDCBB 6-10: CADAA 11、12：AD
二、填空题
13. 14. 2 15. 16.
三、解答题
17.解：（1）∵，∴，∴，又成等差数列，∴，
∴，∴，∴；
（2），
①
②
① -②：，
，∴.
18.（1）证明：直三棱柱中，平面，所以，
又，所以平面；
（2）
由（1）知平面，以为原点，方向为轴建立空间直角坐标系（如图所示），，则，，，，，，，设平面的一个法向量，
则，取，则，所以.
设平面的一个法向量，则，取，则.
所以，所以，
因为二面角的平面角是锐角，所以所求二面角的余弦值为.
19.（1）记“某位考生选考的三个科目中至少有一个科目是自然科学科目”为事件，
则，
所以该位考生选考的三个科目中，至少有一个自然科学科目的概率为；
（2）随机变量的所有可能取值有0，1，2，3，
因为，
，
所以的分布列为
0
1
2
3
所以.
20.解：（1）由题意可知：，设曲线上任意一点坐标，则：
，又，∴，
整理得：，所以曲线的方程为：；
（2）是抛物线的焦点，∴，则抛物线的方程为，
设直线的方程为，将直线的方程代入曲线方程，整理得：，∴，∴，
∴，又因为，可得：，∴，
又因为在抛物线上，，整理得：，
又，∴，∴直线的方程为：，
注：如果设的方程为，计算量小
21.解：（1）函数的定义域为，
由于在上是减函数，
所以当时，；当时，；
所以的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）由在上恒成立，
整理得：在上恒成立即可，
令，
当时，，以及在上，
得在上恒成立，
由（1）知的单调递增区间为，单调递减区间为.
所以有，即恒成立，所以正整数的最小值为1.
22.解：（1）∵ 圆的参数方程为（为参数）
∴圆的普通方程为；
（2）化圆的普通方程为极坐标方程得，
设，则由，解得，
设，则由，解得，
∴
23.解：（1）由，
当且仅当且当时取等号，此时取最大值，即；
（2）由（1）及可知，∴，
则，（当且仅当，即时，取“=”）
∴的最小值为4.
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