2017—2018学年度第一学期高三十模考试
数学试卷（理科）
一、选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）
1.设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2.在复平面内，复数对应的点的坐标为，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.已知中，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
4.设，为的展开式的第一项（为自然对数的底数），，若任取，则满足的概率是（ ）
A． B． C． D．
5.函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
6.已知一个简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为，则该几何体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
7.已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
8.执行如下程序框图，则输出结果为（ ）
A． B． C． D．
9.如图，设椭圆：的右顶点为，右焦点为，为椭圆在第二象限上的点，直线交椭圆于点，若直线平分线段于，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
10.设函数为定义域为的奇函数，且，当时，，则函数在区间上的所有零点的和为（ ）
A． B． C． D．
11.已知函数，其中为函数的导数，求
（ ）
A． B． C． D．
12.已知直线：，若存在实数使得一条曲线与直线有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于，则称此曲线为直线的“绝对曲线”.下面给出的四条曲线方程：
①；②；③；④.
其中直线的“绝对曲线”的条数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）
13.已知实数，满足，且，则实数的取值范围 ．
14.双曲线的左右焦点分别为、，是双曲线右支上一点，为的内心，交轴于点，若，且，则双曲线的离心率的值为 ．
15.若平面向量，满足，则在方向上投影的最大值是 ．
16.观察下列各式：
；
；
；
；
……
若按上述规律展开后，发现等式右边含有“”这个数，则
的值为 ．
三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答）
17.已知等差数列中，公差，，且，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若为数列的前项和，且存在，使得成立，求实数的取值范围.
18.为了解学生寒假期间学习情况，学校对某班男、女学生学习时间进行调查，学习时间按整小时统计，调查结果绘成折线图如下：
（1）已知该校有名学生，试估计全校学生中，每天学习不足小时的人数.
（2）若从学习时间不少于小时的学生中选取人，设选到的男生人数为，求随机变量的分布列.
（3）试比较男生学习时间的方差与女生学习时间方差的大小.（只需写出结论）
19.如图所示，四棱锥的底面为矩形，已知，，过底面对角线作与平行的平面交于.
（1）试判定点的位置，并加以证明；
（2）求二面角的余弦值.
20.在平面直角坐标平面中，的两个顶点为，，平面内两点、同时满足：①；②；③.
（1）求顶点的轨迹的方程；
（2）过点作两条互相垂直的直线，，直线，与的轨迹相交弦分别为，，设弦，的中点分别为，.
①求四边形的面积的最小值；
②试问：直线是否恒过一个定点？若过定点，请求出该定点，若不过定点，请说明理由.
21.已知函数.
（1）当，求函数的图象在处的切线方程；
（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；
（3）已知，，均为正实数，且，求证.
请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]
在极坐标系中，曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴正半轴（两坐标系取相同的单位长度）的直角坐标系中，曲线的参数方程为：（为参数）.
（1）求曲线的直角坐标方程与曲线的普通方程；
（2）将曲线经过伸缩变换后得到曲线，若，分别是曲线和曲线上的动点，求的最小值.
23.[选修4-5：不等式选讲]
已知.
（1）当时，解不等式.
（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.
十模数学答案（理）
一、选择题
1-5: BDACD 6-10: DACCA 11、12：AC
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.解：（1）由题意可得，即.
又因为，所以.所以.
（2）因为，所以.
因为存在，使得成立，所以存在，使得成立，
即存在，使得成立.
又，（当且仅当时取等号），
所以.即实数的取值范围是.
18.解：（1）由折线图可得共抽取了人，其中男生中学习时间不足小时的有人，女生中学习时间不足小时的有人.
∴可估计全校中每天学习不足小时的人数为：人.
（2）学习时间不少于本的学生共人，其中男学生人数为人，故的所有可能取值为，，，，.
由题意可得；
；
；
；
.
所以随机变量的分布列为
∴均值.
（3）由折线图可得.
19.解：（1）为的中点，证明如下：
连接，因为平面，平面平面，平面，所以，又为的中点，所以为的中点.
（2）连接，因为四边形为矩形，所以.因为，所以.同理，得，所以平面，以为原点，为轴，过平行于的直线为轴，过平行于的直线为轴建立空间直角坐标系（如图所示）.
易知，，，，，，
则，.
显然，是平面的一个法向量.设是平面的一个法向量，
则，即，取，
则，
所以，
所以二面角的余弦值为.
20.（1）；（2）①的最小值的，②直线恒过定点.
试题解析：（1）∵，
∴由①知，
∴为的重心.
设，则，由②知是的外心，
∴在轴上由③知，由，得，化简整理得：.
（2）解：恰为的右焦点，
①当直线，的斜率存且不为时，设直线的方程为，
由，
设，，则，，
①根据焦半径公式得，
又，
所以，同理，
则，
当，即时取等号.
②根据中点坐标公式得，同理可求得，
则直线的斜率为，
∴直线的方程为，
整理化简得，
令，解得.
∴直线恒过定点.
②当直线，有一条直线斜率不存在时，另一条斜率一定为，直线即为轴，过点.
综上，的最小值的，直线恒过定点.
21.（1）当时，则，
则，
∴函数的图象在时的切线方程为.
（2）∵函数在上单调递增，∴在上无解，
当时，在上无解满足，
当时，只需，∴①
，
∵函数在上单调递增，∴在上恒成立，
即在上恒成立.
设，
∵，∴，则在上单调递增，
∴在上的值域为.
∴在上恒成立，则②
综合①②得实数的取值范围为.
（3）由（2）知，当时，在上单调递增，
于是当时，，
当时，，
∴，即，
同理有，，
三式相加得.
22.解：（1）∵的极坐标方程是，∴，整理得，∴的直角坐标方程为.
曲线：，∴，故的普通方程为.
（2）将曲线经过伸缩变换后得到曲线的方程为，则曲线的参数方程为（为参数）.设，则点到曲线的距离为.
当时，有最小值，所以的最小值为.
23.解：（1）当时，等式，即，
等价于或或，
解得或，
所以原不等式的解集为；
（2）设，则，
则在上是减函数，在上是增函数，
∴当时，取最小值且最小值为，
∴，解得，∴实数的取值范围为.
微信/支付宝扫码支付