高三数学考试（理科）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数，则（ ）
A．-1 B．1 C． D．
2.设全集，集合，则（ ）
A． B．
C． D．
3.某电视台夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为0.8，0.7，0.6，只有通过前一天才能进入下一关，且通过每关相互独立.一选手参加该节目，则该选手只闯过前两关的概率为（ ）
A．0.56 B．0.336 C．0.32 D．0.224
4.的内角，，所对的边分别为，，.已知，，且，则（ ）
A．6 B． C． D．7
5.如图，网格纸上小正方形的边长均为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
6.若函数在上是增函数，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7.记不等式组，表示的平面区域为，点的坐标为.有下面四个命题：
：，的最小值为6；：，；
：，的最大值为6；：，.
其中的真命题是（ ）
A．， B．， C．， D．，
8.若的展开式中的系数为80，其中为正整数，则的展开式中各项系数的绝对值之和为（ ）
A．32 B．81 C．243 D．256
9.我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于买田的问题：“今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百.今并买一顷，价钱一万.问善、恶田各几何？”其意思为：“今有好田1亩价值300钱；坏田7亩价值500钱.今合买好、坏田1顷，价值10000钱.问好、坏田各有多少亩？”已知1顷为100亩，现有下列四个程序框图，其中的单位为钱，则输出的，分别为此题中好、坏田的亩数的是（ ）
A． B． C． D．
10.若仅存在一个实数，使得曲线：关于直线
对称，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11.设正三棱锥的高为，且此棱锥的内切球的半径为，若二面角的正切值为，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
12.设双曲线：的左顶点与右焦点分别为，，以线段为底边作一个等腰，且边上的高.若的垂心恰好在的一条渐近线上，且的离心率为，则下列判断正确的是（ ）
A．存在唯一的，且
B．存在两个不同的，且一个在区间内，另一个在区间内
C．存在唯一的，且
D．存在两个不同的，且一个在区间内，另一个在区间内
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13.在平行四边形中，若，则 ．
14.若圆：的圆心为椭圆：的一个焦点，且圆经过的另一个焦点，则圆的标准方程为 ．
15.若，，则 ．
16.已知集合，，
，若集合的子集的个数为8，则的取值范围为 ．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.已知数列，的前项和分别为，，，且.
（1）求；
（2）求数列的前项和.
18.某大型超市在2018年元旦举办了一次抽奖活动，抽奖箱里放有3个红球，3个黄球和1个蓝球（这些小球除颜色外大小形状完全相同），从中随机一次性取3个小球，每位顾客每次抽完奖后将球放回抽奖箱.活动另附说明如下：
①凡购物满100（含100）元者，凭购物打印凭条可获得一次抽奖机会；
②凡购物满188（含188）元者，凭购物打印凭条可获得两次抽奖机会；
③若取得的3个小球只有1种颜色，则该顾客中得一等奖，奖金是一个10元的红包；
④若取得的3个小球有3种颜色，则该顾客中得二等奖，奖金是一个5元的红包；
⑤若取得的3个小球只有2种颜色，则该顾客中得三等奖，奖金是一个2元的红包.
抽奖活动的组织者记录了该超市前20位顾客的购物消费数据（单位：元），绘制得到如图所示的茎叶图.
（1）求这20位顾客中奖得抽奖机会的顾客的购物消费数据的中位数与平均数（结果精确到整数部分）；
（2）记一次抽奖获得的红包奖金数（单位：元）为，求的分布列及数学期望，并计算这20位顾客（假定每位获得抽奖机会的顾客都会去抽奖）在抽奖中获得红包的总奖金数的平均值.
19.如图，在各棱长均为2的正三棱柱中，，分别为棱与的中点，，为线段上的动点，其中，更靠近，且.
（1）证明：平面；
（2）若与平面所成角的正弦值为，求异面直线与所成角的余弦值.
20.已知，抛物线：与抛物线：异于原点的交点为，且抛物线在点处的切线与轴交于点，抛物线在点处的切线与轴交于点，与轴交于点.
（1）若直线与抛物线交于点，，且，求；
（2）证明：的面积与四边形的面积之比为定值.
21.已知函数，.
（1）比较与的大小，并加以证明；
（2）当时，，且，证明：.
（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B铅笔将所选题目对应的题号右侧方框涂黑，并且在解答过程中写清每问的小题号.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，且），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为.
（1）将曲线的参数方程化为普通方程，并将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）求曲线与曲线交点的极坐标.
23.[选修4-5：不等式选讲]
已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若直线与函数的图象有公共点，求的取值范围.
高三数学详细参考答案（理科）
一、选择题
1-5: ABDAC 6-10: ACCBD 11、12：CA
二、填空题
13. 2 14. 15. 2 16.
三、解答题
17.解：（1）依题意可得，，…，，
∴.
（2）∵，∴，
∴.
又，∴.
∴，
∴，则，
∴，
故.
18.解：（1）获得抽奖机会的数据的中位数为110，
平均数为.
（2）的可能取值为2，5，10，
，
，
，
则的分布列为
2
5
10
故.
这20位顾客中，有8位顾客获得一次抽奖的机会，有3位顾客获得两次抽奖的机会，
故共有14次抽奖机会.
所以这20位顾客在抽奖中获得红包的总奖金数的平均值为元.
19.解：（1）证明：由已知得为正三角形，为棱的中点，
∴，
在正三棱柱中，底面，则.
又，∴平面，∴.
易证，又，∴平面.
（2）解：取的中点，的中点，则，，
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
设，
则，
易知是平面的一个法向量，
∴，解得.
∴，，，，
∴，
∴异面直线与所成角的余弦值为.
20.（1）解：由，消去得.
设，的坐标分别为，，
则，.
∴，∵，∴.
∴.
（2）证明：由，得或，则.
设直线：，与联立得.
由，得，∴.
设直线：，与联立得.
由，得，∴.
故直线：，直线：，
从而不难求得，，，
∴，，∴的面积与四边形的面积之比为（为定值）.
21.（1）解：.
证明如下：
设，∵为增函数，
∴可设，∵，，∴.
当时，；当时，.
∴，
又，∴，
∴.
∵，∴，
∴，.
（2）证明：设，
令，得，，
则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
，设，
∵，
∴，即.
当时，，则.
当时，，∵，∴，∴.
当或时，不合题意.
从而.
22.解：（1）∵，∴，即，
又，∴，∴或，
∴曲线的普通方程为（或）.
∵，∴，∴，即曲线的直角坐标方程为.
（2）由得，
∴（舍去），，
则交点的直角坐标为，极坐标为.
23.解：（1）由，得或或，
解得，故不等式的解集为.
（2），
作出函数的图象，如图所示，
直线过定点，
当此直线经过点时，；
当此直线与直线平行时，.
故由图可知，.
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