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2018年天津市十二重点中学高三毕业班联考（一）
数 学（文）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．
祝各位考生考试顺利！
第I卷（选择题，共40分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2．选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其它答案，不能答在试卷上。
参考公式：
锥体的体积公式. 其中表示锥体的底面积,表示锥体的高.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
个是正确的。
1. 已知集合,集合，则( )
A． B． C． D．
2. 设实数满足约束条件，则的最小值是( )
A． B． C． D．
3. 执行如图所示的程序框图，输出的值为( )
A． B． C． D．
4．设，则“”是“”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5. 已知双曲线的右焦点到抛物线的准线的距离为
,点是双曲线的一条渐近线与抛物线的一个交点,则双曲线的标准方程为( )
A． B． C． D．
6. 已知是定义在上的偶函数，且在上单调递增，若，
，则的大小关系为( )
A． B． C． D．
7．将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，再向左平移个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则的最小值是( )
A． B． C． D．
8.定义在上的函数满足，当时， ，若函数在内恰有个零点，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
第Ⅱ卷 (非选择题，共110分)
二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上.
9.已知，为虚数单位，若为纯虚数，则的值为________.
10.设函数的图象在点处的切线为，则直线在轴上的截距为________.
11.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________.
12.已知圆的圆心在轴正半轴上，点在圆上，且圆心到直线的距离为，则圆的方程为________.
13．已知,且是与的等差中项，则的最大值为________.
14.在等腰梯形中，已知，，，，动点分别在线段和上，且，，则的取值范围为______.
三.解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）在中，角的对边分别为，，，的面积为．
（Ⅰ）求及的值； （Ⅱ）求的值．
16.（本小题满分13分）为进一步贯彻落实“十九”大精神，某高校组织了“歌颂祖国，紧跟党走”为主题的党史知识竞赛。从参加竞赛的学生中，随机抽取40名学生，将其成绩分为六段，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图.
（Ⅰ）求图中的值；0
（Ⅱ）若从竞赛成绩在与两个分数段的学生中随机选取两名学生，设这两名学生的竞赛成绩之差的绝对值不大于分为事件,求事件发生的概率.
17. (本小题满分13分）如图，三棱柱中，平面,
以为邻边作平行四边形,连接.
（Ⅰ）求证：平面;
（Ⅱ）若二面角为.
求证：平面平面;
求直线与平面所成角的正切值.
18.(本小题满分13分）已知正项等比数列，等差数列满足,，
且是与的等比中项.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和.
19． （本小题满分14分）已知椭圆:的上顶点为,离心率为. 抛物线截轴所得的线段长为的长半轴长.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过原点的直线与相交于两点,直线分别与相交于两点
证明：以为直径的圆经过点；
记和的面积分别是,求的最小值.
20． （本小题满分14分）已知函数
（Ⅰ）讨论函数的单调性 ；
（Ⅱ）若对任意恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）当时，若函数有两个极值点,求
的最大值.
2018年天津市十二重点中学高三毕业班联考（一）
数学试卷（文科） 评分标准
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
A
C
B
D
C
A
C
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9． ； 10．； 11.； 12．； 13． ； 14．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．
15．（本小题满分13分）
在中，角的对边分别为，，，的面积为．
（Ⅰ）求及的值； （Ⅱ）求的值．
解：（Ⅰ）由已知
………………2分
………………4分
在中，
………………6分
（Ⅱ） ………………7分
又
………………13分
0
16.（本小题满分13分）为进一步贯彻落实“十九”大精神，某高校组织了“歌颂祖国，紧跟党走”为主题的党史知识竞赛。从参加竞赛的学生中，随机抽取40名学生，将其成绩分为六段，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图.
（Ⅰ）求图中的值；
（Ⅱ）若从竞赛成绩在与两个分数段的学生中随机选取两名学生，设这两名学生的竞赛成绩之差的绝对值不大于分为事件,求事件发生的概率.
解：（Ⅰ）由于图中所有小矩形的面积之和等于1，
所以………………2分
解得 …………………3分
（Ⅱ）成绩在分数段内的人数为人，分别记为……4分
成绩在分数段内的人数为人，分别记为……5分
在两个分数段内随机选取两名学生，所有的基本事件为：
共15种. ………………9分
事件包含的基本事件有：共7种………………12分
事件发生的概率为……………………13分
17. (本小题满分13分）如图，三棱柱中，平面，，
以为邻边作平行四边形,连接.
（Ⅰ）求证：平面;
（Ⅱ）若二面角为.
求证：平面平面;
求直线与平面所成角的正切值.
解：（Ⅰ）连接 且
为平行四边形 …………………2分
又 //平面………4分
（Ⅱ）取中点M，连接
…………5分
又 为二面角的平面角 …………6分
中，
…………7分
又 …………8分
又 平面
…………9分
（Ⅲ） 所成角与所成角相等………10分
由（2）知 …………11分
为线在平面内的射影
为直线与平面所成角…………12分
在 中，
直线与平面所成角的正切值为…………13分
18.(本小题满分13分）已知正项等比数列，等差数列满足,，
且是与的等比中项.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和.
解：设等比数列的公比为，等差数列的公差为
由是与的等比中项可得：， …………1分
又，则：，解得或
因为中各项均为正数，所以，进而. …………3分
故. …………5分
（Ⅱ）设
设数列的前项和为，数列的前项和为
当为偶数时，…………7分
当为奇数时， …………9分
而 ①
则②
由①-②得：
因此 …………12分
综上： …………13分
19． （本小题满分14分）已知椭圆:的上顶点为,离心率为. 抛物线截轴所得的线段长为的长半轴长.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过原点的直线与相交于两点,直线分别与相交于两点
证明：以为直径的圆经过点；
记和的面积分别是,求的最小值.
解：（Ⅰ）已知.中，令得，，…………1分
又，则，从而
故：椭圆的方程为： …………2分
（Ⅱ）直线的斜率显然存在，设方程为.由得
设 …………4分
由已知，所以
故以为直径的圆经过点 …………6分
设直线:，显然，由，得，
，则， …………8分
由知，直线:
那么 …………9分
由得，解得
，则， …………11分
由知，直线:
那么 …………12分
，
当且仅当时等号成立，即最小值为…………14分
20． （本小题满分14分）
已知函数
（Ⅰ）讨论函数的单调性 ；
（Ⅱ）若对任意恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）当时，若函数有两个极值点,求
的最大值.
解：（Ⅰ）由已知得 …………1分
当时，，在内单调递减.
当时，若，有，若，有，则在上内单调递增，在内单调递减. …………3分
（Ⅱ）令，由
解法一：
当时，，所以在内单调递减，
则有，从而 …………4分
当时，，得，当，有，则在上内单调递增，此时，与恒成立矛盾，因此不符合题意…………6分
综上实数的取值范围为. …………7分
解法二：
当时，，所以在内单调递减，
则有，符合题意. …………4分
当时，，得，当，有，若，有，则在上内单调递增，在内单调递减.又，
因此，即 …………6分
综上实数的取值范围为 …………7分
（Ⅲ），则…………8分
由已知，可得，即方程有2个不相等的实数根，
则， …………9分
解得 ，其中
而
…………11分
由可得，又，所以…………12分
设，
，由，则，故
所以在单调递增，…………13分
当时，取得最大值，最大值为 …………14分
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