海淀区高三年级第二学期期中练习
数 学（文科） 2018.4
本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题纸交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
(1)已知集合，，且，则可以是
(A) (B)0 (C)l (D)2
(2)已知向量a=(l，2)，b=（，0），则a+2b=
(A)（，2） (B)（，4）
(C)(1，2) (D) (1，4）
(3)执行如图所示的程序框图，输出的S值为
(A)2 (B)6
(C)8 (D) 10
(4)如图，网格纸上小正方形的边长为1，若四边形及其内部的点组成的集合记为，为中任意一点，则的最大值为
(A)1 (B)2
(C) (D)
（5）已知，为正实数，则“，”是“”的
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
(6)如图所示，一个棱长为1的正方体在一个水平放置的转盘上转
动，用垂直于竖直墙面的水平光线照射，该正方体在竖直墙面
上的投影的面积记作，则的值不可能是
(A) (B) (C) (D)
（7）下列函数中，其图像上任意一点的坐标都满足条件的函数是
(A) (B) (C) (D)
（8）已知点在圆上，点在圆上，则下列说法错误的是
(A) 的取值范围为
(B ) 取值范围为
(C) 的取值范围为
(D)若，则实数的取值范围为
第二部分（非选择题，共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
(9)复数 .
( 10)已知点(2，0)是双曲线：的一个顶点，则的离心率为 .
( 11)直线 （为参数）与曲线（为参数）的公共点个数为 .
( 12)在中，若，，，则 ， .
(13)一次数学会议中，有五位教师来自A，B，C三所学校，其中A学校有2位，B学校有2位，C学校有1位．现在五位教师排成一排照相，若要求来自同一所学校的教师不相邻，则共有 种不同的站队方法．
( 14)设函数．
①若有两个零点，则实数的取值范围是 ；
②若，则满足的的取值范围是 ．
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
( 15)（本小题13分）
已知．
(I)求的值；
(Ⅱ)求的单调递增区间．
( 16)（本小题13分）
流行性感冒多由病毒引起，据调查，空气月平均相对湿度过大或过小时，都有利J=-些病毒繁殖和传播，科学测定，当空气月平均相对湿度大于65010或小于40%时，有利于病毒繁殖和传播．下表记录了某年甲、乙两个城市12个月的空气月平均相对湿度
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
1月
2月
3月
4月
5月
6月
7月
8月
9月
10月
11月
12月
甲地
54%
39%
46%
54%
56%
67%
64%
66%
78%
72%
72%
59%
乙地
38%
34%
31%
42%
54%
66%
69%
65%
62%
70%
a%
b%
(I)从上表12个月中，随机取出1个月，求该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖
和传播的概率；
(Ⅱ)从上表第一季度和第二季度的6个月中随机取出2个月，记这2个月中甲、乙两地空
气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份的个数为，求的分布列；
(Ⅲ)若，设乙地上表12个月的空气月平均相对湿度的中位数为，求的最大值和最小值．（只需写出结论）
( 17)（本小题14分）
已知三棱锥（如图1）的平面展开图（如图2）中，四边形为边长为的正方形，△ABE和△BCF均为正三角形，在三棱锥中：
(I)证明：平面平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值；
(Ⅲ)若点在棱上，满足，，点在棱上，且，
求的取值范围．
(18)（本小题13分）
已知函数
(I)当时，求函数的单调递增区间；
(Ⅱ)当时，若函数的最大值为，求的值.
( 19)（本小题14分）
已知椭圆（）的离心率为，且点在椭圆上，设与平行的直线与椭圆相交于，两点，直线，分别与轴正半轴交于，两点．
(I)求椭圆的标准方程；
(Ⅱ)判断的值是否为定值，并证明你的结论．
( 20)（本小题13分）
设是由组成的行列的数表（每个数恰好出现一次），且．
若存在，，使得既是第行中的最大值，也是第列中的最小值，则称数表为一个“数表”为数表的一个“值”，
对任意给定的，所有“数表”构成的集合记作．
(I) 判断下列数表是否是“数表”．若是，写出它的一个“值”；
，
(Ⅱ)求证：若数表是“数表”，则的“值”是唯一的；
(Ⅲ)在中随机选取一个数表，记的“值”为，求的数学期望．
海淀区高三年级第二学期期中练习
数学(理)参考答案与评分标准 2018.4
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
A
D
B
A
D
D
B
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
题号
9
10
11
12
13
14
答案
2
48
注：第12、14题第一空均为3分，第二空均为2分。
三、解答题共6小题，共80分。解答题应写出解答步骤。
15.（本题满分13分）
（Ⅰ）
3分
（Ⅱ）
因为函数的单调递增区间为（），
令（），
解得（），
故的单调递增区间为（） 13分
16.（本题满分13分）
（Ⅰ）设事件：从上表12个月中，随机取出1个月，该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播.用表示事件抽取的月份为第月，则
共12个基本事件，
共6个基本事件，
所以，. 4分
（Ⅱ）在第一季度和第二季度的6个月中，甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份只有2月和6月，故所有可能的取值为，，.
，，
随机变量的分布列为
0
1
2
（Ⅲ）的最大值为，最小值为. 13分
17.（本题满分14分）
（Ⅰ）方法1：
设的中点为，连接，. 由题意
，，
因为在中，，为的中点
所以，
因为在中，，，
所以
因为，平面
所以平面
因为平面 4分
所以平面平面
方法2：
设的中点为，连接，.
因为在中，，为的中点
所以，
因为，，
所以≌≌
所以
所以
因为，平面
所以平面
因为平面 4分
所以平面平面
方法3：
设的中点为，连接，因为在中，，
所以
设的中点，连接，及.
因为在中，，为的中点
所以.
因为在中，，为的中点
所以.
因为，平面
所以平面
因为平面
所以
因为，平面
所以平面
因为平面 4分
所以平面平面
（Ⅱ）由平面，，如图建立空间直角坐标系，则
，，，，
由平面，故平面的法向量为
由，
设平面的法向量为，则
由得：
令，得，，即
由二面角是锐二面角，
所以二面角的余弦值为 9分
（Ⅲ）设，，则
令
得
即，μ是关于λ的单调递增函数，
当时，，
所以 14分
18.（本题满分13分）
（Ⅰ）当时，
故
令，得
故的单调递增区间为 4分
（Ⅱ）方法1：
令
则
由，
故存在，
故当时，；当时，
↗
极大值
↘
故
故，解得 13分
故的值为.
（Ⅱ）方法2：的最大值为的充要条件为对任意的，且存在，使得，等价于对任意的，且存在，使得，
等价于的最大值为.
，
令，得.
↗
极大值
↘
故的最大值为，即. 13分
（19）（本小题14分）
（Ⅰ）由题意，
解得：，，
故椭圆的标准方程为 5分
（Ⅱ）假设直线TP或TQ的斜率不存在，则P点或Q点的坐标为(2，－1)，直线l的方程为，即.
联立方程，得，
此时，直线l与椭圆C相切，不合题意.
故直线TP和TQ的斜率存在.
方法1：
设，，则
直线，
直线
故，
由直线，设直线（）
联立方程，
当时，，
14分
方法2：
设，，直线和的斜率分别为和
由，设直线（）
联立方程，
当时，，
故直线和直线的斜率和为零
故
故
故在线段的中垂线上，即的中点横坐标为2
故 14分
20. （本题满分13分）
（Ⅰ）是“数表 ”，其“值”为3，不是“数表”. 3分
（Ⅱ）假设和均是数表的“值”，
①若，则；
②若，则；
③若，，则一方面
，
另一方面
；
矛盾. 即若数表是“数表”，则其“值”是唯一的. 8分
（Ⅲ）方法1：
对任意的由，，，…，组成的行列的数表.
定义数表如下，将数表的第行，第列的元素写在数表的第行，第列，即
（其中，）
显然有：
①数表是由，，，…，组成的行列的数表
②数表的第行的元素，即为数表的第列的元素
③数表的第列的元素，即为数表的第行的元素
④若数表中，是第行中的最大值，也是第列中的最小值
则数表中，是第列中的最大值，也是第行中的最小值.
定义数表如下，其与数表对应位置的元素的和为362，即
（其中，）
显然有
①数表是由，，，…，组成的行列的数表
②若数表中，是第列中的最大值，也是第列中的最小值
则数表中，是第列中的最小值，也是第列中的最大值
特别地，对由，，，…，组成的行列的数表
①数表是由，，，…，组成的行列的数表
②若数表中，是第行中的最大值，也是第列中的最小值
则数表中，是第列中的最小值，也是第列中的最大值
即对任意的，其“值”为（其中，），则，且其“值”为.
记，则，即数表与数表的“值”之和为，
故可按照上述方式对中的数表两两配对，使得每对数表的 “值”之和为，
故的数学期望. 13分
方法2：
所有可能的取值为.
记中使得的数表的个数记作，，则
.
则，则
，
故，. 13分
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