江淮十校2018届高三第三次联考
数学（理科）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2.已知，则关于复数的说法，正确的是（ ）
A．复数的虚部为 B．
C． D．复数所对应的点位于复平面的第四象限
3.已知函数最小正周期为，为了得到函数的图象，只要将的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
4.下列命题中，真命题是（ ）
A．，有 B．
C．函数有两个零点 D．，是的充分不必要条件
5.若，，，则（ ）
A． B． C． D．
6.若双曲线：的离心率为，则双曲线的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
7.执行如图所示的程序框图，当输入的时，输出的结果不大于的概率为（ ）
A． B． C． D．
8.已知实数，满足不等式组，若直线把不等式组表示的平面区域分成面积相等的两部分，则（ ）
A． B． C． D．
9.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中提出如下问题：“今有刍童，下广两丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈，问积几何？”翻译成现代文是“今有上下底面皆为长方形的草垛，下底（指面积较小的长方形）宽丈，长丈；上底（指面积较大的长方形）宽丈，长丈；高丈.问它的体积是多少？”现将该几何体的三视图给出如图所示，则该几何体的体积为（ ）立方丈.
A． B． C． D．
10.若直角坐标系内、两点满足：（1）点、都在图象上；（2）点、关于原点对称，则称点对是函数的一个“和谐点对”，与
可看作一个“和谐点对”.已知函数，则的“和谐点对”有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
11.设函数，，如果在上恒成立，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
12.用种不同的颜色对正四棱锥的条棱染色，每个顶点出发的棱的颜色各不相同，不同的染色方案共有多少种（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卡相应的位置.
13.已知，，且，则向量与向量的夹角是 ．
14.在的展开式中，的系数是 ．
15.设为曲线上的动点，为曲线上的动点，则称的最小值为曲线、之间的距离，记作.若：，：，则 ．
16.在中，设，分别表示角，所对的边，为边上的高.若，则的最大值是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共计70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知数列的前项的和，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项的和.
18.四棱锥中，，且平面，，
，是棱的中点.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值.
19.近年电子商务蓬勃发展，年某网购平台“双”一天的销售业绩高达亿元人民币，平台对每次成功交易都有针对商品和快递是否满意的评价系统.从该评价系统中选出次成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率为，对快递的满意率为，其中对商品和快递都满意的交易为次.
（1）根据已知条件完成下面的列联表，并回答能否有的把握认为“网购者对商品满意与对快递满意之间有关系”？
对快递满意
对快递不满意
合计
对商品满意
对商品不满意
合计
（2）若将频率视为概率，某人在该网购平台上进行的次购物中，设对商品和快递都满意的次数为随机变量，求的分布列和数学期望.
附：（其中为样本容量）
20.已知离心率为的椭圆焦点在轴上，且椭圆个顶点构成的四边形面积为，过点的直线与椭圆相交于不同的两点、.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为椭圆上一点，且（为坐标原点）.求当时，实数
的取值范围.
21.已知函数.
（1）若在点处的切线与直线垂直，求函数的单调递减区间；
（2）若方程有两个不相等的实数解、，证明：.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）写出曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若射线：平分曲线，且与曲线交于点，曲线上的点满足，求.
23.选修4-5：不等式选讲
设函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若不等式的解集是，求正整数的最小值.
江淮十校2018届高三第三次联考
数学（理科）参考答案及解析
一、选择题
1-5: CBADA 6-10: CCBAB 11、12：DC
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.解析：（1），，所以，
得.
（2），所以，
所以.
错位相减得，
.
所以.
18.解析：（1）取中点，连接、，∵是中点，∴，且.又因为，∴.又∵，∴，∴四边形是平行四边形.∴，又，∴是等边三角形，∴，∵平面，，∴平面，∴，∴平面，∴平面.
（2）取中点，则，平面，以为原点建立如图所示的直角坐标系.
各点坐标为，，，，，.
可得，，，；
设平面的法向量，则得，
取，
设平面的法向量，则得，
取，
于是，
注意到二面角是钝角，因此，所求二面角的余弦值就是.
19.解析：（1）列联表：
对快递满意
对快递不满意
合计
对商品满意
对商品不满意
合计
，
由于，所以没有的把握认为“网购者对商品满意与对快递满意之间有关系”.
（2）每次购物时，对商品和快递都满意的概率为，且的取值可以是，，，.
；；
；.
的分布列为：
所以.
或者：由于，则.
20.解析：（1）设椭圆的方程为，由题意可知，得，；
又顶点构成四边形的是菱形，面积，所以，，椭圆方程为.
（2）设直线的方程为或，，，，
当的方程为时，，与题意不符.
当的方程为时，由题设可得、的坐标是方程组的解.
消去得，所以，即，
则，，，
因为，所以，
解得，所以.
因为，即，
所以当时，由，得，，
上述方程无解，所以此时符合条件的直线不存在：
当时，，，
因为点在椭圆上，所以，
化简得，因为，所以，则.
综上，实数的取值范围为.
21.解析：（1）的定义域为，，可得，
令得，所以的单调递减区间是和.
（2）由，
∵，只要证，
只需证，
不妨设，即证，令，
只需证，令，
则在上恒成立；
所以在上单调递增，，即证.
22.解析：（1）曲线的直角坐标方程是，化成极坐标方程为；
曲线的直角坐标方程是.
（2）曲线是圆，射线过圆心，所以方程是，代入得，
又，所以，因此.
23.解析：（1）不等式，解得，所以解集是.
（2），注意到是正整数，有，
所以，令，解得，所以正整数的最小值是.
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