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安徽芜湖市2018届高三数学5月模拟试题(理科含答案)

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安徽芜湖市2018届高三数学5月模拟试题(理科含答案)

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芜湖市2017-2018学年度第二学期高三模考试题
理科数学
一、第Ⅰ卷(共60分)选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 ,则
(A) [-2,-1]         (B)  [-1,2)         (C) [-1,1]             (D) [1,2)
2.设复数 ,则下列命题中错误的是
(A)                       (B) 
(C) 在复平面上对应的点在第一象限   (D) 的虚部为
3.若 满足约束条件 则 的最大值为 
(A) 2             (B) 6               (C) 7                 (D) 8
4.若圆锥曲线 的离心率为 ,则
(A)          (B)          (C)            (D)
5.芜湖高铁站芜湖至 地上午发车时间分别为7:00,8:00,8:30,小明需在当天乘车到 地参加一高校自主招生,他在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是
(A)       (B)        (C)       (D)
6.我国古代数学著作《九章算术》中,其意是:“今有器中米,不知其数,前人取半,中人三分取一,后人四分取一,余米一斗五升.问:米几何?右图是源于其思想的一个程序框图,若输出的 (单位:升),则输入 的值为
 (A) 6                (B)  7              (C) 8             (D) 9
7.已知 是定义在 上偶函数,对任意 都有 且 ,则 的值为       
(A)2                (B) 3                (C)4            (D)5

8.某几何体的三视图如右图所示,图中的四边形都是边长为1的正方形,其中正(主)视图、侧(左)视图中的两条虚线互相垂直,则该几何体的体积是
 (A)      (B)      (C)         (D)
9.已知函数 .将 的图象向左平移 个单位长度后所得的函数为偶函数,则关于函数 ,下列命题正确的是
(A)函数 在区间 上有最小值           (B) 函数 的一条对称轴为
(C)函数 在区间 上单调递增           (D) 函数 的一个对称点为
10.设 , , 均为实数,且 , , ,则
(A)      (B)           (C)            (D)
11.已知椭圆  的右焦点为 .圆  上所有点都在椭圆 的内部,过椭圆上任一点 作圆 的两条切线, 为切点,若 ,则椭圆C的离心率为     
(A)         (B)           (C)        (D)
12.已知函数 ,其中 为自然对数的底数.若函数 在区间 内有两个零点,则 的取值范围是
(A)        (B)          (C)          (D)
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分
13.已知向量 的夹角为 , , ,则 =_______.
14.已知 展开式中只有第4项的二项式系数最大,则 展开式中常数项为_______.
15.在三棱锥 中, ,当三棱锥体积最大时,其外接球的表面积为_______.
16.已知 的内角 的对边分别为 ,若 ,则 最小值是_______.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共60分。

17.(本小题满分12分)
已知等比数列 的前 项和为 .若 ,且 .
(1)求数列 的通项公式 ;
(2)设 ,求数列 的前 项和 .
18. (本小题满分12分)
如图,在三棱柱 中, , ,平面 平面 , 为 中点.
(1)求证: ;
(2)若 直线 与平面 所成角为 ,求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.
19. (本小题满分12分)
某市疾控中心流感监测结果显示,自 年 月起,该市流感活动一度出现上升趋势,尤其是 月以来,呈现快速增长态势,截止目前流感病毒活动度仍处于较高水平,为了预防感冒快速扩散,某校医务室采取积极方式,对感染者进行短暂隔离直到康复.假设某班级已知 位同学中有 位同学被感染,需要通过化验血液来确定感染的同学,血液化验结果呈阳性即为感染,呈阴性即未被感染.下面是两种化验方法:  方案甲:逐个化验,直到能确定感染同学为止;
方案乙:先任取 个同学,将它们的血液混在一起化验,若结果呈阳性则表明感染同学为这 位中的 位,后再逐个化验,直到能确定感染同学为止;若结果呈阴性则在另外 位同学中逐个检测;
(1)求依方案甲所需化验次数等于方案乙所需化验次数的概率;
(2) 表示依方案甲所需化验次数, 表示依方案乙所需化验次数,假设每次化验的费用都相同,请从经济角度考虑那种化验方案最佳.

20.(本小题满分12分)
设抛物线 的焦点为 ,准线为 .已知点 在抛物线 上,点 在 上, 是边长为4的等边三角形.
(1)求 的值;
(2)若直线 是过定点 的一条直线,且与抛物线 交于 两点,过 作 的垂
线与抛物线 交于 两点,求四边形 面积的最小值.
21.(12分)已知函数 .曲线 在 处切线的斜率为 ,( 为自然对数的底数)
(1)求 的值;
(2)证明: .


(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分。
22.[选修4−4:坐标系与参数方程](10分)
在平面直角坐标系 中,曲线 过点 ,其参数方程为 ( 为参数, ),以坐标原点为极点,以 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 的极坐标方程为 .
(1)写出曲线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程;
(2)已知曲线 和曲线 交于 两点( 在 之间),且 ,求实数 的值.

23.[选修4−5:不等式选讲](10分)
已知函数 .
(1)解关于 的不等式 ;
(2)记 的最小值为 ,已知实数 , , 都是正实数,且 ,
求证: .

 

 

 


 
芜湖市2017-2018学年度第二学期高三模考试题答案
数学试卷(理科)
一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1-5:        6-10:       11、12:
二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.           14.  61         15.         16.
三、解答题
17【解析】(1)由 ,可得 .………2分
即公比 ,………4分,
又 ,故 .………6分
(2) ,………8分
 
 .………12分
18【证明】(1)过点 做 交 于 ,因为面  , ,
所以 ,故 ,………2分
又因为  ,所以 ,故 ,
因为 ,所以 ,又因为 ,所以 面 ,
故 .………5分
(2)以 为坐标原点, 所在直线为 轴,建立空间直角坐标 ,
 
 ,
设面 的法向量为 , 则  令 ,
得 ; ………7分
设面 的法向量为 ,则  令
得 ;………9分
 ………11分
面 与面 所成锐二面角的余弦值为 .………12分
19【解析】(1)设 分别表示依方案甲需化验为第 次;  表示依方案乙需化验为第 次;
 
 ……4分
 表示方案甲所需化验次数等于依方案乙所需化验次数.
 ,………6分
(2) 的可能取值为 . 的可能取值为 .
 
 (次),………8分
 
∴ (次)
∴故方案乙更佳 .………12分
20【解析】(1)由题意知  ,则 .设准线 与 轴交于点 ,则 ,
又 是边长为4的等边三角形,  ,所以 ,即 .………4分
(2)设直线 的方程为 ,设 ,
联立 得 ,则 , ,………6分
 ,………7分
 ,同理得 ,………8分
则四边形 的面积
 
  ,  ………10分
令 ,
 是关于 的增函数,
故 ,当且仅当 时取得最小值. ………12分
21【解析】(1)因为 ,所以  ,………2分
则 ,得 . ………4分
(2) , ,设函数 , ,
当 时, , 为减函数,
当 时, , 为增函数,则 . ………7分
设函数 , ,令 在 为减函数,又因为 ,则当 时, ,即 , 为增函数,则当 时, ,即 , 为减函数,所以 ,………11分
综上所述, ,即 .………12分
22.【解析】(1) 的参数方程 ,消参得普通方程为 ,
 的极坐标方程为 两边同乘 得 即 .………5分
(2)将曲线 的参数方程代入曲线 得 , 设 对应的参数为 ,由题意得 ,且 在 之间,则 ,
 解得 ………10分
23. 【解析】(1)
 或 或 ,
解得 或 .
综上所述,不等式 的解集为  ……………5分
(2)由 ( 时取等号)
 .即 ,从而 ,
 
…………………10分

 

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