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南昌二中2018届高三三轮第二次模拟考试
数学（理）试卷
一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的）．
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2. 在复平面内，复数对应的点的坐标为，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3. 函数的图象大致是（ ）
4.已知直线与平面满足,则下列判断一定正确的是（ )
A.∥, B.∥, C.∥, D.,
5.执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ ）
A. 1009 B. -1009 C. -1007 D. 1008
6.某人吃完饭后散步，在到小时内，速度与时间的关系为，这小时内他走过的路程为（ ）
A． B． C． D．
7.在斜二测画法中，圆的直观图是椭圆，则这个椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8.如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个的长方体框架，
一个建筑工人欲从处沿脚手架攀登至处，则其最近的行走路线中
不连续向上攀登的概率为（ ）
A． B．
C． D．
9.已知函数，，若将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则（ ）
10.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的表面积为（ ）
A.
B.
C.
D.
11.设函数，其中,若存在唯一的整数，
使得，则的取值范围是（ ）
12.已知点为不等式组表示的平面区域内的动点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分）
13.二项式展开式的常数项是_________.
14.《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何。”其意思为：有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，则三十天共织布______尺.
15.在△中,角所对的边分别是,又为△的内心,且,,则_________.
16.若函数满足(其中),则称函数为“中心对称函数”,称点为函数的“中心点”.现有如下命题:
①函数是“中心对称函数”;
②若“中心对称函数”在上的“中心点”为,则函数
是上的奇函数;
③函数是“中心对称函数”,且它的“中心点”一定为;
④函数是“中心对称函数”,且它的“中心点”一定为.
其中正确的命题是_________. (写出所有正确命题的序号)
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分12分）已知等差数列中,公差, ，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若为数列的前项和，且存在，使得成立，求实数的取值范围.
18.（本小题满分12分）在冬季，由于受到低温和霜冻的影响，蔬菜的价格会随着需求量的增加而上升，已知某供应商向饭店定期供应某种蔬菜，日供应量与单价之间的关系，统计数据如下表所示：
日供应量（）
38
48
58
68
78
88
单价（元/）
16.8
18.8
20.7
22.4
24
25.5
（Ⅰ）根据上表中的数据得出日供应量与单价之间的回归方程为，求，的值；
（Ⅱ）该地区有个饭店，其中个饭店每日对蔬菜的需求量在以下（不含），个饭店对蔬菜的需求量在以上（含），则从这个饭店中任取个进行调查，记这个饭店中对蔬菜需求量在以下的饭店数量为，求的分布列及数学期望.
参考公式及数据：
对一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
，
19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为边长为2的菱形，，，面面，点为棱的中点.
（Ⅰ）在棱上是否存在一点，使得面，并说明理由；
（Ⅱ）当二面角的余弦值为时，求直线与平面所成的角.
20．（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右顶点分别为，上顶点为，且椭圆的离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点是椭圆上位于第一象限的任一点，直线交于点，直线与轴交于点，记直线的斜率分别为．求证：为定值．
21.（本小题满分12分）已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）若函数在定义域内有个零点，求整数的最小值.
请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．
22.（本小题满分10分） 选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线：，过点的直线（为参数）与曲线相交于两点．
（1）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；
（2）若成等比数列，求实数的值．
23.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
设函数，.
(1)解不等式；
(2)设函数，且在上恒成立，求实数的取值范围．
南昌二中2018届高三三轮第二次模拟考试
数学（理）试卷参考答案
1-5 BADDB 6-10 CBBDC 11-12 AC
13.-80 14.90 15.12 16.①②③
17.解:(1)由题意可得，即
又∵，∴，∴.
（2）∵，
∴，
∵，使得成立成立，
∴，使得成立，
即，使得成立，
又（当且仅当时取等号），
∴，即实数的取值范围是.
18.解：（1）对两边同取对数得，
令，得
∴，
∴，即.
（2）由题意知，的所有可能取值为.
,,
,,
.
∴的分布列为
∴.
19.解：（1）在棱上存在点，使得面，点为棱的中点.
理由如下：
取的中点，连结、，
由题意，且，且，
故且.
所以，四边形为平行四边形.
所以，，又平面，平面，
所以，平面.
（2）由题意知为正三角形，所以，亦即，
又，
所以，且面面，面面，
所以面，故以为坐标原点建立如图空间坐标系，
设，则由题意知，，，，
，，
设平面的法向量为，
则由得，
令，则，，
所以取，
显然可取平面的法向量，
由题意：，所以.
由于面，所以在平面内的射影为，
所以为直线与平面所成的角，
易知在中，从而，
所以直线与平面所成的角为.
20.解:（1）因为椭圆的上顶点为，离心率为，
所以 …………………………………………………2分
又，得，
所以椭圆的标准方程是；…………………………………………………4分
（2）根据题意，可得直线，直线，
由，解得 . ……………………………………6分
由得，化简得，
因为，所以，所以，
将代入直线方程得：，
所以. ……………………………………………8分
又因为，所以，
所以直线，令得，.………………10分
于是，
所以，为定值．…………………………………………12分
21.解：（1）∵
∴①当时，，在为增函数；
②由二次函数的对称轴为，
利用，，在为增函数；
③当时二次方程的两根：
∴在为增函数，为减函数；
④当时二次方程的两根：
∴在，为增函数，
为减函数；
综上①当时，在为增函数；
②当时，在为增函数，为减函数；
③当时在，为增函数，
为减函数.
（2）由的单调性和可知：
①当时，在为增函数，不可能有三个零点；
②当时，在为增函数，为减函数，也不可能有三个零点；
③当时在，为增函数，
为减函数；（记极大值点）
∴
∵，且在定义域内有三个零点
∴即在分别有一个零点，结合符合题意。
∵
∴
设，在上为减函数
∵
∴当 符合题意
当 ，
即整数的最小值为3.
（2）另解：单调性分析，先控制，再验证满足若在定义域内有三个零点。
22.解:(1)把代入ρsin2θ＝2acos θ，得y2＝2ax(a>0)，
由(t为参数)，消去t得x－y－2＝0，
∴曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程分别是y2＝2ax(a>0)，x－y－2＝0.
（2）将化成标准参数方程（为参数），将其代入
得:,
设是该方程的两根,则,
∵
∴
∴,解得.
23.解:(1)函数，故由不等式，
可得或，解得.
(2)函数g(x)≤f(x)在x∈[－2，2]上恒成立，
即|x＋a|－4≤|x－3|－|x＋1|在x∈[－2，2]上恒成立，
在同一个坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图象，如图所示．
故当x∈[－2，2]时，若0≤－a≤4，则函数g(x)的图象在函数f(x)的图象的下方，
g(x)≤f(x)在x∈[－2，2]上恒成立，
求得－4≤a≤0，故所求的实数a的取值范围为[－4，0]．
南昌二中2018学年度数学（理）高考信息卷
一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的）．
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
2. 在复平面内，复数对应的点的坐标为，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
3. 函数的图象大致是（ ）
【答案】D
4.已知直线与平面满足,则下列判断一定正确的是( )
A.∥, B.∥, C.∥, D.,
【答案】D
【解析】因为α⊥β,α∩β=m,n⊥α,n⊂γ,所以α⊥γ成立,但m与γ相交或平行,故A不正确;又易知n∥β或n⊂β,故B不正确;对于C, β与γ也可能相交,故C不正确;对于D,因为α∩β=m,n⊥α,所以 m⊥n,故D正确.
5.执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ ）
A. 1009 B. -1009 C. -1007 D. 1008
【答案】B
【解析】由程序框图则，由规律知输出．故本题答案选．
6.某人吃完饭后散步，在到小时内，速度与时间的关系为，这小时内他走过的路程为（ ） A． B． C． D．
【答案】C
【解析】的原函数可为，路程为
故选C.
7.在斜二测画法中，圆的直观图是椭圆，则这个椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设圆的半径为，椭圆的方程可设为，设直线与椭圆在第一象限的交点为A，由斜二测画法的性质可知,从而A的坐标为（1，1），故，离心率.故选B.
8.如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个的长方体框架，一个建筑工人欲从处沿脚手架攀登至处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意，最近路线，那就是不能走回头路，不能走重复的路，
∴一共要走3次向上，2次向右，2次向前，一共7次，
∴最近的行走路线共有：=5040，
∵不能连续向上，∴先把不向上的次数排列起来，也就是2次向右和2次向前全排列，
接下来，就是把3次向上插到4次不向上之间的空当中，5个位置排三个元素，也就是，
则最近的行走路线中不连续向上攀登的共有种，
∴其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率．故选B.
9.已知函数，，若将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则（ ）
【答案】C
【解析】由题意知，，其中，将函数的图像向右平移个单位后，得到，∴，则，故选D.
10.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由三视图可知,该几何体是以俯视图为底面,一条侧棱与底面垂直的三棱锥,如图中三棱锥A - BCD所示,设该几何体外接球的球心为O.由勾股定理可得CD==2,tan∠CBD=,即∠CBD=30°.由正弦定理可得△BCD的外接圆直径2r==4.设球O的半径为R,易知O为AD的中点,则由勾股定理得4R2=AB2+4r2=32,所以该几何体的外接球的表面积S=4πR2=32π,故选C.
11.设函数，其中,若存在唯一的整数，使得，则的
取值范围是（ ）
【答案】A
12.已知点为不等式组表示的平面区域内的动点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
当点在直线的下方，则，，此时;
当点在直线的上方，则，，此时.故选C.
二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分）
13.二项式展开式的常数项是_________.
【答案】.
14.《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何。”其意思为：有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，则三十天共织布______尺.
【答案】.
15.在△中,角所对的边分别是,又为△的内心,且,,则_________.
【答案】.
【解析】如图，设内切圆与BC,AC,AB相切于点D,E,F，由内心性质可知，，所以,.
16.若函数满足(其中),则称函数为“中心对称函数”,称点为函数的“中心点”.现有如下命题:
①函数是“中心对称函数”;
②若“中心对称函数”在上的“中心点”为,则函数是上的奇函数;
③函数是“中心对称函数”,且它的“中心点”一定为;
④函数是“中心对称函数”,且它的“中心点”一定为.
其中正确的命题是_________.(写出所有正确命题的序号)
【答案】①②③
【解析】本题考查函数的性质.解答本题时要注意根据中心对称函数的定义对命题逐一验证,得到正确的命题.由题可得,因为图象关于点(0,0)对称,所以,图象关于点(0,1)对称,,所以①正确;因为函数是中心对称函数,所以有,所以,所以函数是奇函数,所以②正确;因为=6662.所以可知函数是“中心对称函数”,且它的“中心点”一定为,所以③正确;因为=,所以函数不是中心对称函数,所以④错误.所以正确的命题是①②③.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分12分）已知等差数列中,公差, ，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若为数列的前项和，且存在，使得成立，求实数的取值范围.
解:(1)由题意可得，即
又∵，∴，∴.
（2）∵，
∴，
∵，使得成立成立，
∴，使得成立，
即，使得成立，
又（当且仅当时取等号），
∴，即实数的取值范围是.
18.（本小题满分12分）在冬季，由于受到低温和霜冻的影响，蔬菜的价格会随着需求量的增加而上升，已知某供应商向饭店定期供应某种蔬菜，日供应量与单价之间的关系，统计数据如下表所示：
日供应量（）
38
48
58
68
78
88
单价（元/）
16.8
18.8
20.7
22.4
24
25.5
（Ⅰ）根据上表中的数据得出日供应量与单价之间的回归方程为，求，的值；
（Ⅱ）该地区有个饭店，其中个饭店每日对蔬菜的需求量在以下（不含），个饭店对蔬菜的需求量在以上（含），则从这个饭店中任取个进行调查，记这个饭店中对蔬菜需求量在以下的饭店数量为，求的分布列及数学期望.
参考公式及数据：
对一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
，
解：（1）对两边同取对数得，
令，得
∴，
∴，即.
（2）由题意知，的所有可能取值为.
,,
,,
.
∴的分布列为
∴.
19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为边长为2的菱形，，，面面，点为棱的中点.
（Ⅰ）在棱上是否存在一点，使得面，并说明理由；
（Ⅱ）当二面角的余弦值为时，求直线与平面所成的角.
解：（1）在棱上存在点，使得面，点为棱的中点.
理由如下：
取的中点，连结、，
由题意，且，且，
故且.
所以，四边形为平行四边形.
所以，，又平面，平面，
所以，平面.
（2）由题意知为正三角形，所以，亦即，
又，
所以，且面面，面面，
所以面，故以为坐标原点建立如图空间坐标系，
设，则由题意知，，，，
，，
设平面的法向量为，
则由得，
令，则，，
所以取，
显然可取平面的法向量，
由题意：，所以.
由于面，所以在平面内的射影为，
所以为直线与平面所成的角，
易知在中，从而，
所以直线与平面所成的角为.
20．（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右顶点分别为，上顶点为，且椭圆的离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点是椭圆上位于第一象限的任一点，直线交于点，直线与轴交于点，记直线的斜率分别为．求证：为定值．
解:（1）因为椭圆的上顶点为，离心率为，
所以 …………………………………………………2分
又，得，
所以椭圆的标准方程是；…………………………………………………4分
（2）根据题意，可得直线，直线，
由，解得 . ……………………………………6分
由得，化简得，
因为，所以，所以，
将代入直线方程得：，
所以. ……………………………………………8分
又因为，所以，
所以直线，令得，.………………10分
于是，
所以，为定值．…………………………………………12分
21.（本小题满分12分）已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）若函数在定义域内有个零点，求整数的最小值.
解：（1）∵
∴①当时，，在为增函数；
②由二次函数的对称轴为，
利用，，在为增函数；
③当时二次方程的两根：
∴在为增函数，为减函数；
④当时二次方程的两根：
∴在，为增函数，
为减函数；
综上①当时，在为增函数；
②当时，在为增函数，为减函数；
③当时在，为增函数，
为减函数.
（2）由的单调性和可知：
①当时，在为增函数，不可能有三个零点；
②当时，在为增函数，为减函数，也不可能有三个零点；
③当时在，为增函数，
为减函数；（记极大值点）
∴
∵，且在定义域内有三个零点
∴即在分别有一个零点，结合符合题意。
∵
∴
设，在上为减函数
∵
∴当 符合题意
当 ，
即整数的最小值为3.
（2）另解：单调性分析，先控制，再验证满足若在定义域内有三个零点。
请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．
22.（本小题满分10分） 选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线：，过点的直线（为参数）与曲线相交于两点．
（1）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；
（2）若成等比数列，求实数的值．
解:(1)把代入ρsin2θ＝2acos θ，得y2＝2ax(a>0)，
由(t为参数)，消去t得x－y－2＝0，
∴曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程分别是y2＝2ax(a>0)，x－y－2＝0.
（2）将化成标准参数方程（为参数），将其代入
得:,
设是该方程的两根,则,
∵
∴
∴,解得.
23.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
设函数，.
(1)解不等式；
(2)设函数，且在上恒成立，求实数的取值范围．
解:(1)函数，故由不等式，
可得或，解得.
(2)函数g(x)≤f(x)在x∈[－2，2]上恒成立，
即|x＋a|－4≤|x－3|－|x＋1|在x∈[－2，2]上恒成立，
在同一个坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图象，如图所示．
故当x∈[－2，2]时，若0≤－a≤4，则函数g(x)的图象在函数f(x)的图象的下方，
g(x)≤f(x)在x∈[－2，2]上恒成立，求得－4≤a≤0，
故所求的实数a的取值范围为[－4，0]．
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