2016-2017学年河南省郑州市郑东新区九年制实验学校八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）
1．（3分）如果a＜0，则下列式子错误的是（ ）
A．5+a＞3+a B．5﹣a＞3﹣a C．5a＞3a D．
2．（3分）等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（ ）
A．80° B．80°或20° C．80°或50° D．20°
3．（3分）不等式5x﹣1＞2x+5的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（3分）如图，△ABC中，DE是AB的垂直平分线，AE=4，△ACD的周长为18，则△ABC的周长为（ ）
A．18 B．22 C．24 D．26
6．（3分）函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象如图，则关于x的不等式kx+b＞0的解集为（ ）
A．x＞0 B．x＜0 C．x＜2 D．x＞2
7．（3分）下面是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
8．（3分）不等式组的整数解是 ．
9．（3分）若点P（2a﹣1，1﹣a）在第二象限，则a的取值范围是 ．
10．（3分）给出四个命题，正确的是 （填序号）
①若a＞b，则a+m＞b+m；②若a＞b，则﹣3a﹣1＞﹣3b﹣1；
③若a＞b，则ac2＞bc2； ④若a＞b，则ac＞bc．
11．（3分）如图，把△ABC经过一定的变换得到△A′B′C′，如果△ABC上点P的坐标为（a，b），那么点P变换后的对应点P′的坐标为 ．
12．（3分）小明借到一本有72页的图书，要在10天内读完，开始2天每天只读5页，设以后几天每天读x页，所列不等式为 ．
13．（3分）如图，在△ABC中，∠CAB=75°，在同一平面内，将△
ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′= ．
14．（3分）如图，OE是∠AOB的平分线，CD∥OB交OA于C，交OE于D，∠ACD=50°，则∠CDO的度数是 ．
15．（3分）如图，函数y=2x和y=ax+5的图象相交于A（m，3），则不等式2x＜ax+5的解集为 ．
三、解答题（本大题共7小题，满分55分）
16．（6分）如图，阴影部分表示城门的轮廓，请你作出向右平移6个格后的图．
17．（6分）解不等式组，把解集在数轴上表示出来； 并指出它的所有的非负整数解．
18．（8分）如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC=BD．
求证：（1）BC=AD；
（2）△OAB是等腰三角形．
19．（7分）某市政府计划修建一处公共服务设施，使它到三所公寓A、B、C的距离相等．
（1）若三所公寓A、B、C的位置如图所示，请你在图中确定这处公共服务设施（用点P表示）的位置（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若∠BAC=56°，则∠BPC= °．
20．（8分）已知方程组的解是非负数，求m的取值范围．
21．（10分）某文具商店销售功能相同的A、B两种品牌的计算器，购买2个A品牌和3个B品牌的计算器共需156元；购买3个A品牌和1个B品牌的计算器共需122元．
（1）求这两种品牌计算器的单价；
（2）学校开学前夕，该商店对这两种计算器开展了促销活动，具体办法如下：A品牌计算器按原价的八折销售，B品牌计算器5个以上超出部分按原价的七折销售，设购买x个A品牌的计算器需要y1元，购买x个B品牌的计算器需要y2元，分别求出y1、y2关于x的函数关系式；
（3）小明准备联系一部分同学集体购买同一品牌的计算器，若购买计算器的数量超过5个，购买哪种品牌的计算器更合算？请说明理由．
22．（10分）如图，两个正方形ABCD，OEFG的边长都是a，其中O是正方形ABCD的中心．
（1）请你说出图②到图③是怎样形成的？图②中的四边形OMCN的面积是多少？图③中的△OBC的面积是多少？
（2）你能求出图④中四边形OMCN的面积吗？
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）
1．（3分）如果a＜0，则下列式子错误的是（ ）
A．5+a＞3+a B．5﹣a＞3﹣a C．5a＞3a D．
【解答】解：A、∵5＞3，∴5+a＞3+a，故A选项正确；
B、∵5＞3，∴5﹣a＞3﹣a，故B选项正确；
C、∵5＞3，a＜0，∴5a＜3a，故C选项错误；
D、∵5＞3，∴＜，∵a＜0，∴＞，故D选项正确．
故选：C．
2．（3分）等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（ ）
A．80° B．80°或20° C．80°或50° D．20°
【解答】解：①80°角是顶角时，三角形的顶角为80°，
②80°角是底角时，顶角为180°﹣80°×2=20°，
综上所述，该等腰三角形顶角的度数为80°或20°．
故选：B．
3．（3分）不等式5x﹣1＞2x+5的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：移项得5x﹣2x＞1+5，
合并得3x＞6，
系数化为1得x＞2．
故选：C．
4．（3分）如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：
∵垂线段最短，
∴当PQ⊥OM时，PQ有最小值，
又∵OP平分∠MON，PA⊥ON，
∴PQ=PA=2，
故选：B．
5．（3分）如图，△ABC中，DE是AB的垂直平分线，AE=4，△ACD的周长为18，则△ABC的周长为（ ）
A．18 B．22 C．24 D．26
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，AE=4，
∴AB=2AE=8，AD=BD，
∵△ACD的周长为18，
∴AD+DC+AC=18，
∴△ABC的周长为：
AB+BC+AC
=8+BD+DC+AC
=8+AD+DC+AC
=8+18
=26，
故选：D．
6．（3分）函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象如图，则关于x的不等式kx+b＞0的解集为（ ）
A．x＞0 B．x＜0 C．x＜2 D．x＞2
【解答】解：函数y=kx+b的图象经过点（2，0），并且函数值y随x的增大而减小，
所以当x＜2时，函数值大于0，即关于x的不等式kx+b＞0的解集是x＜2．
故选：C．
7．（3分）下面是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、不是中心对称图形，不合题意；
B、是中心对称图形，符合题意；
C、不是中心对称图形，不合题意；
D、不是中心对称图形，不合题意；
故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
8．（3分）不等式组的整数解是 ﹣1，0，1 ．
【解答】解：
由①得：x＞﹣2，
解②得：x≤，
则不等式组的解集是：﹣2＜x≤．
则整数解是：﹣1，0，1．
故答案为：﹣1，0，1．
9．（3分）若点P（2a﹣1，1﹣a）在第二象限，则a的取值范围是 a＜ ．
【解答】解：P（2a﹣1，1﹣a）在第二象限，
得，
解得a＜，
故答案为：a＜．
10．（3分）给出四个命题，正确的是 ① （填序号）
①若a＞b，则a+m＞b+m；②若a＞b，则﹣3a﹣1＞﹣3b﹣1；
③若a＞b，则ac2＞bc2； ④若a＞b，则ac＞bc．
【解答】解：①若a＞b，则a+m＞b+m，正确；
②若a＞b，则﹣3a﹣1＞﹣3b﹣1，错误；
③若a＞b，则ac2＞bc2，错误；
④若a＞b，则ac＞bc，错误；
故答案为：①．
11．（3分）如图，把△ABC经过一定的变换得到△A′B′C′，如果△ABC上点P的坐标为（a，b），那么点P变换后的对应点P′的坐标为 （a+3，b+2） ．
【解答】解：点B的坐标为（﹣2，0），点B′的坐标为（1，2）；
横坐标增加了1﹣（﹣2）=3；纵坐标增加了2﹣0=2；
∵△ABC上点P的坐标为（a，b），
∴点P的横坐标为a+3，纵坐标为b+2，
∴点P变换后的对应点P′的坐标为（a+3，b+2）．
12．（3分）小明借到一本有72页的图书，要在10天内读完，开始2天每天只读5页，设以后几天每天读x页，所列不等式为 2×5+（10﹣2）x≥72 ．
【解答】解：设以后每天读x页，
2×5+（10﹣2）x≥72，
故答案为：2×5+（10﹣2）x≥72
13．（3分）如图，在△ABC中，∠CAB=75°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′= 30° ．
【解答】解：由题意得：
AC=AC′，
∴∠ACC′=∠AC′C；
∵CC′∥AB，且∠BAC=75°，
∴∠ACC′=∠AC′C=∠BAC=75°，
∴∠CAC′=180°﹣2×75°=30°；
由题意知：∠BAB′=∠CAC′=30°，
故答案为30°．
14．（3分）如图，OE是∠AOB的平分线，CD∥OB交OA于C，交OE于D，∠ACD=50°，则∠CDO的度数是 25° ．
【解答】解：∵CD∥OB，
∴∠AOB=∠ACD=50°，
∵OE是∠AOB的平分线，
∴∠BOE=∠AOB=×50°=25°，
∵CD∥OB，
∴∠CDO=∠BOE=25°．
故答案为：25°．
15．（3分）如图，函数y=2x和y=ax+5的图象相交于A（m，3），则不等式2x＜ax+5的解集为 x＜ ．
【解答】解：∵点A（m，3）在函数y=2x的图象上，
∴3=2m，解得m=，
∴A（，3），
由函数图象可知，当x＜时，函数y=2x的图象在函数y=ax+5图象的下方，
∴不等式2x＜ax+5的解集为：x＜．
故答案为：x＜．
三、解答题（本大题共7小题，满分55分）
16．（6分）如图，阴影部分表示城门的轮廓，请你作出向右平移6个格后的图．
【解答】解：如图所示：
17．（6分）解不等式组，把解集在数轴上表示出来； 并指出它的所有的非负整数解．
【解答】解：解不等式2x﹣3＜1得x＜2，
解不等式+2≥﹣x，得：x≥﹣1，
则不等式组的解集为﹣1≤x＜2，
将解集表示在数轴上如下：
则不等式组的非负整数解为0、1．
18．（8分）如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC=BD．
求证：（1）BC=AD；
（2）△OAB是等腰三角形．
【解答】证明：（1）∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠ADB=∠ACB=90°，
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
∵，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），
∴BC=AD，
（2）∵Rt△ABC≌Rt△BAD，
∴∠CAB=∠DBA，
∴OA=OB，
∴△OAB是等腰三角形
19．（7分）某市政府计划修建一处公共服务设施，使它到三所公寓A、B、C的距离相等．
（1）若三所公寓A、B、C的位置如图所示，请你在图中确定这处公共服务设施（用点P表示）的位置（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若∠BAC=56°，则∠BPC= 112 °．
【解答】解：（1）如图：
．
（2）连接点P和各顶点，延长AP到D交BC于D，
∵PA=PB，
∴∠PAB=∠PBA，
同理∠PAC=∠PCA，
∵∠BAP+∠PAC=∠BAC=56°，
∴∠PAB+∠PBA+∠PAC+∠PCA=112°，
∵∠BPD=∠PAB+∠PBA，∠CPD=∠PAC+∠PCA，
∴∠BPC=∠BPD+∠CPD=∠PAB+∠PBA+∠PAC+∠PCA=112°．
故答案为：112．
20．（8分）已知方程组的解是非负数，求m的取值范围．
【解答】解：解方程组得，
根据题意，得：，
解得：m≥．
21．（10分）某文具商店销售功能相同的A、B两种品牌的计算器，购买2个A品牌和3个B品牌的计算器共需156元；购买3个A品牌和1个B品牌的计算器共需122元．
（1）求这两种品牌计算器的单价；
（2）学校开学前夕，该商店对这两种计算器开展了促销活动，具体办法如下：A品牌计算器按原价的八折销售，B品牌计算器5个以上超出部分按原价的七折销售，设购买x个A品牌的计算器需要y1元，购买x个B品牌的计算器需要y2元，分别求出y1、y2关于x的函数关系式；
（3）小明准备联系一部分同学集体购买同一品牌的计算器，若购买计算器的数量超过5个，购买哪种品牌的计算器更合算？请说明理由．
【解答】解：（1）设A、B两种品牌的计算器的单价分别为a元、b元，
根据题意得，，
解得：，
答：A种品牌计算器30元/个，B种品牌计算器32元/个；
（2）A品牌：y1=30x•0.8=24x；
B品牌：①当0≤x≤5时，y2=32x，
②当x＞5时，y2=5×32+32×（x﹣5）×0.7=22.4x+48，
综上所述：
y1=24x，
y2=；
（3）当y1=y2时，24x=22.4x+48，解得x=30，即购买30个计算器时，两种品牌都一样；
当y1＞y2时，24x＞22.4x+48，解得x＞30，即购买超过30个计算器时，B品牌更合算；
当y1＜y2时，24x＜22.4x+48，解得x＜30，即购买不足30个计算器时，A品牌更合算．
22．（10分）如图，两个正方形ABCD，OEFG的边长都是a，其中O是正方形ABCD的中心．
（1）请你说出图②到图③是怎样形成的？图②中的四边形OMCN的面积是多少？图③中的△OBC的面积是多少？
（2）你能求出图④中四边形OMCN的面积吗？
【解答】解：（1）以点O为旋转中心，顺时针旋转45°即可得到图③，
四边形OMCN的面积=a2，
图③中的△OBC的面积=a2．
（2）如图，连接OC，OD，
则OC=OD，∠POC=90°﹣∠COQ=∠QOD，∠ODQ=∠OCP，
∴△COP≌△DOQ，
∴四边形OMCN的面积=△OCD的面积=a2．
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