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2018-2019学年度第一学期高二数学（文科）期末测试题
(时间：120分钟 满分：150分)
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．抛物线的焦点坐标为( )
A. B. C. D.
2．已知两条直线y=ax-2和y=(2-a)x+1互相平行，则a等于 ( )
A． 2 B． 1 C． 0 D． -1
3．双曲线的实轴长是( )
A． B． 2 C． D． 4
4．x>2是的 （ ）
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 既充分又必要条件 D． 既不充分又不必要条件
5．已知命题：“，”，那么是（ ）
A.，， B.，
C.， D.，
6．双曲线的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
7．已知椭圆的离心率为，焦点是(-3,0)，(3,0)，则椭圆方程为（ ）
A． B． C． D．
8．执行如图所示的程序框图，输出的S值为( )
A． 4 B． 9 C． 16 D． 21
9．函数有区间上的最大值为（ ）
A． B． C． D．
10．若“”为假命题，则下列命题中，一定为真命题的是( )
A． B． C． D．
11．若方程表示双曲线，则实数的取值范围是( )
A． B． C．或 D．以上答案均不对
12．已知函数是上的增函数，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．是的导函数，则＝__________。
14．某校高中共有720人，其中理科生480人，文科生240人，现采用分层抽样的方法从中抽取90名学生参加调研，则抽取理科生的人数__________．
15．从甲、乙、丙、丁4名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为__________.
16．已知函数在处取得极大值10，则的值为 ．
三、解答题(本大题共6小题，共70分；其中17题10分，其他每道大题12分)
17.已知直线，直线经过点且与垂直，圆.
(I)求方程；
(Ⅱ)请判断与的位置关系，并说明理由．
18．椭圆的两个焦点的坐标分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），且椭圆经过点（，﹣）
（1）求椭圆标准方程．
（2）求椭圆长轴长、短轴长、离心率．
19．已知函数．
（1）当时，求曲线在点（1,f（1））处切线的斜率；
（2）当a=3时，求函数的单调区间．
20．如图，在正三棱柱中，已知，分别为，的中点，点在棱 上，且．求证：
（1）直线∥平面；
（2）直线平面．
21．已知函数.
（1）当时，求函数的极值；
（2）求函数的单调区间.
22．已知椭圆的右焦点为，且椭圆上的一点到其两焦点的距离之和为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线与椭圆交于不同两点，且.若点满足，求.
参考答案
1．C
【解析】
试题分析：抛物线中，所以焦点为
考点：抛物线方程及性质
2．B
【解析】∵ 直线和互相平行
∴，即
经检验当时两直线不重合.
故选B
3．D
【解析】双曲线可化为故实轴长为
故答案为：D.
4．A
【解析】..故选A
5．D
【解析】
试题分析：全称命题的否定是特称命题，故选D.
考点：全称命题的否定.
6．C
【解析】
【分析】
根据双曲线方程得渐近线方程为，化简得结果.
【详解】
因为双曲线的渐近线方程为，化简得，选C.
【点睛】
本题考查根据双曲线标准方程求渐近线方程，考查基本分析求解能力.属基础题.
7．A
【解析】依题意可得，解得，所以。因为焦点坐标在轴上，所以椭圆方程为，故选A
8．B
【解析】
【分析】
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【详解】
模拟程序的运行，可得
执行循环体
不满足条件，执行循环体，
不满足条件，执行循环体，；
此时，满足条件，退出循环，输出的值为9．
故选：B．
【点睛】
本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
9．D
【解析】因为，所以令可得，求得，故函数有区间
上的最大值为，应选答案D。
10．D
【解析】若“”为假命题,则或为假，即两者至少有一个是假命题.
即有三种情况：假真，真假，假假.
假假时A不正确；
真假时B不正确；
假真，真假C不正确；
和至少有一个为真，D正确；故选D.
11．A
【解析】
试题分析：解：，由方程表示双曲线，根据双曲线标准方程的特点，有
解之得：，故选A.
考点：1双曲线的标准方程；2、一元二次不等式的解法.
12．C
【解析】分析：由函数单增得在上恒成立，即,所以有，从而得解.
详解：函数，求导得：.
由函数是上的增函数，可得在上恒成立.
即,所以有：.
解得.
故选C.
点睛：函数单调性的应用
(1)若可导函数f(x)在(a，b)上单调递增，则≥0在区间(a，b)上恒成立；要检验不能恒为0.
(2)若可导函数f(x)在(a，b)上单调递减，则≤0在区间(a，b)上恒成立；要检验不能恒为0.
13．3
【解析】
试题分析：
考点：函数求导数
14．60
【解析】
由题意结合分层抽样的概念可得：
抽取理科生的人数为.
15．
【解析】从甲、乙、丙、丁4名学生中随机选出2人，基本事件总数，甲被选中包含的基本事件个数为， 甲被选中的概率，故答案为.
16．3．
【解析】
试题分析：因为，所以；又因为函数在处取得极大值10，所以
；所以，解得或．
当时，，当时，；当时，．所以在处取得极小值，与题意不符；当时，，当时，；当时，，所以在处取得极大值，符合题意．所以．故应填3．
考点：利用导数研究函数的极值．
17．(Ⅰ) (II) 直线与圆相离.
【解析】试题分析：（1）根据题意得到直线斜率为，直线经过点，通过这两点可得到直线方程；（2）求出圆心到直线的距离，直线与圆相离。
解析：
(Ⅰ)直线的斜率为 2 ，
故直线的斜率为，
因为直线经过点，
所以直线的方程为： ，即.
(II)由圆整理得， ，
所以圆的圆心坐标为，半径为1.
设点到直线距离，
因为，
所以直线与圆相离.
18．（1）椭圆的标准方程为：+=1，
（2）椭圆的长轴长：2，短轴长2，离心率e==．
【解析】
试题分析：（1）设椭圆的标准方程为+=1（a＞b＞0），结合两点之间距离公式，求出2a，进而求出b，可得椭圆标准方程．
（2）由（1）中椭圆标准方程，可得椭圆长轴长、短轴长、离心率．
解：（1）设椭圆的标准方程为+=1（a＞b＞0），
则2a=+=2，
即a=，
又∵c=2，
∴b2=a2﹣c2=6，
故椭圆的标准方程为：+=1，
（2）由（1）得：
椭圆的长轴长：2，
短轴长2，
离心率e==．
考点：椭圆的简单性质；椭圆的标准方程．
19．（1）y+2=0 （2）增区间减区间
【解析】
试题分析：（1）由函数解析式求得，得到点的坐标，由函数的导数求得得到直线的斜率，得到直线方程；（2）由函数求得函数的导函数，由得到增区间，由得到减区间
试题解析：（1），所以切线为
（2），令得，所以增区间为，减区间为
考点：1．导数的几何意义；2．函数导数与单调性
20．（1）详见解析（2）详见解析
【解析】
试题分析：（1）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行的寻找与论证，往往需要利用平几知识，如本题利用平行四边形性质：连结，可先证得四边形是平行四边形，进而证得四边形是平行四边形，即得，（2）证明线面垂直，一般利用线面垂直判定与性质定理，经多次转化论证，而在寻找线线垂直时，不仅可利用线面垂直转化，如由平面，得，而且需注意利用平几中垂直条件，如本题中利用正三角形性质得
试题解析：
（1）连结，因为，分别为，的中点，
所以且，
所以四边形是平行四边形，…………………2分
所以且，又且，
所以且，
所以四边形是平行四边形，…………………4分
所以，又因为，，
所以直线平面．…………………………………………………7分
（2）在正三棱柱中，平面，
又平面，所以，
又是正三角形，且为的中点，所以，……………9分
又平面，，
所以平面，
又平面，所以，……………………………………11分
又，平面，，
所以直线平面．…………………………………………………14分
考点：线面平行判定定理，线面垂直判定与性质定理
【思想点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.
(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.
(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.
(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.
21．（1）极大值为，无极小值（2）当时，函数的单调增区间为；当时，函数的单调增区间为，单调减区间为
【解析】（1）当时，，，
令，解得，所以函数在上单调递增；
令，解得，所以函数在上单调递减；
所以当时取极大值，极大值为，无极小值.
（2）函数的定义域为，.
当时，在上恒成立，所以函数在上单调递增；
当时，令，解得，所以函数在上单调递增；
令，解得，所以函数在上单调递减.
综上所述，当时，函数的单调增区间为；当时，函数
的单调增区间为，单调减区间为.
考点：利用导数求函数的极值和单调区间，分类讨论思想.
22．（1）（2）或.
【解析】试题分析：（1））由题知，得，所以，故椭圆的标准方程为.（2）. 设则.又： ，解得： .由，故 ①当时, 方程为， 中点坐标为： ， 中垂线方程为，令得.②当时， 方程为， 中点坐标为： . 中垂线方程为，令得.
试题解析：
（1）由题知，得，所以，故椭圆的标准方程为.
（2）.
则，解得： ，且设则
.
又： ，
解得： .
由，故
①当时, 方程为， 中点坐标为： ，
中垂线方程为，令得.
②当时， 方程为， 中点坐标为： .
中垂线方程为，令得.
综上： 或.
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