甘肃省兰州一中2018-2019-1学期高一年级期末考试试题
数 学
说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1．若A（-2，3），B（3，-2），C（，m）三点共线，则m的值是（ ）
A. B. C. D.
2．半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（ ）
A． B． C． D．
3．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，三棱柱A1B1C1-ABC中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面三角形ABC是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是（ ）
A．AC⊥平面ABB1A1
B．CC1与B1E是异面直线
C．A1C1∥B1E
D．AE⊥BB1
5．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m⊂α，n⊂β，则下列命题正确的是( )
A．若m⊥β，则α⊥β； B．若α⊥β，则m⊥n；
C．若m∥β，则α∥β； D．若α∥β，则m∥n.
6．已知，则直线通过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
7．已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是( )
A．108 cm3 B．100 cm3
C．92 cm3 D．84 cm3
8．若a2＋b2＝2c2(c≠0)，则直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝1所截得的弦长为( )
A． B．1 C． D．
9．在四面体ABCD中，已知棱AC的长为，其余各棱长都为1，则二面角A—CD—B的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于（ ）
A．45° B．60° C．90° D．120°
11．若曲线与直线始终有交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．已知正三棱锥P—ABC（顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）的侧面是顶角为30°腰长为2的等腰三角形，若过A的截面与棱PB，PC分别交于点D和点E，则截面△ADE周长的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．2
第Ⅱ卷（非选择题）
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13．两个球的体积之比为8 ：27，则这两个球的表面积之比为________．
14．经过点，且在轴上的截距等于在轴上的截距的倍的直线的方程是______________________．
15．等腰直角△ABC中，AB=BC=1，M为AC的中点，沿BM把△ABC折成二面角，折后A与C的距离为1，则二面角C—BM—A的大小为_____________．
16．已知点A(－1,1)，B(2，－2)，若直线l：x＋my＋m＝0与线段AB相交(包含端点的情况)，则实数m的取值范围是________________．
三、解答题（本大题共6 小题，共70分）
17. （本小题满分10分）求满足以下条件的m值．
(1)已知直线2mx＋y+6＝0与直线 (m－3)x-y+7=0平行；
(2)已知直线mx＋(1－m)y＝3与直线(m－1)x＋(2m＋3)y＝2互相垂直.
18. （本小题满分12分）如图，已知圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|＝2.
(1)求圆C的标准方程；
(2)求圆C在点B处的切线方程．
19．（本小题满分12分）如图，平行四边形ABCD中，CD=1，∠BCD=60°，BD⊥CD，正方形ADEF，且面ADEF⊥面ABCD．
（1）求证：BD⊥平面ECD；
（2）求D点到面CEB的距离．
20．（本小题满分12分）已知△ABC的顶点B（-1，-3），边AB上的高CE所在直线的方程为，BC边上中线AD所在的直线方程为．
(1) 求直线AB的方程；
(2) 求点C的坐标．
21.（本小题满分12分）如图，直三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点．
（1）证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；
（2）若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥FAEC的体积．
22.（本小题满分12分）如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝2，AA1＝，BB1＝2，点E和F分别为BC和A1C的中点．
(1)求证：EF∥平面A1B1BA；
(2)求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小．
甘肃省兰州一中2018-2019-1学期高一数学期末考试答案
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
A
A
D
A
C
B
D
C
B
A
D
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,）
13.4:9 14. 或（只写对一个方程不给分）
15. 16．
三、解答题（本大题共6 小题，共70分）
17. （10分）
也可用 m(m－1)＋(1－m)(2m＋3)＝0，即m2＋2m－3＝0，解得m＝1，或m＝－3.………10分
18．（12分
解：(1)过点C作CM⊥AB于M，连接AC，
则|CM|＝|OT|＝1，
|AM|＝|AB|＝1，
所以圆的半径r＝|AC|＝＝，从而圆心C(1，)，
即圆的标准方程为(x－1)2＋(y－)2＝2…………6分
(2)令x＝0得，y＝±1，
则B(0，＋1)，
所以直线BC的斜率为k＝＝－1，
由直线与圆相切的性质知，圆C在点B处的切线的斜率为1，
则圆C在点B处的切线方程为y－(＋1)＝1×(x－0)，
即y＝x＋＋1………….12分
19．（12分）
解:（ 1）证明：∵四边形ADEF为正方形，
∴ED⊥AD，
又∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，
∴ED⊥平面ABCD，∴ED⊥BD．
又∵BD⊥CD，ED∩CD=D，
∴BD⊥平面ECD．…………..4分
（ 2）∵CD=1，∠BCD=60°，BD⊥CD，
又∵正方形ADEF，∴CB=2，CE=，，
∴，∴，
Rt△BCD的面积等于 S△BCD=1=，
由得（ I）ED⊥平面ABCD，∴点E到平面BCD的距离为ED=2，设点D到到面CEB的距离为h，
∴=，∴h=，
即点D到到面CEB的距离为………………12分
20.（12分）
解：（1）∵,且直线的斜率为，∴直线的斜率为，
∴直线的方程为，即．………………6分
（2）设，则，
∴，解得，
∴．………………12分
21.（12分）
解：（1）证明：如图，因为三棱柱ABC A1B1C1是直三棱柱，所以AE⊥BB1.
又E是正三角形ABC的边BC的中点，所以AE⊥BC.
又，因此AE⊥平面B1BCC1. ……3分
而AE⊂平面AEF，所以平面AEF⊥平面B1BCC1. ……5分
（2）设AB的中点为D，连接A1D，CD.
因为△ABC是正三角形，所以CD⊥AB.
又三棱柱ABC A1B1C1是直三棱柱，所以CD⊥AA1.
又，因此CD⊥平面A1ABB1，
于是∠CA1D为直线A1C与平面A1ABB1所成的角． ……8分
由题设，∠CA1D＝45°，所以A1D＝CD＝AB＝.
在Rt△AA1D中，AA1＝＝＝，所以FC＝AA1＝. ……10分
故三棱锥F AEC的体积V＝S△AEC·FC＝××＝. ……12分
22.（12分）
解：(1)证明：如图，连接A1B.在△A1BC中，
因为E和F分别是BC和A1C的中点，
所以EF∥BA1.
又EF⊄平面A1B1BA，
所以EF∥平面A1B1BA………..4分
(2)解：因为AB＝AC，E为BC的中点，
所以AE⊥BC.
因为AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，
所以BB1⊥平面ABC，从而BB1⊥AE.
又BC∩BB1＝B，所以AE⊥平面BCB1，.
取BB1的中点M和B1C的中点N，连接A1M，A1N，NE.
因为N和E分别为B1C和BC的中点，
所以NE∥B1B，NE＝B1B，
故NE∥A1A且NE＝A1A，
所以A1N∥AE，且A1N＝AE.
因为AE⊥平面BCB1，所以A1N⊥平面BCB1，
从而∠A1B1N为直线A1B1与平面BCB1所成的角．
在△ABC中，可得AE＝2，所以A1N＝AE＝2.
因为BM∥AA1，BM＝AA1，
所以A1M∥AB，A1M＝AB，
由AB⊥BB1，有A1M⊥BB1.
在Rt△A1MB1中，
可得A1B1＝＝4.
在Rt△A1NB1中，sin∠A1B1N＝＝，
因此∠A1B1N＝30°.
所以直线A1B1与平面BCB1所成的角为30°……………12分
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