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2019届高三第一次大考试题
文 科 数 学
一． 选择题
1.已知集合,则
A．，B． C．。D．
2．已知复数z1，z2在复平面内对应的点分别为（2，－1），（0，－1），则＝
A．1＋2i B．1－2i C．－2＋i D．－2－i
3．某中学有高中生3000人，初中生2000人，男、女生所占的比例如下图所示．为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取女生21人，则从初中生中抽取的男生人数是
A．12 B．15 C．20 D．21
4.己知函数恒过定点A．若直线过点A，其中是正实数，则的最小值是
A． B． C． D．5
5.已知抛物线 的焦点为 ,其准线与双曲线 相交于 两点,若 为直角三角形,其中 为直角顶点,则
A. B. C. D.
6．已知是等差数列{}的前n项和，则“＜对n≥2恒成立”是“数列{}为递增数列”的
A．充分必要条件 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
7．若，满足约束条件则的最大值为
A. B. C. D.不存在
8.将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若在上为增函数，则的最大值为
A. B. C. D.
9．函数的导函数在上的图象大致是
A. B. C. D.
10.我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱，其中，若，当“阳马”即四棱锥体积最大时，“堑堵”即三棱柱的表面积为
A. B.
C. D. 10.
11. 双曲线：的半焦距为，.若上存在一点，使得，则离心率的取值范围是
A. B. C. D.
12.定义在上的奇函数，当时，，则关于的函数的所有零点之和为
A. B. C. D.
二．填空题
13. 已知向量⊥，||＝4，则·＝________．
14. 已知等比数列的公比为正数，且·=2，=1，则= .
15.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．
16.下面有四个命题：
①在等比数列中，首项是等比数列为递增数列的必要条件.
②已知，则.
③将的图象向右平移个单位，再将所得图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的，可得到的图象.
④设，则函数有最小值无最大值.
其中正确命题的序号为___________.(填入所有正确的命题序号)
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分12分）
的内角，，的对边分别为，，，已知，.
（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求的面积和周长.
18.（本小题满分12分）
在四棱锥中，平面，且底面为边长为2的菱形，，
（Ⅰ）证明：面面；
（Ⅱ）在图中作出点在平面内的正投影（说明作法及其理由），并求四面体的体积.
19.（本小题满分12分）
如图是某小区2017年1月至2018年1月当月在售二手房均价（单位：万元/平方米）的散点图.（图中月份代码1—13分别对应2017年1月—2018年1月）
当
月
在
售
二
手
房
均
价
y
由散点图选择和两个模型进行拟合，经过数据处理得到两个回归方程分别为和，并得到以下一些统计量的值：
残差平方和
0.000591
0.000164
总偏差平方和
0.006050
（Ⅰ）请利用相关指数判断哪个模型的拟合效果更好；
（Ⅱ）某位购房者拟于2018年6月份购买这个小区平方米的二手房（欲
购房为其家庭首套房）.若购房时该小区所有住房的房产证均已满2年但未满5年，请你利用（1）中拟合效果更好的模型估算该购房者应支付的购房金额.（购房金额=房款+税费；房屋均价精确到0.001万元/平方米）
附注：根据有关规定，二手房交易需要缴纳若干项税费，税费是按房屋的计税价格进行征收.（计税价格=房款），征收方式见下表：
契税
首套面积90平方米以内（含90平方米）为1%；首套面积90
（买方缴纳）
平方米以上且144平方米以内（含144平方米）为1.5%；面积144平方米以上或非首套为3%
增值税
（卖方缴纳）
房产证未满2年或满2年且面积在144平方米以上（不含144平方米）为5.6%；其他情况免征
个人所得税
（卖方缴纳）
首套面积144平方米以内（含144平方米）为1%；面积144平方米以上或非首套均为1.5%；房产证满5年且是家庭唯一住房的免征
参考数据：，，，，，，，. 参考公式：相关指数.
20.（本小题满分12分）
已知直线，，是上的动点，过点作的垂线，线段的中垂线交于点，的轨迹为.
（Ⅰ）求轨迹的方程；
（Ⅱ）过且与坐标轴不垂直的直线交曲线于两点，若以线段为直径的圆
与直线相切，求直线的方程.
21.（本小题满分12分）
已知函数，，.
（Ⅰ）讨论的单调区间；（Ⅱ）若恒成立，求的取值范围.
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线，曲线的参数方程为
（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线，的极坐标方程；
（Ⅱ）在极坐标系中，射线与曲线，分别交于，两点（异于极点），
定点，求的面积
23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
设函数，（实数）
（Ⅰ）当，求不等式的解集；（Ⅱ）求证：.
文数答案
一． 选择题
1- --6DAABDA 7---12BDDCDC
二．填空题 13.16； 14.； 15.16； 16；（3），（4）
17. （本小题满分12分）
（1）由正弦定理以及得，………………2分
又因为，所以，所以可得……………………3分
……………………5分
所以，且，得 …………………………6分
（2）将和代入得，所以…8分
由余弦定理得，即…………………………10分
，所以的周长为……………………12分
18. （1）因为平面，，所以……1分
在菱形中，，且，
所以…………………………………………3分
又因为，所以面面…………4分
(2)取的中点，连接，易得是等边三角形，
所以，又因为平面，所以，
又，所以……………………6分
在面中，过作于，则，
又，所以
，
即是点在平面内的正投影………………………………8分
经计算得，在中，，
，
………………12分
19.（1）设模型和的相关指数分别为和，则，，………………3分
所以模型拟合的效果好.…………………………4分
（2）由（1）知模型拟合的效果好，利用该模型预测可得，这个小区在2018年6月份的在售二手房均价为
万平方米……6分
设该购房者应支付的购房金额为万元，因为税费中买方只需缴纳契税，所以
①当时，契税为计税价格的，
故；……………………………………8分
②当时，契税为计税价格的，
故；…………………………………10分
③当时，契税为计税价格的
故；
所以……………………………………12分
20.（1）依题意可得,即到定点的距离等于到定直线的距离，所以的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，方程为……………………5分
（2）依题意设直线的方程为，
与联立，并整理得………………6分
，…………………………………………7分
由抛物线的定义知，…………………………8分
线段的中点即………………………………9分
因为以线段为直径的圆与直线相切，所以
……………………………………10分
解得，…………………………………………………………………………11分
所以直线的方程为……………………………………………………12分
21.解：（1），………………………………1分
当时，即时，在上恒成立，所以的单调减区间是，无单调增区间。…………………………………………………………2分
当时，即时，由得。由，得，所以的单调减区间是，单调增区间是……………………4分
（2）由题意，，恒成立，， ………………………………5分
…………………………………………6分
……………………………8分
…………………………10分
综上， ………………………………………………………………12分
21.解：（1）曲线的极坐标方程为：---------2分
曲线的普通方程为：---------3分
曲线的极坐标方程为．---------------4分
（2） 由（1）得：点的极坐标为，---------5分
点的极坐标为 ----------6分
------------------7分
点到射线的距离为
--------------------------8分
的面积为：
---------10分
22.（1）原不等式等价于，
当时，可得，得；…………………………1分
当时，可得，得不成立；…………2分
当时，可得，得；……………………3分
综上所述，原不等式的解集为…………………………4分
（2）法一：，…………5分
当；………………………………………………6分
当…………………………………………7分
当……………………………………………………8分
所以，当且仅当时等号成立…………10分
法二：，
当且仅当时等号成立。 ………………7分
又因为，所以当时， 取得最小值…………8分
，当且仅当时等号成立…………10分
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